La integral doble sobre recintos no rectangulares

Transcripción

1 La integral doble sobre recintos no rectangulares IABEL MARRERO Departamento de Análisis Matemático Universidad de La Laguna Índice 1. Introducción 1 2. Conjuntos de tipos I II 2 3. Aplicaciones al cálculo de áreas volúmenes Cálculo de áreas Cálculo de volúmenes Conjuntos medibles Jordan 8 CÁLCULO INTEGRAL VECTORIAL OCW-ULL 211/12

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3 LA INTEGRAL DOBLE OBRE RECINTO NO RECTANGULARE 1/8 1. Introducción Habiendo estudiado la teoría de la integral de Riemann sobre rectángulos del plano, nuestro propósito ahora es etenderla a otros recintos más generales. En primer lugar consideraremos regiones proectables sobre los ejes coordenados (conjuntos de tipo I de tipo II), para luego ocuparnos del caso más general, los conjuntos medibles Jordan. I J Q Figura 1. Definición de la integral sobre conjuntos más generales. ea f una función definida acotada sobre un conjunto acotado R 2. ea Q un rectángulo en R 2 que contiene a. Definimos una etensión f de f a Q por: f (,), (,) f (,) =, (,) Q \. (1) Definición 1.1. Diremos que f es integrable en si f es integrable en Q, en tal caso definimos f = f. Q Esta definición es consistente, a que no depende del rectángulo Q que contenga a. En efecto, supongamos que J es otro rectángulo en R 2 que contiene a. Entonces I = Q J es un rectángulo cuos vértices determinan particiones de Q de J en subrectángulos Q i (i N, i n) J j ( j N, j m), respecti- CÁLCULO INTEGRAL VECTORIAL OCW-ULL 211/12

4 2/8 I. MARRERO vamente, donde Q = J = I (Figura 1). i denotamos f (,), (,) f (,) =, (,) J \ tenemos en cuenta que f f son nulas fuera de I coinciden sobre I, encontramos que Q f = f = f = f, I I J lo cual demuestra nuestra afirmación inicial. En este nuevo conteto también utilizaremos indistintamente las notaciones f f (,) d d. 2. Conjuntos de tipos I II Ahora centraremos nuestra atención en conjuntos particulares, los conjuntos de tipo I de tipo II. Definición 2.1. Diremos que un conjunto es de tipo I, OX-proectable o verticalmente simple si es de la forma = { (,) R 2 : ϕ 1 () ϕ 2 (), [a,b] }, siendo ϕ 1 ϕ 2 funciones continuas en [a,b] tales que ϕ 1 () ϕ 2 () ( [a,b]). imilarmente, diremos que un conjunto T es de tipo II, OY -proectable u horizontalmente simple si es de la forma T = { (,) R 2 : ψ 1 () ψ 2 (), [c,d] }, donde ψ 1 ψ 2 son funciones continuas en [c,d] tales que ψ 1 () ψ 2 () ( [c,d]). En la Figura 2 puede verse una ilustración de ambos tipos de recintos. Nuestro objetivo inmediato es probar que si una función f está definida acotada en un conjunto de tipo I es continua en su interior, entonces f es integrable sobre su integral doble sobre se puede escribir como una integral iterada en el orden d d. imilarmente, si f está definida acotada en un recinto T de tipo II es continua en su interior, entonces f es integrable sobre T su integral doble sobre T se puede escribir como una integral iterada en el orden d d. En caso de que f esté definida acotada en un conjunto que es simultáneamente de tipos I II sea continua en el interior de ese conjunto, entonces f es integrable sobre él su integral doble se puede computar como una integral iterada en cualquier orden. OCW-ULL 211/12 CÁLCULO INTEGRAL VECTORIAL

