1. Teorema de Cambio de Variable para la Integral de Riemann.

Transcripción

1 1. Teorema de Cambio de Variable para la Integral de Cambio de En el caso de la de Riemann para funciones reales de una variable real, se puede demostrar un teorema de cambio de variable de forma muy sencilla utilizando los teoremas fundamentales del cálculo, en condiciones buenas sobre la función que se quiere integrar y sobre la función de cambio de variable: Supongamos que g : [a, b] R es una función continua en [a, b], derivable en (a, b) y con derivada continua, y que f : R R es una función continua. Entonces el teorema de cambio de variable asegura que g(b) g(a) f = b a (f g) g En efecto, si F es una primitiva de f en [g(a), g(b)], se tiene que g(b) g(a) f = F (g(b)) F (g(a)) Por otro lado, la regla de la cadena asegura que (F g) = (F g) g = (f g) g, es decir, F g es una primitiva de (f g) g, y se tiene también b a (f g) g = F g(b) F g(a) = F (g(b)) F (g(a))

2 Se pueden dar teoremas más generales de cambio de variable, con condiciones menos fuertes sobre la función f (sólo integrable) y más fuertes en la función g (difeomorfismo de clase C 1 en (a, b)), a los que llegaremos como caso particular del teorema de cambio de variable para funciones de varias variables que vamos a demostrar. La situación en el caso de funciones en R n será en términos generales la siguiente: tendremos un conjunto medible-jordan N, una función biyectiva y diferenciable g : N R n, y una función integrable f definida en g(n) = M. Y se tratará de demostrar que, en ciertas condiciones, se verifica la igualdad f = (f g) Jg M N donde Jg es el valor absoluto del Jacobiano de g. Para ello habrá que asegurar primero que g(n) es un conjunto medible-jordan, para que tenga sentido la de f sobre M = g(n); en segundo lugar habrá que demostrar que la función (f g) Jg es integrable; y por último habrá que comprobar la igualdad de las es. Iremos resolviendo cada uno de estos problemas en varios pasos, empezando por casos sencillos sobre las funciones f y g. El primer teorema va encaminado a establecer condiciones suficientes sobre la función g para asegurar que transforma conjuntos medibles en conjuntos medibles. Por la mayor comodidad que supone en la utilización de las bolas como rectángulos, utilizaremos en R n la norma infinito: si x = (x 1,..., x n ), la norma infinito de x es x = max{ x 1,..., x n }

3 Con esta norma, la bola de centro x y radio r > 0 es B(x, r) = {y R n : max{ x 1 y 1,..., x n y n } r} Cambio de que es el rectángulo [x 1 r, x 1 + r] [x n r, x n + r] n =2 n = B(0, 1) B(0, 1) Antes de nada, conviene tener en cuenta la siguiente observación: Observación 1. En las definiciones de conjuntos de contenido cero y de medida cero, se pueden sustituir los rectángulos por cubos (rectángulos con todos lados de la misma longitud).

4 En efecto, basta tener en cuenta que para todo ɛ > 0, un rectángulo R de R n se puede incluir en otro rectángulo R de modo que v(r ) v(r) + ɛ, y tal que las longitudes de los lados de R sean números racionales. De esta forma, si R = [a 1, b 1 ] [a n, b n ], con b i a i = r i Q, podemos escribir r i = k i /m poniendo común denominador, lo que quiere decir que cada segmento [a i, b i ] se puede subdividir en k i intervalos de longitud m 1 ; por tanto R se puede dividir en k 1 k n cubos de lado m 1, y la suma de los volúmenes de estos cubos es igual al volumen de R. R R 1/m 1/m En consecuencia para todo ɛ > 0, un rectángulo R en R n está contenido en una familia finita de cubos Q 1,..., Q k de modo que k i=1 v(q i) v(r) + ɛ Utilizaremos también la siguiente definición: Definición (Función Lipschitziana). Sea U un conjunto en R n, y G : U R m una función.

5 Se dice que G es lipschitziana si existe una constante K > 0 tal que para todo par de puntos x e y en R n se verifica G(x) G(y) K x y Cambio de Por ejemplo, las aplicaciones lineales son funciones lipschitizianas en todo R n, y si F es una función diferenciable en un punto x 0 de un abierto U, entonces es localmente lipschitziana, es decir, existe una bola centrada en x 0 y contenida en U donde F es lipschitziana. Teorema Sea H R n un conjunto de medida cero (resp. de contenido cero) y sea g : H R m (n m) una aplicación lipschitziana. Entonces g(h) tiene medida cero (resp. contenido cero). 2. Sea A R n abierto, y g : A R m (n m) una función de clase C 1 en A. Sea H A un conjunto de medida cero (resp. contenido cero) tal que H esté contenido en A. Entonces g(h) tiene medida cero(resp. contenido cero). 3. Sea A R n abierto y g : A R m (n m) una función de clase C 1 en A. Sea H A un conjunto de medida cero. Entonces g(h) tiene medida cero. Observación 2. El último apartado del teorema no es cierto sustituyendo medida cero por contenido cero.

