1. Funciones de varias variables

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1 Coordinación de Matemáticas III (MAT 023) 1 er Semestre de Funciones de varias variables 1.1. Definiciones básicas Definición 1.1. Consideremos una función f : U R n R m. Diremos que: 1. f es una función real de varias variables si n 2 y m = f es una función vectorial de variable real si n = 1 y m f es una función vectorial de varias variables si n 2 y m 2. En general, las funciones reales de varias variables se denotan con letras minúsculas, como por ejemplo: f, g, h, etc. y las funciones vectoriales se anotan con letras mayúsculas, tales como: F, G, H, etc. Ejemplo Son funciones reales de varias variables las siguientes funciones: a) f : R 2 R, (x, y) f (x, y) = x 2 + 2y. b) g : R 3 R, (x, y, z) g (x, y, z) = sin (xyz). c) h : R 3 R, (x, y, z) h (x, y, z) = e 1 2(x 2 +y 2 +z 2 ). Ejemplo 1.2. Un ejemplo importante de función de varias variables corresponde a la k ésima proyección sobre R de un vector x = (x 1, x 2,..., x n ) R n. Más precisamente, se define la k ésima proyección de x R n como la función π k : R n R definida por: π k (x 1, x 2,..., x n ) = π k Esta función, en particular, nos permitirá representar funciones tales como: f (x, y, z) = 2x2 + y 3 x 2 + z como álgebra de proyecciones. Es decir, podemos escribir f (x, y, z) en la forma: f (x, y, z) = 2 π2 x (x, y, z) + π 3 y (x, y, z) π 2 x (x, y, z) + π 2 z (x, y, z) + 1 Ejemplo 1.3. Son funciones vectoriales las siguientes funciones: 1. F : R R 2, t F (t) = ( C 1 e t, C 2 e t ), con C 1, C 2 R. 2. G : R R 3, t G (t) = (α cos t, α sin t, βt), con α, β > H : R 2 R 3, (x, y) H (x, y) = ( ln ( x 2 + y 2 1 ), cos (x + y), x + 3y ). 1

2 Ejemplo 1.4. Notamos que, si en el ejemplo (3) anterior definimos: f 1 (x, y) = ln ( x 2 + y 2 1 ) f 2 (x, y) = cos (x + y) f 3 (x, y) = x + 3y entonces: H (x, y) = (f 1 (x, y), f 2 (x, y), f 3 (x, y)) Ejemplo 1.5. Sean f i : U i R n R funciones de varias variables con dominio U i, con i = 1, 2,..., m. Suponga que: m U = Entonces, la transformación F : U R n R m definida por: i=1 U i F ( x ) = (f 1 ( x ), f 2 ( x ),..., f m ( x )), x = (x1, x 2,..., x n ) U es una función vectorial de varias variables. Las funciones reales de varias variables f i se llaman funciones componentes de F. Definición 1.2. Sea z = f (x 1, x 2,..., x n ) una función real de varias variables. Llamaremos dominio máximo de f al conjunto: dom f = {x R n : f (x) R} Así mismo, el dominio máximo de una función vectorial F dada por: F (x) = (f 1 (x), f 2 (x),..., f m (x)) será el conjunto: m dom F = dom f i Ejemplo 1.6. Hallar el dominio máximo de: i=1 f (x, y) = x 2 + y 2 1 ln ( x y) Ejemplo 1.7. Sea: Determine el dominio máximo de F. ( ( )) sin (xyz) 1 F (x, y, z) =, y cos xyz x Definición 1.3. El recorrido de f : U R n R se define como: rec f = {y R : x U, y = f (x)} Observación 1.1. En general, para funciones de varias variables es difícil calcular el recorrido. Sin embargo, puede ser útil tomar restricciones. Esto es imágenes directas de conjuntos adecuados. Considere: 2

