Integrales paramétricas propias

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1 Integrales paramétricas propias ISABEL ARRERO Departamento de Análisis atemático Universidad de La Laguna Índice 1. Introducción 1 2. Tipos de integrales paramétricas Simples Límites fijos Límites variables últiples Reducción de integrales del tipo al tipo Continuidad de las integrales paramétricas Simples Límites fijos Límites variables últiples Derivación de integrales paramétricas Simples Límites fijos Límites variables últiples Algunos ejemplos 12 CÁLCULO INTEGRAL VECTORIAL OCW-ULL 211/12

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3 INTEGRALES PARAÉTRICAS PROPIAS 1/13 1. Introducción uchas de las funciones que se manejan en Análisis atemático no se conocen mediante expresiones elementales, sino que vienen dadas a través de series o integrales. Un tipo particular de estas funciones son las llamadas integrales paramétricas o integrales dependientes de parámetros. Ejemplo de ellas son las expresiones del tipo b F(λ) = f (λ,x) a (λ Λ), donde Λ R p (p N, p 1), [a,b] R, y f : Λ [a,b] R (λ,x) f (λ,x) es integrable Riemann en [a,b] para cada λ Λ. El conocimiento de la regularidad y propiedades del integrando f nos permitirá decidir sobre la regularidad y propiedades de la integral paramétrica F, aun cuando no se disponga de una expresión explícita de F. Una técnica frecuentemente utilizada para el cálculo de determinadas integrales consiste en diferenciar o integrar una integral paramétrica auxiliar. En lo que sigue, p y q denotarán enteros positivos cualesquiera. 2. Tipos de integrales paramétricas 2.1. Simples Límites fijos Definición 2.1. Sean: Λ R p ; I = [a,b] R; y f : Λ I R (λ,x) f (λ,x) tal que f (λ, ) es integrable Riemann sobre I, para cada λ Λ. La función b F(λ) = f (λ,x) (λ Λ) a CÁLCULO INTEGRAL VECTORIAL OCW-ULL 211/12

4 2/13 I. ARRERO se llama integral paramétrica simple con límites de integración fijos y parámetro λ Λ Límites variables Definición 2.2. Sean: Λ R p ; a : Λ R, b : Λ R funciones acotadas, satisfaciendo a(λ) b(λ) (λ Λ); S(a,b) = { (λ,x) R p+1 : λ Λ, a(λ) x b(λ) } ; y f : S(a,b) R (λ,x) f (λ,x) tal que f (λ, ) es integrable Riemann sobre [a(λ),b(λ)], para cada λ Λ. La función b(λ) F(λ) = f (λ,x) (λ Λ) a(λ) se llama integral paramétrica simple con límites de integración variables y parámetro λ Λ últiples Definición 2.3. Sean: Λ R p ; R q, medible Jordan; y f : Λ R (λ,x) f (λ,x) tal que f (λ, ) es integrable Riemann sobre, para cada λ Λ. La función F(λ) = f (λ,x) (λ Λ) se llama integral paramétrica múltiple con parámetro λ Λ Reducción de integrales del tipo al tipo OCW-ULL 211/12 CÁLCULO INTEGRAL VECTORIAL

5 INTEGRALES PARAÉTRICAS PROPIAS 3/13 Proposición 2.4. Sean: Λ R p ; a : Λ R, b : Λ R funciones acotadas, satisfaciendo a(λ) b(λ) (λ Λ); S(a,b) = { (λ,x) R p+1 : λ Λ, a(λ) x b(λ) } ; y f : S(a,b) R (λ,x) f (λ,x) tal que f (λ, ) es continua en [a(λ),b(λ)], para cada λ Λ. Se verifica: b(λ) a(λ) 1 f (λ,x) = g(λ,t)dt, donde g(λ,t) = f (λ,a(λ) + [b(λ) a(λ)]t)[b(λ) a(λ)] (λ Λ, t [,1]). DEOSTRACIÓN. Para cada λ Λ, consideramos ϕ λ : [,1] [a(λ),b(λ)] t ϕ λ (t) = a(λ) + [b(λ) a(λ)]t. Esta aplicación es una biyección C con inversa C, y, por tanto, puede ser tomada como un cambio de variable para aplicar la regla de integración por sustitución: b(λ) a(λ) 1 f (λ,x) = 1 f (λ,ϕ λ (t))ϕ λ (t) dt = g(λ,t) dt (λ Λ). Se obtiene así el resultado pretendido. 3. Continuidad de las integrales paramétricas Seguidamente enunciamos los resultados pertinentes para cada tipo. Como se reduce a (Proposición 2.4) y la Proposición 3.1 es un caso particular de la Proposición 3.3, sólo probaremos esta última. CÁLCULO INTEGRAL VECTORIAL OCW-ULL 211/12