6 Para poner un ejemplo, considérese la función g : ( π, π ) R, definida por g(x) = tan(x) 2 2 y el conjunto H = { π 1, n IN}. 2 n g es una función de clase C 1 en el abierto A = ( π, π ), H es un conjunto de contenido 2 2 nulo, pues es una sucesión convergente en R, y verifica H A, y sin embargo g(h) no puede tener contenido nulo ya que no es un conjunto acotado (g( π 1 ) = tan( π 1 ) tiende a infinito 2 n 2 n cuando n tiende a infinito). Como consecuencia del teorema anterior veamos ahora que un difeomorfismo de clase C 1 en un conjunto abierto de R n transforma conjuntos medibles en conjuntos medibles. De hecho lo demostramos en condiciones un poco más generales, que incluyen la mayoría de los casos prácticos. Proposición 1. Sea A un abierto de R n y sea g : A R n una función de clase C 1 en A. Sea H un conjunto medible-jordan, tal que H A y tal que la restricción de g a H 0, interior de H, sea un difeomorfismo de clase C 1. Entonces g(h) es medible-jordan.

7 A g(a) g H 0 g(h 0 ) Cambio de g H 0 Demostración: Si H es medible-jordan, en particular es acotado y por tanto su adherencia H es compacto. Entonces como g(h) g(h), y g(h) es compacto por ser la imagen por una función continua de un conjunto compacto, se tiene que g(h) es acotado. Además, g(h) es el menor cerrado que contiene a g(h), y por tanto g(h) g(h). Por otro lado, la hipótesis de que g H 0 : H 0 g(h 0 ) es un difeomorfismo de clase C 1 implica, como consecuencia del teorema de la función inversa, que g(h 0 ) es abierto, y por tanto que g(h 0 ) g(h) 0. Por último, F r(g(h)) = g(h) \ g(h) 0 g(h) \ g(h 0 ) g(h \ H 0 ) = g(f r(h)) Aplicando el teorema anterior al conjunto F r(h), que es un subconjunto cerrado de A de

8 contenido cero, se tiene que g(f r(h)) tiene contenido cero, y por tanto también F r(g(h)) tiene contenido cero. En consecuencia, g(h) es medible-jordan. Cambio de Otra aplicación sencilla del teorema anterior es la siguiente demostración de que todo subespacio vectorial propio de R n (un subespacio vectorial se llama propio si no es el vacío ni el total) es un conjunto de medida nula, que utilizaremos más adelante. Proposición 2. Todo subespacio vectorial propio de R n tiene medida cero. Demostración: Sea H un subespacio de R n de dimensión k < n, y sea {v 1,..., v k } una base de H. Cada vector v de H será de la forma v = k i=1 λ iv i con (λ 1,..., λ k ) IR k. Definamos entonces la función g : IR k+1 R n (λ 1,..., λ k, λ) k λ i v i i=1 Es claro que podemos poner H = g(ir k {0}). Ahora bien, IR k {0} tiene medida cero en IR k+1 :

9 y En efecto, (IR k {0}) Q i donde i=1 k {}}{ ɛ Q i = [ i, i] [ i, i] [ (2i) k 2, ɛ i+1 (2i) k 2 ] i+1 v(q i ) = i=1 (2i) k ɛ (2i) k 2 = ɛ i+1 i=1

10 Y, por último, g : IR k+1 R n es lipschitziana: g(λ 1,..., λ k, λ) g(µ 1,..., µ k, µ) = k k = (λ i µ i )v i λ i µ i v i i=1 i=1 máx{ λ i µ i, 1 i k} k v i i=1 (λ 1,..., λ k, λ) (µ 1,..., µ k, µ) L siendo L = k i=1 v i. Aplicado el teorema se deduce que H = g(ir k {0}) tiene medida nula. Antes de seguir adelante con la demostración de una primera versión de cambio de variable, para aplicaciones lineales, vamos a destacar algunas observaciones técnicas que se repiten en las demostraciones siguientes. Observación 3. Si Q es una familia finita de conjuntos medibles en R n que no se solapan (es decir, Mi 0 Mj 0 =, para todo i j), entonces v( v(m) M Q M) = M Q

11 En efecto, podemos poner v( ( M) = v ( M 0 ) ( ) F r(m)) M Q M Q M Q Aquí, ( M Q M 0 ) y ( M Q F r(m)) son conjuntos disjuntos. Además, para cada M Q, la frontera F r(m) de M tiene contenido cero, por lo que el conjunto ( M Q F r(m)) tiene contenido cero. Entonces v( M) = v( v(m) M Q M Q M) = M Q v(m 0 ) = M Q

12 Observación 4. Sea Q una familia de conjuntos medibles en R n que no se solapan, y sea U un abierto en R n tal que el conjunto M = ( N Q N) verifique M U. Sea g una función de clase C 1 de U en R n, tal que la restricción a M 0 sea un difeomorfismo de clase C 1. Entonces Cambio de v(g(m)) = N Q v(g(n)) U g g(u) N g(n) M g(m)

