Elementos de Cálculo vectorial

Transcripción

1 Capítulo 1 Elementos de Cálculo vectorial 1.1. Álgrebra de Vectores en R 3 Esta es una lista de identidades elementales del álgebra vectorial, que se supondrán bien conocidas A B = A x B x + A y B y + A z B z A B =A y B z A z B y î +A z B x A x B z ĵ +A x B y A y B z k A A =0 A A B =0 A B C = A B C A B C = A C B A B C 1.2. Cálculo diferencial en R 3 Sea f :[R 3 ] R una función real. También es llamada campo escalar, pues a cada punto del espacio R 3 le asocia un número real un escalar. Ejemplo de un campo escalar puede ser la temperatura en cierta región del espacio T : [Ω R 3 R] Fig. 1.1: T x, y, z representa un campo escalar sobre Ω Además de la existencia de campos escalares, también existen campos vectoriales. La idea es bien simple, a cada punto del espacio se le asocia un vector. En R 3, el tipo de campos vectoriales que nos interesarán son de la forma F : [Ω R 3 ] R 3. 5

2 Fig. 1.2: La velocidad de los átomos de un objeto que rota es un ejemplo de campo vectorial Derivadas de un campo escalar Si f es un campo escalar diferenciable y por lo tanto una función continua sobre un dominio D R 3, entonces está definido el Gradiente de f fx, y, z fx, y, z fx, y, z fx, y, z = + + x y y El gradiente es un campo vectorial, pues a cada punto en D le asocia un vector. Es inmediato notar que el gradiente es perpendicular a curvas en donde el campo escalar f es constante, como las curvas que se muestran en la figura 1. Llamadas isotermas en el caso de que el campo escalar sea la temperatura. En efecto, la curva fx, y, z =C puede ser parametrizada fxt,yt,zt = C Derivando con respecto a t, se obtiene fx, y, z + x f x x t+ f y y t+ f z t =0 fx, y, z y + fx, y, z x t,y t,z t = 0 y y entonces el gradiente es perpendicular a la dirección tangente a la curva. Más aún, si û es un vector unitario, se define la derivada direccional de f en la dirección û como Dûfx, y, z = fx, y, z û Se puede demostrar que la derivada direccional se maximiza en la dirección del gradiente, es decir, el gradiente entrega la dirección de máxima variación de f. 6

3 1.3. como un operador Conviene considerar al gradiente como algo independiende de que función se está derivando. Llamamos al operador = x, y, Por supuesto que este operador así escrito no significa nada. El operador debe operar sobre una función, por ejemplo f f = x, f y, f Tiene completo sentido en este caso. Hemos multiplicado al operador por una cantidad escalar. Hay que tener ciertas precauciones con este tipo de notación, por ejemplo, del álgebra de vectores es sabido que si α es un escalar α A = Aα sin embargo, f no tiene sentido por si mismo, en efecto, es un nuevo operador f = f x,f y,f Divergencia y Rotor Si F es un campo vectorial, entonces F debe ser un escalar, y por lo tanto puede tener un sentido físico. Entendiendo como un operador vectorial, se tiene F = x, y, F x,f y,f z F = x F x + y F y + F z A esta cantidad escalar asociada a un campo vectorial se le llama divergencia de F. Veamos que más es posible definir a partir del operador gradiente. Qué ocurre con F?. Por supuesto que el resultado debe ser un campo vectorial, de hecho, muy útil en el análisis de funciones vectoriales. Desarrollando este producto cruz según el álgebra de vectores F F F x y z = F z y F y = F x F z x = F y x F x y A esta combinación se le llama rotor. En resumen, hemos definido las siguientes cantidades 7