5 LA INTEGRAL DOBLE OBRE RECINTO NO RECTANGULARE 3/8 = ϕ 2 () d = ψ 1 () T = ψ 2 () = ϕ 1 () c a b Figura 2. Conjuntos de tipo I (i) tipo II. Centraremos nuestra atención en el estudio de la integrabilidad sobre regiones de tipo I, a que el correspondiente a las regiones de tipo II admite un tratamiento análogo. i f está definida acotada en una región de tipo I, incluimos f en un rectángulo Q definimos f en Q como en (1). Las discontinuidades de f en Q serán las que f tenga en además aquellos puntos de donde f no es cero. Pretendemos probar que tiene contenido nulo, a tal fin bastará con demostrar la siguiente: Proposición 2.2. La gráfica de una función continua ϕ : [a,b] R es un conjunto de contenido nulo en R 2. DEMOTRACIÓN. ea A = { (,) R 2 : a b, = ϕ() } la gráfica de ϕ. Como ϕ es uniformemente continua en [a,b], dado ε > eiste una partición P = {a = < 1 <... < n = b} de [a,b] tal que la diferencia entre el supremo el ínfimo de ϕ en cada uno de los subintervalos determinados por P no ecede ε/(b a) (Figura 3). i F i denota el rectángulo F i = [ i 1, i ] [ϕ( i 1 ),ϕ( i )] (i N, 1 i n), entonces A n i=1 F i n i=1 F i ε b a n i=1 ( i i 1 ) = ε (b a) = ε. b a Por consiguiente, A tiene contenido nulo. Teorema 2.3. ea una región de tipo I, comprendida entre las gráficas de las funciones continuas ϕ 1 ϕ 2, con ϕ 1 () ϕ 2 () ( [a,b]). i f está definida acotada en es continua en su interior, entonces eiste f b ϕ2 () f (,) d d = d f (,) d. a ϕ 1 () CÁLCULO INTEGRAL VECTORIAL OCW-ULL 211/12

6 4/8 I. MARRERO ϕ ε / (b-a) a b Figura 3. El grafo de una función continua tiene contenido nulo. DEMOTRACIÓN. ea Q = [a,b] [c,d] un rectángulo que contiene a, sea f la etensión de f a Q que se anula en Q \. Los únicos puntos de discontinuidad posibles de f en Q son los de, a que tiene contenido nulo, encontramos que f es integrable sobre Q. Luego, está definida f = Q f. Observemos ahora que para cada ]a,b[ eiste d ϕ2 () A() = f (,) d = f (,) d, c ϕ 1 () puesto que f (, ) tiene a lo sumo dos discontinuidades en [c,d] se anula fuera de [ϕ 1 (),ϕ 2 ()]. Además, si M es una cota de f entonces A() es continua está acotada por M(d c) en ]a,b[. Para establecer la afirmación de continuidad, fijemos ]a,b[. Dado ε > sea δ > tal que h < δ implica f (+h,) f (,) < ε/3(d c) ϕ i ( + h) ϕ i () < ε/3m (i = 1,2), escribamos A( + h) A() = = ϕ2 (+h) ϕ 1 (+h) ϕ2 (+h) ϕ 1 (+h) ϕ2 () f ( + h,) d f (,) d ϕ 1 () [ f ( + h,) f (,)] d + ϕ2 (+h) ϕ 2 () ϕ1 (+h) f (,) d f (,) d. ϕ 1 () Entonces A( + h) A() ϕ2 (+h) ϕ 1 (+h) f ( + h,) f (,) d + ε ε (d c) + 2M 3(d c) 3M = ε. ϕ2 (+h) ϕ 2 () ϕ1 f (,) d + (+h) f (,) d ϕ 1 () OCW-ULL 211/12 CÁLCULO INTEGRAL VECTORIAL

7 LA INTEGRAL DOBLE OBRE RECINTO NO RECTANGULARE 5/8 Redefiniendo ahora A() en = a = b para hacerla continua en [a,b], cabe aplicar el teorema de Fubini para rectángulos concluir que b d b ϕ2 () f = f = d f (,) d = d f (,) d, Q a c a ϕ 1 () como se afirmaba. 3. Aplicaciones al cálculo de áreas volúmenes Nuevamente, consideraremos sólo regiones de tipo I. ea = { (,) R 2 : ϕ 1 () ϕ 2 (), [a,b] }, donde ϕ 1 ϕ 2 son funciones continuas en [a,b] tales que ϕ 1 () ϕ 2 () ( [a,b]) Cálculo de áreas i f (, ) = 1 ((, ) ) en el Teorema 2.3, obtenemos: b d d = [ϕ 2 () ϕ 1 ()]d. a La interpretación geométrica de la integral simple muestra que dd es el área de. Ejemplo 3.1. Calcular el área del recinto D limitado por = e = 2. REOLUCIÓN. Como acabamos de ver, el área viene dada por la integral doble etendida a D de la función idénticamente 1. El recinto de integración D (Figura 4) es simultáneamente de tipos I II. Por tanto, podemos calcular el área como una integral iterada en cualquier orden. Nótese que = e = 2 se cortan en los puntos (,) (1,1). i consideramos D como un recinto de tipo I (orden d d): ϕ 1 () = 2, ϕ 2 () = ( 1). Por tanto, D 1 d d = d d = 2 1 ( 2 ) d = = 1 6. CÁLCULO INTEGRAL VECTORIAL OCW-ULL 211/12