13 En efecto, por un lado ( v(g(m)) = v g( ) ( N) = v g( N 0 ) g( ) F r(n)) = = v ( ( N Q N Q = N Q v(g(n 0 )) g(n 0 ) ) ( N Q N Q N Q g(f r(n)) )) v( N Q g(n 0 )) + 0 puesto que, por el teorema 1, N Q g(f r(n)) tiene contenido cero. Por otro lado, como N Q g(n 0 ) es un subconjunto de g(m), es claro que v( N Q g(n 0 )) v(g(m)) Por tanto, v(g(m)) = v(g(n 0 )) = N Q N Q ( v(g(n 0 )) + v(g(f r(n))) ) = N Q v(g(n))

14 como queríamos demostrar. Cambio de Por último nos interesa destacar una propiedad de descomposición de los isomorfismos lineales de R n, (aplicaciones lineales biyectivas de R n en o R n ): Observación 5. Todo isomorfismo lineal L : R n R n se puede descomponer como composición de aplicaciones lineales elementales de los tres tipos siguientes: Si x = (x 1,, x n ) y Lx = ((Lx) 1,, (Lx) n ) Tipo A: Existe λ R y existe i, 1 i n tal que (Lx) i = λx i, y (Lx) j = x j para todo j i. Tipo B: Existen i, k, 1 i, k n, tales que (Lx) i = x k, (Lx) k = x i, y (Lx) j = x j, para todo j i, k. Tipo C: Existen i, k, 1 i, k n tales que (Lx) k = x i + x k y (Lx) j = x j para todo j k. Este resultado, que no vamos a demostrar, es el fundamento del método de Gauss para la inversión de matrices. Con estas observaciones, podemos demostrar el siguiente teorema:

15 Teorema 2. Toda aplicación lineal L : R n R n transforma conjuntos medibles-jordan en conjuntos medibles-jordan. Además, para cada conjunto medible-jordan M en R n se tiene v(l(m)) = det L v(m) Cambio de Demostración: Toda aplicación lineal en R n es una función de clase C 1 en todo el espacio R n. Distinguiremos dos casos: cuando L es un isomorfismo y cuando no lo es. Caso primero: Supongamos que L no es un isomorfismo. Entonces la imagen L(R n ) es un subespacio vectorial propio de R n, y por tanto, por la proposición 2, L(R n ) tiene medida cero. Además todo subespacio vectorial es un cerrado, y por otro lado, si M es medible-jordan en particular es acotado y L(M) es también acotado. Así que tenemos L(M) L(M) L(R n ), donde L(M) es un subconjunto compacto de un conjunto de medida nula. En consecuencia L(M) tiene contenido nulo, y también L(M) tiene contenido nulo. En particular L(M) es medible, y v(l(m)) = 0. Como por otro lado el determinante det L es cero, por no ser L un isomorfismo, también se verifica que det L v(m) = 0, y se tiene el resultado. Caso segundo: Supongamos ahora que L es un isomorfismo en R n. En primer lugar, todo isomorfismo lineal es un difeomorfismo de clase C 1 en todo R n, por lo que, aplicando la proposición 1, L transforma conjuntos medibles-jordan en conjuntos medibles- Jordan.

16 En segundo lugar, demostraremos que basta probar el teorema en el caso en que L es una aplicación lineal elemental como las definidas en la observación anterior. En efecto, si L es un isomorfismo, existe una descomposición de L de la forma L = L 1 L 2 L k, donde L i son aplicaciones elementales, 1 i k. Si suponemos que el resultado es cierto para estas aplicaciones elementales, y M es un conjunto medible en R n, se tiene v(l(m)) = v(l 1 (L 2 L k (M))) = = det L 1 v(l 2 L k (M)) = = det L 1... det L k v(m) = = det L v(m) y por tanto el resultado sería cierto también para L. Y en tercer lugar vamos a ver que dada una aplicación elemental L, basta demostrar el resultado cuando el conjunto medible M es un rectángulo. En efecto, supongamos que el resultado es cierto para rectángulos, y sea M un conjunto medible-jordan cualquiera. Sea A un abierto en R n tal que M A. Dado ɛ > 0, sea P una partición de A tal que S(χ M, P ) S(χ M, P ) < ɛ Si llamamos E 1 = {R P, R M } y E 2 = {R 0, R P, R M}, se tiene:

17 a) E 1 y E 2 son medibles-jordan, por ser unión finita de conjuntos medibles. Además E 2 M E 1, y por tanto v(e 2 ) v(m) v(e 1 ). b) S(χ M, P ) = M R (χ M )v(r) = v(r) = v(e 1 ) R P R P,R M puesto que si R M = la función característica de M vale cero en cada punto de R, y M R (χ M ) = 0, y por otro lado, si R M entonces hay al menos un punto de R en el que χ M vale uno, y M R (χ M ) = 1. Y análogamente S(χ M, P ) = m R (χ M )v(r) = v(r) = R P R P,R M = v(r 0 ) = v(e 2 ) R P,R M c) L(E 1 )) = L( {R P, R M }) = {L(R), R P, R M } y por tanto, si el resultado es cierto para rectángulos, v(l(e 1 )) = v(l(r)) = det L v(e 1 ) R P, R M