3 Ejemplo 1.8. Sean F (x, y) = ( xy, x) 1 { y A = (x, y) R 2 : 0 < x 1, 0 y 1 }. Calcule: f (A) = { (u, v) R 2 : (a, b) A, F (a, b) = (u, v) } Ejemplo 1.9. Verifique que f (x, y) = xy 2 + yx 2 no es una función acotada. En efecto, si consideramos: T = { (x, y) R 2 : x = y } = {(x, x) : x R} Entonces, f T = x x 2 + x x 2 = 2x 3. Es decir, f T crece sin ite cuando x Gráficos, conjuntos de nivel y trazas Definición 1.4. Sea f : U R n R una función. Llamaremos gráfico de f al conjunto definido por: Gra (f) = { (x, f (x)) R n+1 : x U } Observación 1.2. Evidentemente, esta definición posee un sentido geométrico en el caso de funciones reales de varias variables sólo cuando n = 2. Observación 1.3. Si f : U R 2 R es una función real de dos variables reales, se hará una identificación de f con su gráfico Gra (f). Como en este caso Gr (f) R 3 diremos simplemente que f o bien que: z = f (x, y), (x, y) U es una superficie en R 3 definida sobre U. Observación 1.4. Respecto de lo anterior, hay algunas superficies clásicas que es conveniente reconocer. Tales superficies son conocidas como superficies cuádricas. Definición 1.5. Una superficie cuádrica es una ecuación del tipo: P (x, y, z) = 0 donde P (x, y, z) es un polinomio de segundo grado en tres variables. En particular, se consideran la superficies cuádricas en su forma normal, es decir, considerando las ecuaciones: Ax 2 + By 2 + Cz 2 + D = 0 o bien: Ax 2 + By 2 + Cz = 0 Observación 1.5. Las superficies cuádricas más importantes son las siguientes: 1. Esfera: x 2 + y 2 + z 2 = r 2 3

4 2. Elipsoide: 3. Hiperboloide de una hoja: 4. Hiperboloide de dos hojas: x 2 a 2 + y2 b 2 + z2 = 1, a, b, c 0 c2 x 2 a 2 + y2 b 2 z2 = 1, a, b, c 0 c2 x2 a 2 + y2 b 2 z2 = 1, a, b, c 0 c2 5. Paraboloide: 6. Paraboloide hiperbólico: x 2 a 2 + y2 = cz, a, b 0 c > 0 b2 x 2 a 2 y2 = cz, a, b 0 c > 0 b2 Definición 1.6. Sea f : U R n R y c R. Llamaremos conjunto de nivel c de f (x) al conjunto definido por: L c (f) = {x U : f (x) = c} R n En particular, si n = 2 diremos que L c (f) es la curva de nivel c de f (x). Si n = 3, diremos que L c (f) es la superficie de nivel c de f (x). Observación 1.6. Note que, simplemente: L c (f) = f 1 ({c}) Observación 1.7. De los conjuntos anteriores, nos interesa el aspecto gráfico para n = 2 y n = 3. La colección de los gráficos superpuestos de un número adecuado de curvas de nivel o superficies de nivel para una función permite esbozar el gráfico de la función dada. Ejemplo Dibuje curvas de nivel para la función f (x, y) = x 2 + y 2. Ejemplo Dibuje curvas de nivel para la función f (x, y) = x 2 + y 2. Observación 1.8. Se puede observar que para los ejemplos anteriores las curvas de nivel son, básicamente, las mismas, es decir, circulos concéntricos desde el origen. En este caso, las curvas de nivel no son suficiente para determinar el gráfico de las funciones anteriores. Debemos considerar la noción de traza. Definición 1.7. Llamaremos traza de una superficie S : z = f (x, y) a la intersección de dicha superficie con alguno de los planos coordenados. Denotaremos las trazas de una superficie S mediante los símbolos T y y T x, si la intersección se efectúa con los planos xz e yz, respectivamente. 4

5 Ejemplo Por ejemplo, las trazas de las superficies S 1 : z = x 2 +y 2 y S 2 : z = x 2 + y 2 están dadas por: (x, y, z) T y (x, y, z) S 1 {(x, y, z) : y = 0} z = x 2, y = 0 para S 1, y para S 2 por: (x, y, z) T y (x, y, z) S 1 {(x, y, z) : y = 0} z = x, y = 0 En particular, son algunas trazas las que nos permiten distinguir los gráficos de las superficies S 1 y S 2. Ejemplo Dibuje curvas de nivel para el paraboloide hiperbólico dado por: S : z = x 2 y 2 Esboce, además, el gráfico de S considerando para ello algunas trazas de la superficie. Ejemplo Considere la función f : U R 2 R definida por: f (x, y) = x x + y 1. Calcule U, Ů y U. Es U un conjunto abierto? 2. Calcule curvas de nivel para f (x, y). Esboce su gráfica. 2. Límites 2.1. Definiciones Definición 2.1. Sean U R n abierto, a U y f : U R una función. Diremos que el número real L es el ĺımite de f (x) cuando x tiende a a si: ε > 0, δ > 0, 0 < x a R n < δ = f (x) L < ε (1) Lo anterior se denota mediante el símbolo: f (x) = L x a Observación 2.1. En particular, si f : U R 2 R y (a, b) U, la definición de ite en (1) queda como: y en símbolos: ε > 0, δ > 0, 0 < (x a) 2 + (y b) 2 < δ = f (x, y) L < ε f (x, y) = L (x,y) (a,b) Usualmente, a los ites del tipo anterior, se les conoce como ites dobles. 5

