Sucesiones y series de funciones

Transcripción

1 Sucesiones y series de funciones Renato Álvarez Nodarse Departamento de Análisis Matemático Facultad de Matemáticas. Universidad de Sevilla renato/ 8 de octubre de 2012

2 Sucesiones y series de funciones. En este apartado vamos a considerar una extensión obvia de la teoría de las sucesiones y series númericas: sucesiones y series de funciones. Es decir, vamos a considerar un conjunto de funciones f n (x) : X R que dependan de un parámetro n N.

3 Sucesiones y series de funciones. En este apartado vamos a considerar una extensión obvia de la teoría de las sucesiones y series númericas: sucesiones y series de funciones. Es decir, vamos a considerar un conjunto de funciones f n (x) : X R que dependan de un parámetro n N. Por ejemplo f n (x) : R R f n (x) = xn n!, f n(x) = x n, f n (x) = sennx n 2

4 Sucesiones y series de funciones. Una sucesión de funciones (f n (x)) n, es una aplicación que a cada número natural le hace corresponder una función f n (x) : D n R

5 Sucesiones y series de funciones. Una sucesión de funciones (f n (x)) n, es una aplicación que a cada número natural le hace corresponder una función f n (x) : D n R Así mismo, podremos hablar de una serie de funciones f n (x) n=1 asociada a la sucesión de funciones (f n (x)) n.

6 Sucesiones y series de funciones. Es evidente que la sucesión (f n (x)) n tendrá sentido si podemos definir f n (x), para todo n N, es decir, si existen las sucesiones númericas (f n (x 0 )) n para al menos un x 0.

7 Sucesiones y series de funciones. Es evidente que la sucesión (f n (x)) n tendrá sentido si podemos definir f n (x), para todo n N, es decir, si existen las sucesiones númericas (f n (x 0 )) n para al menos un x 0. Esto no siempre ocurre. Por ejemplo, para la sucesión f 1 (x) = x, f 2 (x) = x, f 3 (x) = 1 x, x,. cuyos dominios son R, [0,+ ), R\{0}, (,0], etc..

8 Sucesiones y series de funciones. Es evidente que la sucesión (f n (x)) n tendrá sentido si podemos definir f n (x), para todo n N, es decir, si existen las sucesiones númericas (f n (x 0 )) n para al menos un x 0. Esto no siempre ocurre. Por ejemplo, para la sucesión f 1 (x) = x, f 2 (x) = x, f 3 (x) = 1 x, x,. cuyos dominios son R, [0,+ ), R\{0}, (,0], etc.. En adelante asumiremos que existe un conjunto mínimo D no vacío donde está definida la sucesión completa: D n=1 D n que lo denominaremos dominio de la sucesión de funciones y lo denotaremos por Dom(f n (x)).

9 Definiciones D1: La sucesión de funciones (f n (x)) n tiene ĺımite para cierto x 0 Dom(f n ) si la sucesión númerica (f n (x 0 )) n converge para dicho x 0. En este caso diremos que la sucesión converge puntualmente en x 0,

10 Definiciones D1: La sucesión de funciones (f n (x)) n tiene ĺımite para cierto x 0 Dom(f n ) si la sucesión númerica (f n (x 0 )) n converge para dicho x 0. En este caso diremos que la sucesión converge puntualmente en x 0, D2: El conjunto X de todos los puntos x Dom(f n ) donde la sucesión (f n (x)) n converge se denomina conjunto de convergencia de la sucesión de funciones. Como x X, existe un único valor del ĺımite de (f n (x)) n, entonces podemos definir una función f(x) sobre X, i.e.,

11 Definiciones D1: La sucesión de funciones (f n (x)) n tiene ĺımite para cierto x 0 Dom(f n ) si la sucesión númerica (f n (x 0 )) n converge para dicho x 0. En este caso diremos que la sucesión converge puntualmente en x 0, D2: El conjunto X de todos los puntos x Dom(f n ) donde la sucesión (f n (x)) n converge se denomina conjunto de convergencia de la sucesión de funciones. Como x X, existe un único valor del ĺımite de (f n (x)) n, entonces podemos definir una función f(x) sobre X, i.e., D3: En el conjunto X de convergencia de (f n (x)) n la función f(x) definida para cada x X de la forma f(x) = ĺım n f n(x) se denomina función ĺımite de (f n (x)) n. Si existe f(x) se dice que la sucesión (f n (x)) n converge puntualmente a f(x) en X y se denota por f n (x) f(x).

12 Ejemplos E1: Definamos en [0, ) la sucesión f n (x) = x n, n N. Es fácil comprobar que la sucesión de funciones converge si y sólo si x [0,1], además ĺım n xn = f(x) = { 1, x = x < 1, es la función ĺımite. Nótese que si escogemos X = [0,q], 0 q < 1, entonces f(x) = 0.

13 Ejemplos E1: Definamos en [0, ) la sucesión f n (x) = x n, n N. Es fácil comprobar que la sucesión de funciones converge si y sólo si x [0,1], además ĺım n xn = f(x) = { 1, x = x < 1, es la función ĺımite. Nótese que si escogemos X = [0,q], 0 q < 1, entonces f(x) = 0. E2a: Sea f n (x) : R R, f n (x) = senn2 x. Es evidente que n X = R y f(x) = 0.

14 Ejemplos E1: Definamos en [0, ) la sucesión f n (x) = x n, n N. Es fácil comprobar que la sucesión de funciones converge si y sólo si x [0,1], además ĺım n xn = f(x) = { 1, x = x < 1, es la función ĺımite. Nótese que si escogemos X = [0,q], 0 q < 1, entonces f(x) = 0. E2a: Sea f n (x) : R R, f n (x) = senn2 x. Es evidente que n X = R y f(x) = 0. E2b: Sea f n (x) : R R, f n (x) = sennx n 2. Como en el ejemplo anterior X = R y f(x) = 0.