18 Y análogamente, L(E 2 ) = {L(R 0 ), R P, R M}, y v(l(e 2 )) = v(l(r 0 )) = det L v(e 2 ) R P, R M Cambio de d) Por otro lado, de la desigualdad E 2 M E 1 se deduce que también L(E 2 ) L(M) L(E 1 ), y por tanto v(l(e 2 )) v(l(m)) v(l(e 1 )) Sustituyendo v(l(e 2 )) y v(l(e 1 )) por los valores obtenidos en (c), se tiene det L v(e 2 ) v(l(m)) det L v(e 1 ) I Por último, si en la desigualdad obtenida en (a) multiplicamos por det L, se tiene det L v(e 2 ) det L v(m) det L v(e 1 ) II Restando I y II, se obtiene det L (v(e 2 ) v(e 1 )) v(l(m)) det L v(m) det L (v(e 1 ) v(e 2 ))

19 de donde v(l(m)) det L v(m) det L (v(e 1 ) v(e 2 )) = = det L (S(χ M, P ) S(χ M, P )) det L ɛ Cambio de Como esto es cierto para todo ɛ > 0, tiene que ser v(l(m)) = det L v(m) Luego, efectivamente, si el resultado se demuestra para rectángulos, entonces es cierto para cualquier conjunto medible-jordan. Sea entonces R un rectángulo, R = [a 1, b 1 ]..., [a n, b n ], y L una aplicación lineal elemental. Primer caso: Si L es de tipo A, es decir, existe i, 1 i n tal que (Lx) i = λx i para algún número real λ, y (Lx) j = x j para todo j i, la matriz de la aplicación lineal es de la forma

20 i 1 i λ donde son cero todos los términos fuera de la diagonal, y unos todos los términos de la diagonal excepto el de lugar ii que vale λ. En particular, det L = λ. Por otro lado, la imagen del rectángulo R es un rectángulo L(R) = {L(x 1,..., x i,..., x n ), (x 1,..., x i,..., x n ) R} = = {(x 1,..., λx i,..., x n ), (x 1,..., x i,..., x n ) R} = = [a 1, b 1 ] [λa i, λb i ] [a n, b n ] que tiene volumen v(l(r)) = λ v(r) = det L v(r), y se tiene el resultado. Segundo caso: Si L es de tipo B, es decir, existen i, k, 1 i, k n tales que (Lx) i = x k, (Lx) k = x i y para todo j i, k (Lx) j = x j, la matriz de L es de la forma

21 i k 1 i k donde son unos todos los elementos de la diagonal excepto los de los lugares ii y kk, que pasan a las posiciones ik y ki, y son cero todos lor términos que no están indicados expĺıcitamente. Es claro entonces que det L = 1. Por otro lado, la imagen del rectángulo R es un rectángulo L(R) = {L(x 1,..., x i,..., x k,..., x n ), (x 1,..., x i,..., x k,..., x n ) R} = = {(x 1,.., x i 1, x k, x i+1,.., x k 1, x i, x k+1,.., x n ), (x 1,.., x i,.., x k,.., x n ) R} = = [a 1, b 1 ] [a i 1, b i 1 ] [a k, b k ] [a i+1, b i+1 ]... [a k 1, b k 1 ] [a i, b i ] [a k+1, b k+1 ] [a n, b n ]

22 que tiene el mismo volumen que R. Por tanto también en este caso v(l(r)) = v(r) = det L v(r) Cambio de Tercer caso: Si L es de tipo C, es decir, existen i, k, 1 i, k n tales que (Lx) k = x i + x k, y para todo j k (Lx) j = x j, la matriz de L es de la forma i k 1 i donde son unos todos los términos de la diagonal y el de posición ki, y son cero todos los términos que no aparecen indicados expĺıcitamente. En particular el determinante de L verifica det L = 1. Por otro lado, la imagen de R está contenida en el rectángulo L(R) = {L(x 1,..., x k,..., x n ), (x 1,..., x k,..., x n ) R} =

23 = {(x 1,..., x k 1, x i + x k, x k+1,..., x n ), (x 1,..., x k 1, x k, x k+1,..., x n ) R} [a 1, b 1 ]... [a k 1, b k 1 ] [a i + a k, b i + b k ] [a k+1, b k+1 ]... [a n, b n ] = R Llamemos R al rectángulo R = [a 1, b 1 ] [a k 1, b k 1 ] [a k+1, b k+1 ] [a n, b n ] Aplicando el Teorema de Fubini para calcular v(l(r)), se tiene (*) v(l(r)) = χ L(R) = R ( ) = χ L(R) (y 1,.., y k,.., y n )dy k d(y 1,.., y k 1, y k+1,.., y n ) R [a i +a k,b i +b k ] Ahora bien, fijo (y 1,..., y k 1, y k+1,..., y n ) en R, la función χ R) vale uno en (y 1,..., y k 1, y k, y k+ si y sólo si este punto está en L(R), es decir, si y sólo si existe un punto (x 1,..., x i,..., x k,..., x n ) R tal que y 1 = x 1 ;... ; y i = x i ;... y k = x i + x k = y i + x k... ; y n = x n