6 4/13 I. ARRERO 3.1. Simples Límites fijos Proposición 3.1. Sean: Λ R p ; I = [a,b] R; y f : Λ I R (λ,x) f (λ,x). Si: (i) (ii) Λ es compacto, y f es continua, entonces la integral paramétrica b F(λ) = f (λ,x) (λ Λ) a existe y es uniformemente continua sobre Λ Límites variables Proposición 3.2. Sean: Λ R p ; a : Λ R, b : Λ R funciones que satisfacen a(λ) b(λ) (λ Λ); S(a,b) = { (λ,x) R p+1 : λ Λ, a(λ) x b(λ) } ; y f : S(a,b) R (λ,x) f (λ,x). Si: (i) (ii) Λ es compacto, y a, b y f son continuas, OCW-ULL 211/12 CÁLCULO INTEGRAL VECTORIAL

7 INTEGRALES PARAÉTRICAS PROPIAS 5/13 entonces la integral paramétrica b(λ) F(λ) = f (λ,x) (λ Λ) a(λ) existe y es uniformemente continua sobre Λ últiples Proposición 3.3. Sean: Λ R p ; R q, medible Jordan; y f : Λ R (λ,x) f (λ,x). Si: (i) (ii) Λ y son compactos, y f es continua, entonces la integral paramétrica F(λ) = f (λ,x) (λ Λ) existe y es uniformemente continua sobre Λ. DEOSTRACIÓN. Puesto que f es continua, es continua en cada variable; luego, f (λ, ) es integrable Riemann sobre para todo λ Λ, y F existe. Como Λ se supone compacto, sólo tenemos que comprobar que F es continua sobre Λ, es decir, que F es continua en cada λ Λ. Pongamos =. Si =, F es idénticamente nula, y no hay nada que probar. Por tanto, supondremos >. Sea λ Λ, y sea ε >. Al ser f continua en Λ, que es compacto (producto cartesiano de compactos), CÁLCULO INTEGRAL VECTORIAL OCW-ULL 211/12

8 6/13 I. ARRERO f es uniformemente continua en Λ. Así, existe δ > tal que λ Λ y (λ,x) (λ,x) < δ implica f (λ,x) f (λ,x) < ε (x ). Claramente λ λ = (λ,x) (λ,x) (λ Λ, x ), donde en el primer miembro tomamos la norma de R p y en el segundo la de R p+q. Luego, para λ λ < δ podemos escribir F(λ) F(λ ) = = < f (λ,x) f (λ,x) [ f (λ,x) f (λ,x)] f (λ,x) f (λ,x) ε = ε, como queríamos demostrar. Corolario 3.4. En las hipótesis de las anteriores Proposiciones 3.1, 3.2 y 3.3, respectivamente, y para λ Λ, los siguientes límites existen y pueden calcularse como se indica: (i) (ii) (iii) b b lím f (λ,x) = f (λ,x) ; λ λ a a b(λ) b(λ ) lím f (λ,x) = f (λ,x) ; λ λ a(λ) a(λ ) lím λ λ f (λ,x) = f (λ,x). 4. Derivación de integrales paramétricas Los resultados sobre derivación de integrales paramétricas que estudiaremos a continuación se conocen como regla de Leibniz. Puesto que la Proposición 4.1 es un caso particular de la Proposición 4.3, sólo demostraremos las Proposiciones 4.3 y 4.2. OCW-ULL 211/12 CÁLCULO INTEGRAL VECTORIAL

9 INTEGRALES PARAÉTRICAS PROPIAS 7/ Simples Límites fijos Proposición 4.1. Sean: Λ R p ; I = [a,b] R; y f : Λ I R (λ,x) f (λ,x). Si: (i) (ii) Λ es abierto, y f es continua, con derivada parcial f / continua en Λ I para algún i = 1,..., p (λ = (λ 1,...,λ p ) Λ), entonces la integral paramétrica b F(λ) = f (λ,x) (λ Λ) a existe y es derivable respecto de λ i, teniéndose que F(λ) = b b f (λ,x) f (λ,x) = (λ Λ). a a Límites variables Proposición 4.2. Sean: Λ R p ; a : Λ R, b : Λ R funciones acotadas, satisfaciendo a(λ) b(λ) (λ Λ); S(a,b) = { (λ,x) R p+1 : λ Λ, a(λ) x b(λ) } ; U abierto en R p+1 que contiene a S(a,b); y f : U R (λ,x) f (λ,x). Si: CÁLCULO INTEGRAL VECTORIAL OCW-ULL 211/12