6 Ejemplo 2.1. Demuestre que: (3x + 2y) = 2 (x,y) (2, 1) Solución 2.1. Por demostrar que, dado cualquier ε > 0, existe δ > 0 tal que si: 0 < (x 2) 2 + (y + 1) 2 < δ implica que: 3x + 2y 4 < ε En efecto, note que: 3x + 2y 4 = 3 (x 2) + 2 (y + 1) 3 x y + 1 < 3δ + 2δ = 5δ Por tanto, dado ε > 0, existe δ = ε/5 tal que si 0 < (x 2) 2 + (y + 1) 2 < δ, entonces 3x + 2y 4 < ε. Por tanto, se concluye que (x,y) (2, 1) (3x + 2y) = 2. Ejemplo 2.2. Demuestre que: ( 2x 2 + 3y ) = 5 (x,y) (1,1) Observación 2.2. Es importante destacar que la noción de ite es un concepto que puede tratarse de manera más general que en el caso de funciones reales de varias variables. En particular, el concepto de ite se puede extender a funciones vectoriales considerando la norma correspondiente al espacio de llegada. Más precisamente, tenemos: Definición 2.2. Sean U R n abierto, a U y f : U R m una función vectorial. Diremos que el vector L R m es el ĺımite de f (x) cuando x tiende a a si: ε > 0, δ > 0, 0 < x a R n < δ = f (x) L R m < ε Observación 2.3. Sin embargo, para nuestro propósitos de cálculo, es útil el siguiente teorema: Teorema 2.1. Sean U R n abierto, a U y F : U R m una función vectorial tal que: F (x) = (f 1 (x), f 2 (x),..., f m (x)) Entonces, el vector L = (L 1, L 2,..., L m ) R m es el ite de F (x) cuando x tiende a a, si y solo si: x a f i (x) = L i para todo i = 1, 2,..., m. En otras palabras, el F (x) tiende al vector L cuando x tiende a a, si y solo si, la convergencia se da en cada coordenada de F (x) a la correspondiente coordenada de L. 6

7 Observación 2.4. En vista del resultado anterior, centraremos nuestra atención en funciones reales de varias variables. Teorema 2.2. Sean F : U R n R m una función vectorial y a U. Suponga que: Entonces, M = N. F (x) = L F (x) = M x a x a Demostración. Sea ε > 0. Por hipótesis, existen δ 1, δ 2 > 0 tales que: 0 < x a < δ 1 = f (x) L < ε 2 y: Considerando, δ = mín {δ 1, δ 2 }, se tiene que: 0 < x a < δ 2 = f (x) M < ε 2 L M = (L f (x)) + (f (x) M) f (x) L + f (x) M < ε 2 + ε 2 = ε Lo anterior implica que L = M. Ejemplo 2.3. Determine si acaso existe el siguiente ite: (x,y,z) (0,0,0) sin (xy) + z x 2 + y 2 + z Solución 2.2. Anotemos f (x, y, z) = sin(xy)+z x 2 +y 2 + z y consideremos el conjunto: T = { (x, y, z) R 3 : x = y = 0 z 0 } Ahora bien: f { T = z 1, z > 0 z = 1, z < 0 Por unicidad del ite, se concluye que el ite (x,y,z) (0,0,0) sin(xy)+z x 2 +y 2 + z no existe Límites Ejemplo 2.4. Sea f : R 2 {(0, 0)} R una función de dos variables definida por: f (x, y) = xy x 2 + y 2 Considere: T m = { (x, y) R 2 : y = mx } 7

8 con m 0. Note que: (f Tm ) (x, y) = f (x, mx) = = mx 2 x 2 + m 2 x 2 m 1 + m 2 Notamos que si (x, y) (0, 0) a través de T m, es decir, si consideramos el ite (x,y) (0,0) f (x, y), se tiene que: (x,y) (0,0) f (x, y) = f (x, mx) x 0 (x,y) T m m = x m 2 m = 1 + m 2 (x,y) T m y por tanto, se puede concluir que el ite de f (x, y) no existe, pues depende directamente de la pendiente de la recta de aproximación al origen y = mx. Observación 2.5. Lo anterior se puede generalizar introduciendo la idea de camino en R n. Consideremos: Definición 2.3. Un camino en R n es una función ϕ : I R n, cuyo dominio es un intervalo I R. Es decir: ϕ (t) = (ϕ 1 (t), ϕ 2 (t),..., ϕ n (t)), t I Diremos, además, que el camino es continuo en a I, si cada función componente ϕ i : I R R es continua en a. Definición 2.4. Sean U R n, a U y un camino de la forma ϕ : [0, 1] U. Diremos que ϕ (t) converge propiamente a a, cuando t 0 + si: ϕ (t) = a t 0 + y ϕ (t) a, para todo t (0, 1]. Anotamos lo anterior mediante el símbolo ϕ (t) p a. Teorema 2.3. Sean f : U R n R y a U tales que: Entonces: f (x) = L x a f (ϕ (t)) = L t 0+ para todo camino ϕ : [0, 1] U tal que ϕ (t) p a. Ejemplo 2.5. Determine la existencia del ite: x 3 + y 3 (x,y) (0,0) x y 8