24 lo que equivale a que y k [y i + a k, y i + b k ]. Sustituyendo estos ĺımites en la (*), se tiene ( yi +b k ) v(l(r)) = 1dy k d(y 1,..., y k 1, y k+1,..., y n ) = R y i +a k = (b k a k )d(y 1,..., y k 1, y k+1,..., y n ) = R = (b k a k )v(r ) = v(r) lo que prueba que también en este último caso v(l(r)) = det L v(r), y termina la demostración del teorema. Este teorema que acabamos de demostrar es el primer teorema de cambio de variable. Si pensamos en la aplicación lineal L como una función de cambio de variable, L es una función de clase C 1 en todo R n, tal que para cada x R n la diferencial de L en x es la propia función L (dl(x) = L). El teorema asegura que L transforma conjuntos medibles-jordan en conjuntos medibles-jordan, y, expresando los volúmenes mediante la de la función característica, que 1 = v(l(m)) = det L v(m) = det L 1 = L(M) M = 1 det L = 1 L JL M M

25 donde JL es el Jacobiano de L, que es la fórmula de cambio de variable para la función integrable f 1 y la función de cambio g = L. El siguiente paso en la demostración del teorema de cambio de variable general es el caso en que f es la función constantemente uno, y g es una función de clase C 1. Para este resultado utilizaremos un lema de tipo técnico sobre el comportamiento de una función en relación con su diferencial, que suele utilizarse también en las demostraciones de los teoremas de la función inversa y de la función impĺıcita del cálculo diferencial. Lema 1. Sean U un abierto de R n, y g : U R n una función de clase C 1 en U. Sea a U tal que dg(a) = I, la identidad en R n, y sea r > 0 tal que la bola cerrada de centro a y radio r, B(a, r), esté contenida en U. Supongamos que existe ɛ, 0 < ɛ < 1, tal que dg(x) dg(z) ɛ para todos x, z B(a, r). Entonces B(g(a), (1 ɛ)r) g(b(a, r)) B(g(a), (1 + ɛ)r) (1 + ɛ)r a r g g(a) (1 ɛ)r B(a, r) g(b(a, r))

26 Demostración: Empecemos con el primer contenido, y veamos en primer lugar que basta demostrarlo en el caso a = g(a) = 0. En efecto, si definimos h(x) = g(x+a) b, donde b = g(a), definida en el abierto V = U a, h es una función de clase C 1 en V, con h(0) = 0 y dh(0) = dg(a) = I. Supongamos que h cumple el teorema; entonces, como g(y) = h(y a) + b para cada y U, si z B(g(a), (1 ɛ)r) = B(b, (1 ɛ)r) = b + B(0, (1 ɛ)r) se tiene que z = b + w con w B(0, (1 ɛ)r). Por hipótesis, B(0, (1 ɛ)r) h(b(0, r)), y por tanto, existe x B(0, r) tal que w = h(x); y tomando y = x + a se tiene y B(a, r) y además z = b + h(y a) = g(y) Es decir, B(g(a), (1 ɛ)r) g(b(a, r)) Así pues, supongamos que g es una función de clase C 1 en un abierto U de R n que contiene a 0, con g(0) = 0 y dg(0) = I, y sean r > 0, 0 < ɛ < 1 tales que B(0, r) U, y dg(x) dg(z) ɛ para todos x, z B(0, r). Hay que probar que para todo y B(0, (1 ɛ)r) existe x B(0, r) tal que y = g(x). Dado y B(0, (1 ɛ)r), definimos la función g y (x) = x g(x) + y

27 en B(0, r). La función g y transforma B(0, r) en sí misma, pues para todo x B(0, r) Cambio de g y (x) = x g(x) + y x g(x) + y = = g(x) g(0) + dg(0)(x) + y x sup z B(0,r) dg(z) dg(0) + y r ɛ + (1 ɛ) r = r aplicando el teorema del valor medio a la función h(x) = g(x) dg(0)(x). El conjunto B(0, r) es un espacio métrico completo, al ser un subconjunto cerrado de R n, que es completo. Y además g y es contractiva: g y (x) g y (z) = x z + g(x) g(z) = = dg(0)(x z) g(x) g(z) x z ɛ x z sup dg(0) dg(u) u B(0,r) aplicando el teorema el valor medio a la función h(x) = dg(0)(x) g(x). Como 0 < ɛ < 1 por hipótesis, efectivamente la función g y es contractiva, y podemos aplicar el teorema del punto fijo