10 8/13 I. ARRERO (i) (ii) Λ es abierto, y a,b y f son continuas, con derivadas parciales a/, b/ y f / continuas en sus respectivos dominios para algún i = 1,..., p (λ = (λ 1,...,λ p ) Λ), entonces la integral paramétrica b(λ) F(λ) = f (λ,x) (λ Λ) a(λ) existe y es derivable respecto de λ i, teniéndose que F(λ) = b(λ) f (λ,x) a(λ) = b(λ) a(λ) f (λ,x) + b(λ) f (λ,b(λ)) a(λ) f (λ,a(λ)) (λ Λ) últiples Proposición 4.3. Sean: Λ R p ; R q, medible Jordan; y f : Λ R (λ,x) f (λ,x). Si: (i) (ii) (iii) Λ es abierto; es compacto; y f es continua, con derivada parcial f / continua para algún i = 1,..., p (λ = (λ 1,...,λ p ) Λ), entonces la integral paramétrica F(λ) = f (λ,x) (λ Λ) existe y es derivable respecto de λ i, teniéndose que F(λ) = f (λ,x) f (λ,x) = (λ Λ). OCW-ULL 211/12 CÁLCULO INTEGRAL VECTORIAL

11 INTEGRALES PARAÉTRICAS PROPIAS 9/13 DEOSTRACIÓN. La Proposición 4.1 es un caso particular de la Proposición 4.3, por lo que sólo demostraremos las Proposiciones 4.3 y 4.2. Demostración de la Proposición 4.3 Como antes, suponemos >. Fijemos λ Λ. Queremos ver que existe F(λ)/ y se calcula como se afirma. Puesto que Λ es abierto, para algún r λ > se cumple que la bola cerrada de centro λ y radio r λ en R p, B(λ,r λ ) = {µ R p : λ µ r λ }, está contenida en Λ. Sea e i el i-ésimo vector unitario canónico de R p. Debemos demostrar: F(λ + ρe i ) F(λ) f (λ,x) lím =. ρ ρ La función ρ f (λ + ρe i,x) depende de x y está definida para ρ r λ, pues, en tal caso, λ + ρe i B(λ,r λ ) Λ: (λ + ρe i ) λ = ρe i = ρ e i = ρ r λ. Por el teorema de los incrementos finitos, F(λ + ρe i ) F(λ) ρ = = f (λ + ρe i,x) f (λ,x) ρ f (λ + θρe i,x) para cierto θ ],1[, dependiente de x y de ρ [ r λ,r λ ]. Luego, F(λ + ρe i ) F(λ) ρ f (λ,x) f (λ + θρe i,x) f (λ,x). Como f / es continua en el compacto B(λ,r λ ), es uniformemente continua en dicho compacto. Así, CÁLCULO INTEGRAL VECTORIAL OCW-ULL 211/12

12 1/13 I. ARRERO dado ε > existe δ > tal que si ρ < δ < r λ y x, se cumple f (λ + θρe i,x) f (λ,x) < ε. Concluimos que F(λ + ρe i ) F(λ) ρ f (λ,x) < ε = ε, como se pretendía. Demostración de la Proposición 4.2 Nos apoyaremos en la Proposición 4.1, que ya está probada por ser un caso particular de la Proposición 4.3. Puesto que a, b son continuas en Λ, S(a,b) U, y U es abierto, dado λ Λ existen δ >, h > tales que C U, siendo C = U(λ,δ ) [a(λ ) h,b(λ ) + h ]; aquí, U(λ,δ ) = {λ Λ : λ λ < δ } denota la bola abierta de centro λ y radio δ en R p. Ahora, para λ λ < δ se tiene b(λ) a(λ) f (λ,x) = I(λ) + I b (λ) I a (λ), (1) con b(λ ) I(λ) = f (λ,x), a(λ ) a(λ) I a (λ) = f (λ,x), a(λ ) b(λ) I b (λ) = f (λ,x). b(λ ) La integral I(λ) tiene límites de integración fijos, luego le es de aplicación la Proposición 4.1, donde OCW-ULL 211/12 CÁLCULO INTEGRAL VECTORIAL