9 Solución 2.3. Note que: x 3 + y 3 x y = x3 y 3 + 2y 3 x y = ( x 2 + xy + y 2) + 2y3 x y Ahora bien, suponga que: Luego: Defina: 2y 3 x y = r x = y + 2 r y3 ϕ (t) = (t, t + 2r ) t3 y concluya que el ite no existe. Observación 2.6. Insistimos que lo anterior también se puede lograr restringiendo el dominio de las funciones involucradas a conjuntos adecuados. Observación 2.7. Otro procedimiento habitual para investigar acerca de la existencia o inexistencia de un ite es transformar mediante un cambio de variables adecuado el espacio R 2 completo. Es decir, considerando el cambio de coordenadas: { x = r cos θ y = r sin θ la función f (x, y) = xy x 2 +y 2 queda como: f (x (r, θ) ; y (r, θ)) = f (r cos θ, r sin θ) r 2 cos θ sin θ = r ( 2 cos 2 θ + sin 2 θ ) = cos θ sin θ Ahora bien, notando que si (x, y) (0, 0) implica que r 0, se observa que el ite anterior no existe, pues depende del ángulo θ de entrada al origen (0, 0). Observación 2.8. Una herramienta útil para determinar indicar la inexistencia de ite para una función de f : U R 2 R son los ites iterados. Definición 2.5. Sean f : U R 2 R una función de dos variables y (a, b) U. Se definen los ites iterados de f como los ites univariados: ( ) f (x, y) x a y b y ( ) f (x, y) y b x a 9

10 Teorema 2.4. Sean f : U R 2 R una función y (a, b) U tales que: f (x, y) = L (x,y) (a,b) Entonces, x a ( y b f (x, y)) y y b ( x a f (x, y)) existen, y además: ( ) ( ) f (x, y) = f (x, y) = L x a y b y b x a Ejemplo 2.6. Calcule los ites iterados en (0, 0) de la función: Solución 2.4. Note que: x 0 f (x, y) = ( f (x, y) y 0 xy x 2, (x, y) (0, 0) + y2 ) = x 0 0 = 0 = y 0 ( ) f (x, y) x 0 Por tanto, ambos ites iterados existen y tienen valor cero, sin embargo, sabemos que f (x, y) no posee ite en (0, 0). Ejemplo 2.7. Determine la existencia del ite: 2.3. Cálculo de ites Álgebra de ites sin (x + y) (x,y) (0,0) x + 3y Teorema 2.5. Sean f, g : U R n R funciones tales que: para a U. Entonces: f (x) = L g (x) = M x a x a 1. x a (α f (x)) = α x a f (x) = αl, α R 2. x a (f (x) + g (x)) = x a f (x) + x a g (x) = L + M 3. x a (f (x) g (x)) = x a f (x) x a g (x) = L M 4. x a (f (x) /g (x)) = x a f (x) / x a g (x) = L/M, M 0 Ejemplo 2.8. Calcule: Ejemplo 2.9. Calcule: (x,y) (0,0) sin (3xy) sin x sin y 1 cos xy (x,y) (0,0) x 2 y sin y 10

11 Ejemplo Determine el valor de α R de modo que el ite: { ( x x cos xy x 2 (x,y) (0,0) y sin 2 (3x) + xy ) } 1 α 2 x 2 y 2 exista. Calcule el valor de α para tales casos. Observación 2.9. Una herramienta invaluable para el cálculo de ites el teorema del sandwich o del acotamiento. Este teorema requiere el uso adecuado de desigualdades notables, las más usuales son: Teorema Sea x = (x 1, x 2,..., x n ) R n, entonces x i x, para todo i = 1, 2,..., n. 2. a) (a + b) 2 2 ( a 2 + b 2) b) 2ab a 2 + b 2 3. sin x 1, para todo x R. 4. sin x x, para todo x R. 5. a, b, c > 0 = a b+c a b Teorema 2.7. Sean f, g, h : U R n R y a U tales que: f (x) g (x) h (x), x U Suponga que x a f (x) = x a h (x) = L, entonces: Ejemplo Verificaremos que: g (x) = L x a (x,y) (0,0) Solución 2.5. En efecto, basta notar que: sin 2 y x 2 + y sin 2 y x 2 + y = 0 y 2 x 2 + y y 2 y = y Ejemplo Calcule: x 3 y (sin x + cos x) 2 (x,y) (0,0) x 4 + y 2 11