28 para asegurar que existe un único punto x B(0, r) tal que x = g y (x) = x g(x) + y Para este punto se tiene entonces g(x) = y, como queríamos demostrar. Cambio de Para el segundo contenido, dado y g(b(a, r)), existe x B(a, r) tal que y = g(x), y entonces g(x) g(a) sup dg(z) x a z B(a,r) aplicando el teorema del valor medio a la función g; por hipótesis, para cada z B(a, r) dg(z) dg(z) dg(a) + dg(a) 1 + ɛ y por tanto y B(g(a), (1 + ɛ)r), lo que termina la demostración del teorema. Proposición 3. Sea R un rectángulo en R n, y U un abierto tal que R U. Sea g una función de U en R n, que sea un difeomorfismo de clase C 1 en U. Entonces v(g(r)) = Jg R

29 Demostración: Si g es una aplicación lineal, el resultado es consecuencia inmediata del teorema 2, como ya observamos después de su demostración. El caso general se demuestra aproximando g por su diferencial. Supondremos primero que R es un cubo en R n, es decir, que tiene todos sus lados de la misma longitud. Entonces para cada N IN, se puede dividir R en una partición de N n cubos de lado N 1, y considerando en R n la norma infinito, cada cubo se puede poner a la vez como una bola para la norma. Si llamamos S a estos cubos, se tiene que v(g(r)) = S v(g(s)), así que basta demostrar el resultado para cada cubo S, y se puede suponer que el radio de S es todo lo pequeño que sea necesario. Como g es un difeomorfismo de clase C 1, la función x dg(x) 1 es continua en U, y alcanzará en R su supremo por ser R compacto. Existirá entonces una constante C > 0 tal que dg(x) 1 C para todo x R. Por otro lado, dado ɛ, 0 < ɛ < 1, como la función x dg(x) es uniformemente continua en R, podemos tomar N suficientemente grande para que se verifique g(x) g(z) ɛ/c para todo x, z S. Sea a el centro de S; se tiene dg(a) 1 dg(x) dg(a) 1 dg(z) dg(a) 1 ɛ C ɛ Por el lema anterior, dg(a) 1 g(s) contiene una bola de radio (1 ɛ) por el radio de S, y está contenido en una bola de radio (1 + ɛ) por el radio de S; como estas bolas son a su vez

30 cubos, las llamaremos Q y Q respectivamente, de modo que Q dg(a) 1 g(s) Q y aplicando a cada conjunto la función dg(a) Cambio de dg(a)(q) g(s) dg(a)(q ) Como dg(a) es una aplicación lineal y dg(a)(q) es un conjunto medible-jordan, aplicando el lema 1, si s es el radio de S, el volumen de dg(a)(q) verificará v(dg(a)(q)) = Jg(a) v(q) = Jg(a) (1 ɛ) n s n = = Jg(a) v(s) ɛ C 1 v(s) para una cierta constante C 1 n ((1 ɛ) n = 1 + ( n k)( 1) n k ɛ n k = = 1 ɛ( k=1 n ( n k)( 1) n k 1 ɛ n k 1 ) = 1 ɛ C 1 k=1 Análogamente dg(a)(q ) es un conjunto medible de volumen v(dg(a)(q )) = Jg(a) v(q ) = Jg(a) v(s) + ɛ C 2 v(s)

31 para una cierta constante C 2. En consecuencia Jg(a) v(s) ɛc 1 v(g(s)) Jg(a) v(s) + ɛc 2 v(s) Cambio de Tomando ínfimos y supremos cuando a recorre S, m S ( Jg ) v(s) ɛc 1 v(s) v(g(s)) M S ( Jg ) v(s) + ɛc 2 v(s) Y sumando en S, S( Jg, P ) ɛc 1 v(r) v(g(r)) S( Jg, P ) + ɛc 2 v(r) Como esto vale para todo ɛ, 0 < ɛ < 1, y la función Jg es integrable al ser una función continua, se tiene que cumplir Jg v(g(r)) Jg R R lo que prueba el resultado. En la demostración de la proposición habíamos supuesto que R era un cubo. En el caso general en que R es un rectángulo, definimos δ = d(r, U c ) = inf{ x y, x R, y U c },

32 la distancia de R al complementario de U, que es un número estrictamente positivo al ser R un compacto contenido en el abierto U (la demostración se deja como ejercicio), y consideramos el conjunto K = R + B(0, δ/2), que es un compacto contenido en U y que contiene a R. Dado ɛ > 0 podemos escoger un rectángulo R 1 tal que R R 1 K, v(r 1 ) v(r) + ɛ, y de forma que R 1 se puede descomponer como unión finita de cubos, R 1 = k i=1 Q i (como en la observación 1). R U R 1 R R 2 K U

33 Entonces v(g(r)) v(g(r 1 )) = = R R k v(g(q i )) = i=1 Jg + Jg R 1 \R Jg + C v(r 1 \ R) R n Jg = Q i Jg = R 1 i=1 Jg + C ɛ siendo C una cota de Jg en K, que existe por ser, por hipótesis, Jg una función continua en U, y K U compacto. Y análogamente, podemos escoger un rectángulo R 2 contenido en R, tal que v(r) v(r 2 )+ ɛ, y de modo que R 2 se pueda descomponer como unión finita de cubos R 2 = m j=1 Q j (con un proceso análogo al definido en la observación 1). De este modo Jg R Jg + R 2 Jg v(g(r 2 )) + C v(r \ R 2 ) R\R 2 v(g(r)) v(r) + C ɛ Se deduce entonces que para todo ɛ > 0 C ɛ v(r) Jg C ɛ R