13 INTEGRALES PARAÉTRICAS PROPIAS 11/13 reemplazamos Λ I por C : I(λ) = λ=λ b(λ ) a(λ ) f (λ,x). (2) Veamos que I a (λ), I b (λ) son derivables en λ respecto de λ i, y calculemos estas derivadas. Por analogía, basta considerar I b (λ). Sea e i el i-ésimo vector unitario canónico de R p. Se verifica: I b (λ) I b (λ + ρe i ) I b (λ ) = lím λ=λ ρ ρ 1 = lím ρ ρ b(λ +ρe i ) b(λ ) f (λ + ρe i,x). Por el teorema de la media, existe ξ = ξ (ρ) [b(λ ),b(λ + ρe i )] tal que b(λ +ρe i ) b(λ ) f (λ + ρe i,x) = f (λ + ρe i,ξ )[b(λ + ρe i ) b(λ )]. Consecuentemente, I b (λ) [ b(λ + ρe i ) b(λ ) = lím λ=λ ρ ρ = b(λ) f (λ,b(λ )). λ=λ ] f (λ + ρe i,ξ ) Aquí hemos usado la existencia de b(λ)/ en λ y el hecho de que lím f (λ + ρe i,ξ ) = f (λ,b(λ )); ρ esto último se deduce de lo siguiente: (i) lím ρ (λ + ρe i ) = λ ; (ii) lím ρ b(λ + ρe i ) = b(λ ) (pues b es continua en λ ); (iii) b(λ ) ξ b(λ + ρe i ) implica lím ρ ξ (ρ) = b(λ ); y (iv) f es continua en (λ,b(λ )). Hemos probado: I b (λ) = b(λ) λ=λ f (λ,b(λ )). (3) λ=λ CÁLCULO INTEGRAL VECTORIAL OCW-ULL 211/12

14 12/13 I. ARRERO Similarmente: I a (λ) = a(λ) λ=λ f (λ,a(λ )). (4) λ=λ La combinación de (1), (2), (3) y (4) completa la demostración. 5. Algunos ejemplos Ejemplo 5.1. Calcular 3 lím (3x 1)cosxt. t 1 RESOLUCIÓN. Ya que f (t, x) = (3x 1) cos xt es continua en [ 1, 1] [1, 3], el Corolario 3.4 (i) asegura que [ ] 3x 2 3 lím (3x 1)cosxt = (3x 1) cosxt t= = (3x 1) = t x = 1, 1 resolviendo el ejemplo. Ejemplo 5.2. Sea t I(t) = sen(x2 +t 2 ). t 2 Hallar I (t). RESOLUCIÓN. Puesto que a(t) = t 2, b(t) = t y f (t,x) = sen(x 2 +t 2 ) son continuas (t,x R), la Proposición 4.2 permite escribir: t I (t) = 2t cos(x2 +t 2 ) + sen(2t 2 ) 2t sen(t 4 +t 2 ). t 2 El ejemplo queda así resuelto. Ejemplo 5.3. Calcular por derivación paramétrica: a (x 2 + a 2 ) 3 (a > ). OCW-ULL 211/12 CÁLCULO INTEGRAL VECTORIAL

15 INTEGRALES PARAÉTRICAS PROPIAS 13/13 RESOLUCIÓN. Para t >, pongamos t I(t) = x 2 +t 2 = 1 t arctg x t t = π 4t. En virtud de la Proposición 4.2, t I (t) = 2t (x 2 +t 2 ) t 2 = π 4t 2. Luego, Si ahora definimos t (x 2 +t 2 ) 2 = 1 ( π 2t 4t ) 2t 2 = π + 2 8t 3. t J(t) = (x 2 +t 2 ) 2 = π + 2 8t 3 y derivamos miembro a miembro, aplicando nuevamente la Proposición 4.2, encontramos que t J (t) = 4t (x 2 +t 2 ) ) = 3(π 4t 4 8t 4. De aquí, Haciendo t = a, concluimos: t (x 2 +t 2 ) 3 = 1 [ 3(π + 2) 4t 8t ] 4t 4 = 3π t 5. a (x 2 + a 2 ) 3 = 3π a 5, lo que resuelve el ejemplo. CÁLCULO INTEGRAL VECTORIAL OCW-ULL 211/12