4 f Vector F Escalar F Vector 8

5 Segundas derivadas Hasta ahora hemos definido cantidades que involucran únicamente primeras derivadas. Veamos que ocurre con las siguientes combinaciones a f b f c F d F e F Veamos la primera de ellas, es claro que debe obtenerse un campo escalar. Desarrollando f = f x, f y, f f = 2 f x + 2 f 2 y + 2 f 2 2 Se ve que esto se puede reescribir como f = f = f = 2 f Vemos a 2 como un nuevo operador, y como aparece mucho en física, tiene un nombre. Es llamado Laplaciano Laplaciano 2 = 2 x y debido a que el Laplaciano es un operador escalar, podría aplicarse sobre un vector por supuesto esto significa que el operador Laplaciano opera sobre cada componente de F 2 F = 2 F x, 2 F y, 2 F z 2 F Veamos que ocurre con la expresión b. Notemos que tiene la siguiente forma A Af = A A f =0 Esperamos que f sea cero para cualquier campo escalar f. Podemos verificarlo tomando alguna de las componentes 9

6 [ f] x = z f [ f] x = y f y y y f Del mismo modo se muestra para las demás componentes La expresión c es por supuesto un campo vectorial F z f =0 Sin embargo, no hay nada muy especial que decir acerca de él. Es simplemente un campo vectorial que podría aparecer en el futuro La expresión d tiene la forma Es decir, esperamos que A A B =0 F =0 Para cualquier campo vectorial F. Es así, y es fácil de verificar Por último, veamos que sucede con la expresión e F Ésta tiene la forma de A B C = B A C A B C Podríamos seguir utilizando esta expresión y escribir F = F F El último término es el Laplaciano F = F 2 F En resumen, hemos encontrado f = 2 f Laplaciano sobre f, campo escalar f =0 F Campo vectorial F =0 F = F 2 F campo vectorial 10

7 Dos teoremas adicionales En muchos problemas físicos, sucede que un determinado campo vectorial F tiene rotor nulo. Es decir F =0 Hemos visto que el rotor de un gradiente es siempre cero. Podría ser ciento entonces, que F fuera el gradiente de algún campo escalar, de esta forma su rotor sería siempre nulo. Lo interesante es que esto es siempre así, y enunciaremos el siguente teorema Si Existe un campo escalar ψ, tal que F =0 F = ψ Del mismo modo, hemos visto que la divergencia de un rotor es siempre cero. Luego, si la divergencia de un campo vectorial F es nula, podria tenerse que F fuera el rotor de un campo vectorial. De ser así, estaría garantizado que su divergencia sea nula. En efecto, enunciamos el segundo teorema Si Existe un campo vectorial A, tal que F =0 F = A 1.4. Cálculo Integral en R Integral de línea de un campo vectorial Sea F : [Ω R 3 ] R 3 Consideremos una curva contenida en Ω. Sea x 0, x 1,... x n una partición de, x k, y k un punto en el trazo de que va de x k 1 a x k,y x k = x k x k 1. Se define la integral de línea de F x por d x F x = lím F xk, y k x k n Esto se puede reescribir como d x F x = lím n F xk, y k x k x k x k = ds T x F x donde T x es la tangente unitaria a la curva en x. Así d x F x = ds T x F x La integral de línea de un campo vectorial sobre una curva corresponde a sumar las proyeccciones de F x en la dirección tangente a la curva en todo punto. 11

8 Integral de superficie de un campo vectorial Sea F : [Ω R 3 ] R 3 y S una superficie contenida en Ω. Se define la integral de flujo del campo F sobre S como ds x F x = ds x n x F x S corresponde a sumar la proyección del campo F sobre la normal a la superficie S en cada punto Teorema de la Divergencia S Sea Ω R 3 una región. Sea F un campo vectorial continuo y diferenciable en Ω. Entonces d 3 x F = ds x F x Ω δω Teorema de Stokes Sea S una superficie en R 3. Sea F un campo vectorial continuo y diferenciable en una región que contiene a S. Entonces d S x F x = d x F x S δs donde δs es el contorno de S una curva en R 3 12