34 y por tanto que v(r) = R Jg Cambio de Como consecuencia se obtiene con relativa facilidad el siguiente resultado, que es la tercera versión del teorema de cambio de variable: Proposición 4. Sea R un rectángulo en R n, y U un abierto tal que R U. Sea g : U R n un difeomorfismo de clase C 1 de U en g(u). Y sea f una función integrable en g(r). Entonces (f g) es integrable en R y f = (f g) Jg g(r) R Demostración: En primer lugar, veamos que la función (f g) es integrable: si notamos por D(h) el conjunto de puntos de discontinuidad de una función h, en general, tenemos D(f g) = {x U, f g no es continua en x} = = {x U, f no es continua en g(x)} = = g 1 ({y g(u), f no es continua en y}) = = g 1 (D(f)) Como g 1 : g(u) U es una función de clase C 1, por la hipótesis sobre g, transforma conjuntos de medida cero en conjuntos de medida cero, y en particular el conjunto D(f), que tiene

35 medida cero por ser f integrable, en el conjunto de puntos de discontinuidad de la composición f g que tendrá medida cero. En consecuencia, también es integrable la función (f g) Jg por ser producto de funciones integrables. En segundo lugar, dada una partición cualquiera P de R, para cada rectángulo S definido por P y cada y g(s) se tiene m S (f g) = m g(s) (f) f(y) M g(s) (f) = M S (f g) (con la interpretación habitual de m A (f) = inf{f(t), t A}, y M A (f) = sup{f(t), t A}) m S (f g) Jg = m g(s) (f) Jg = S S = m g(s) (f) Jg = m g(s) (f)v(g(s)) = m g(s) (f) S g(s) f g(s) M g(s) (f) = M g(s) (f)v(g(s)) = M g(s) (f) Jg = g(s) S = M g(s) (f) Jg = M S (f g) Jg S S

36 Y también se tiene, trivialmente m S (f g) Jg (f g) Jg S Restando las dos desigualdades, y sumando en S, g(r) f R S S M S (f g) Jg (f g) Jg (M S (f g) m S (f g)) Jg S S C (M S (f g) m S (f g)) v(s) = S = C (S((f g), P ) S((f g), P ) ) siendo C una cota de Jg en R. Como hemos probado ya que (f g) es integrable, esta diferencia puede hacerse tan pequeña como se quiera, lo que implica que f = (f g) Jg g(r) R como queríamos demostrar. Por último, vamos a demostrar la versión definitiva del teorema de cambio de variable para la de Riemann de funciones de varias variables:

37 Teorema 3 (Cambio de Variable en R n ). Cambio de Sea U un abierto de R n, y sea g : U R n una función de clase C 1 en U. Sea M un conjunto medible-jordan tal que M U, y supongamos que la restricción de g al interior de M, g M 0 es un difeomorfismo de clase C 1. Sea f una función integrable en g(m). Entonces (f g) es integrable en M, y f = (f g) Jg g(m) M Demostración: (Saltar al final de la demostración) Podemos suponer para la demostración que M es cerrado: en efecto, como M es acotado, entonces M es compacto y por tanto g(m) = g(m); se tiene entonces f = f = f = (1) g(m) g(m) g(m)

38 y si el resultado es cierto para conjuntos medibles cerrados (1) = (f g) Jg = (f g) Jg M M Cambio de Sea entonces M un conjunto medible-jordan, cerrado (y por tanto compacto), tal que M U. Veamos en primer lugar que la función (f g) es integrable en M, estudiando el conjunto de puntos de discontinuidad. Sea δ = d(m, U c ), la distancia de M al complementario de U, que es un número estrictamente positivo al ser M compacto, U c cerrado y M U; consideramos el conjunto K = M +B(0, δ/2), que es un compacto que contiene a M en su interior, y que está contenido en U. Como por hipótesis F r(m) tiene contenido cero, dado 0 < ɛ < (δ/2) n, existe una familia finita de cubos S 1,..., S k tales que F r(m) k i=1 S0 i, y k i=1 v(s i) ɛ; podemos suponer además que para todo i, S i F r(m) (si no eliminaríamos ese rectángulo), con lo que necesariamente S i M. En particular el volumen de cada S i es menor que ɛ, y por tanto, si l i es la longitud del lado de S i, l i ɛ 1 n δ/2, y por tanto cada S i está contenido en K. Consideramos A un cubo en R n que contenga a K, y definimos una partición P de A prolongando los lados de los cubos S i, 1 i k.

39 A A K K Cambio de S i M S i M Sea Q 1 la familia de los rectángulos definidos por P que no cortan al interior de ningún S i, pero están contenidos en el interior de M, y sea Q 2 la familia de los rectángulos definidos por P que están contenidos en algún S i, 1 i k.