8 6/8 I. MARRERO i consideramos D como un recinto de tipo II (orden d d): ψ 1 () =, ψ 2 () = ( 1). Por tanto, D 1 1 d d = d d = ( ) d = = 1 6. Como cabía esperar, hemos obtenido el mismo resultado independientemente del orden de integración. 1 (1,1) = = 2 1 Figura 4. Recinto de integración del Ejemplo Cálculo de volúmenes i f (,) ((,) ), el conjunto O( f ) = { (,,z) R 3 : z f (,) ((,) ) } se denomina conjunto de ordenadas de f. Bajo las hipótesis del Teorema 2.3, fijado = [a,b] la integral ϕ2 ( ) ϕ 1 ( ) f (,) d es el área de la sección producida en el conjunto de ordenadas de f por el plano =, el Teorema 2.3 prueba entonces que b ϕ2 () f (,) d d = d f (,) d a ϕ 1 () es igual al volumen de O( f ) (Figura 5). OCW-ULL 211/12 CÁLCULO INTEGRAL VECTORIAL

9 LA INTEGRAL DOBLE OBRE RECINTO NO RECTANGULARE 7/8 En general, si f (,) g(,) ((,) ), la integral (g f ) proporciona el volumen del sólido encerrado por las gráficas de f g (argumento «tapa-fondo»). z f a ϕ 2 () Área de la sección = (,) d ϕ1 ()f b = ϕ 1 () = ϕ 2 () Figura 5. La integral doble como un volumen. Ejemplo 3.2. Una pirámide está limitada por los tres planos coordenados el plano z = 6. Representar el sólido calcular su volumen por integración doble. REOLUCIÓN. Dividiendo por 6 los dos miembros de la ecuación z = 6 vemos que el plano correspondiente determina sobre los ejes coordenados segmentos de longitud 6, 3 2, respectivamente. La proección del plano z = 6 sobre el plano OXY viene dada por + 2 = 6, recta que determina sobre los ejes segmentos de longitud 6 3. El sólido se halla representado en la Figura 6. Eplicitando z en la ecuación del plano encontramos que z = Por tanto, si es el recinto del plano OXY limitado por las rectas =, =, + 2 = 6, resulta V = = 2 = 2 z d d = 6 2 d 6 2 d d 1 3 (6 2) d 1 6 = = 6, 6 2 d 3 d 6 2 d 2 3 (6 2) 2 d d d (6 2) d CÁLCULO INTEGRAL VECTORIAL OCW-ULL 211/12

10 8/8 I. MARRERO Figura 6. ólido del Ejemplo 3.2. donde V es el volumen pedido. 4. Conjuntos medibles Jordan Definición 4.1. Un conjunto C R 2 es medible Jordan si está acotado su frontera tiene contenido nulo. Ejemplo 4.2. Las regiones de tipo I de tipo II son conjuntos medibles Jordan. Teorema 4.3 (Lebesgue). Una función f : C R, acotada en un conjunto medible Jordan C R 2, es integrable en C si, sólo si, el conjunto D( f ) de las discontinuidades de f en C tiene medida nula. DEMOTRACIÓN. La función f es integrable en C si eiste un rectángulo Q que contiene a C tal que la etensión f de f a Q dada por (1) es integrable sobre Q. Por el teorema de Lebesgue para rectángulos, esto ocurre si, sólo si, D( f ) (el conjunto de discontinuidades de f en Q) tiene medida nula. Ahora bien, D( f ) D( f ) D( f ) C, donde C tiene contenido nulo. Luego, D( f ) es de medida nula si, sólo si, D( f ) lo es. Teniendo en cuenta el Teorema 4.3 se puede desarrollar (no lo haremos aquí) una teoría de la integración sobre conjuntos medibles Jordan en la que tienen cabida resultados análogos a los que se establecieron anteriormente para rectángulos. OCW-ULL 211/12 CÁLCULO INTEGRAL VECTORIAL