40 A K Cambio de S i M Q 1 Q 2 Obsérvese que si R es un rectángulo de los definidos por P que corta a M, necesariamente

41 está en algunas de las dos familias: En efecto, si R P, y R Q 2, entonces R Si 0 R F r(m) =. Se tiene entonces que = para todo,i, 1 i k, y por tanto Cambio de R M = R (M 0 F r(m)) = = (R M 0 ) (R F r(m)) = (R M 0 ) de modo que si R M es no vacío, sería a la vez abierto y cerrado en R como subespacio métrico de R n, y como R es conexo, tiene que ser el vacío o el total R; en el primer caso R no corta a M, y en el segundo R estaría contenido en M 0, y por tanto estaría en Q 1. Llamemos M 1 = {R Q 1 } = {R, R P, R M 0 } M 2 = M \ M 1 {R Q 2 } = k i=1 S i y sean D(f g) el conjunto de puntos de discontinuidad de f g, y D(f) el conjunto de puntos de discontinuidad de f. Se tiene D(f g) = (D(f g) M 1 ) (D(f g) M 2 )

42 D(f g) M 1 = {x M 1, f g no es continua en x} = = {x M 1, f no es continua en g(x)} = = (g M1 ) 1 ({y g(m 1 ), f no es continua en y}) = = (g M1 ) 1 (D(f) g(m 1 )) D(f) tiene medida cero, ya que por hipótesis f es integrable en g(m), y (g M1 ) 1 es una función de clase C 1 en g(m 0 ), que es un abierto que contiene a g(m 1 ), por la hipótesis de que g es un difeomorfismo de clase C 1 en M 0. Entonces (g M1 ) 1 (D(f) g(m 1 )) tiene medida cero, y existirá una familia numerable de rectángulos {R i } tal que y (g M1 ) 1 (D(f) g(m 1 )) i=1 R i v(r i ) ɛ i=1 Por otro lado, D(f g) M 2 = {x M \ M 1, f no es continua en g(x)}

43 es un subconjunto de M 2, que está contenido en k i=1 S i, unión finita de cubos, cuya suma de volúmenes es menor que ɛ. En consecuencia, D(f g) está contenido en una unión numerable de rectángulos, con suma de volúmenes menor o igual que 2ɛ. Como esto se puede hacer para cualquier ɛ > 0, se tiene que D(f g) tiene medida cero, y que f g es integrable. Como Jg es una función continua en U, en particular es continua y acotada en el compacto M, y por tanto es integrable en M; luego la función (f g) Jg es también integrable en M. Para demostrar el teorema queda por probar la igualdad de las es. Sea ɛ > 0, y consideremos A, P, Q 1 y Q 2, M 1 y M 2 como antes. Como M 1, M 2, g(m 1 ) y g(m 2 ) son medibles-jordan, M = M 1 M 2, g(m) = g(m 1 ) g(m 2 ), y g(m 1 ) = R Q 1 g(r), se tiene

44 de donde g(m) g(m) f = f + g(m 1 ) = f + R Q 1 = R Q 1 = g(r) R g(m)\g(m 1 ) f = g(m)\g(m 1 ) (f g) Jg + (f g) Jg + M 1 f (f g) Jg = M 1 f = g(m)\g(m 1 ) g(m)\g(m 1 ) g(m)\g(m 1 ) f f f =

45 y f (f g) Jg = f M 1 g(m)\g(m 1 ) f f (*) g(m) g(m)\g(m 1 ) g(m 2 ) C 1 v(g(m 2 )) = C 1 v(g( {S i M, 1 i k})) = = C 1 k v(g(s i M)) C 1 i=1 k v(g(s i )) i=1 teniendo en cuenta que g(m)\g(m 1 ) g(m 2 ) y f es una función positiva, y utilizando después la observación 4; la constante C 1 es una cota de f en el compacto K que contiene a M. Aplicando el teorema del valor medio a la función g en cada rectángulo S i, si a es el centro de R, y C 2 es una cota de dg en K, se tiene que para cada x S i existe z S i tal que g(x) g(a) dg(z) x a C 2 x a es decir, g(s i ) está contenido en un cubo de centro g(a) y lado C 2 veces el lado de S i ; de este modo, v(g(s i )) C2 n v(s i ), para cada i, 1 i k. Por tanto k f C v(s i ) Cɛ (**) g(m 2 ) i=1

46 para una cierta constante C = C 1 C2 n. Por otro lado, (f g) Jg (f g) Jg = (f g) Jg M M 1 M\M = 1 = (f g) Jg f g Jg M 2 M 2 C 1 C 3 v(m 2 ) C ɛ (***) donde C 3 es una cota de Jg en K, y C = C 1 C 3. Como consecuencia de las desigualdades (*), (**), y (***), ɛ C f (f g) Jg ɛ C g(m) M 1 y ɛ C (f g) Jg M 1 y sumando las dos desigualdades M (f g) Jg ɛ C ɛ(c + C ) f (f g) Jg ɛ(c + C ) g(m) M

47 Como esto es cierto para cualquier ɛ > 0, se tiene la igualdad de las es y el fin de la demostración del teorema. (Volver al enunciado) Cambio de