15 Ejemplos E3: Sea f n (x) : [0,1] R, f n (x) = 2(n+1)x(1 x 2 ) n. Evidentemente si x = 0 o x = 1, f n (x) = 0. Si x (0,1) entonces (1 x 2 ) < 1, luego f n (x) 0 cuando n. Por tanto, X = [0,1] y f(x) = 0.

16 Ejemplos E3: Sea f n (x) : [0,1] R, f n (x) = 2(n+1)x(1 x 2 ) n. Evidentemente si x = 0 o x = 1, f n (x) = 0. Si x (0,1) entonces (1 x 2 ) < 1, luego f n (x) 0 cuando n. Por tanto, X = [0,1] y f(x) = 0. E4: Sean n,m N y sea f m (x) = ĺım n (cosm!πx)2n. Si m!x Z = f m (x) = 1, si m!z Z = f m (x) = 0.

17 Ejemplos E3: Sea f n (x) : [0,1] R, f n (x) = 2(n+1)x(1 x 2 ) n. Evidentemente si x = 0 o x = 1, f n (x) = 0. Si x (0,1) entonces (1 x 2 ) < 1, luego f n (x) 0 cuando n. Por tanto, X = [0,1] y f(x) = 0. E4: Sean n,m N y sea f m (x) = ĺım n (cosm!πx)2n. Si m!x Z = f m (x) = 1, si m!z Z = f m (x) = 0. Veamos el ĺımite cuando m de f m (x). Si x Q = m N, m!x Z, por tanto f m (x) = 0 y f(x) = ĺım m f m(x) = 0.

18 Ejemplos E3: Sea f n (x) : [0,1] R, f n (x) = 2(n+1)x(1 x 2 ) n. Evidentemente si x = 0 o x = 1, f n (x) = 0. Si x (0,1) entonces (1 x 2 ) < 1, luego f n (x) 0 cuando n. Por tanto, X = [0,1] y f(x) = 0. E4: Sean n,m N y sea f m (x) = ĺım n (cosm!πx)2n. Si m!x Z = f m (x) = 1, si m!z Z = f m (x) = 0. Veamos el ĺımite cuando m de f m (x). Si x Q = m N, m!x Z, por tanto f m (x) = 0 y f(x) = ĺım m f m(x) = 0. Si x Q = a partir de cierto m N, m!x Z, por tanto, a partir de dicho m, f m (x) = 1 = f(x) = ĺım m f m(x) = 1.

19 Ejemplos E3: Sea f n (x) : [0,1] R, f n (x) = 2(n+1)x(1 x 2 ) n. Evidentemente si x = 0 o x = 1, f n (x) = 0. Si x (0,1) entonces (1 x 2 ) < 1, luego f n (x) 0 cuando n. Por tanto, X = [0,1] y f(x) = 0. E4: Sean n,m N y sea f m (x) = ĺım n (cosm!πx)2n. Si m!x Z = f m (x) = 1, si m!z Z = f m (x) = 0. Veamos el ĺımite cuando m de f m (x). Si x Q = m N, m!x Z, por tanto f m (x) = 0 y f(x) = ĺım f m(x) = 0. m Si x Q = a partir de cierto m N, m!x Z, por tanto, a partir de dicho m, f m (x) = 1 = f(x) = ĺım f m(x) = 1. m Así, tenemos que X = R y f(x) = D(x), es la función de Dirichlet { 1, x Q D(x) =. 0, x I

20 Objetivo fundamental Nuestro objetivo fundamental NO es estudiar cuando las sucesiones funcionales convergen o no pues eso ya lo hemos visto antes pues para cada x la sucesión (f n (x)) n es una sucesión numérica sino decidir en que condiciones las propiedades de f n se traspasan a la función ĺımite.

21 Objetivo fundamental Nuestro objetivo fundamental NO es estudiar cuando las sucesiones funcionales convergen o no pues eso ya lo hemos visto antes pues para cada x la sucesión (f n (x)) n es una sucesión numérica sino decidir en que condiciones las propiedades de f n se traspasan a la función ĺımite. Hereda f(x) todas las propiedades de las f n (x)? Los ejemplos anteriores sirven de ilustración a nuestro problema.

22 Ejemplos E1: f n (x) = x n, n N. En D = [0,1] ĺım n xn = f(x) = { 1, x = x < 1, es la función ĺımite. Si escogemos X = [0,q], 0 q < 1, entonces f(x) = 0. Aquí las funciones x n son continuas en [0,1] pero la función ĺımite f(x) no lo es. No ocurre lo mismo en el intervalo X = [0,q]. Además 1 0 f n (x)dx = 1 0 x n dx = 1 n+1 0 = 1 0 0dx = 1 0 f(x)dx.

23 Ejemplos E2a: Sea f n (x) : R R, f n (x) = senn2 x. Es evidente que X = R n y f(x) = 0. Aquí la función f n (x) = senn2 x es derivable en todo R, y su n función ĺımite también, pero por ejemplo, la sucesión de sus derivadas f n(x) = ncosn 2 x no tiene ĺımite excepto cuando n 2 x = kπ/2, k Z. Es decir la sucesión de derivadas no converge a la derivada de la función ĺımite.

24 Ejemplos E2a: Sea f n (x) : R R, f n (x) = senn2 x. Es evidente que X = R n y f(x) = 0. Aquí la función f n (x) = senn2 x es derivable en todo R, y su n función ĺımite también, pero por ejemplo, la sucesión de sus derivadas f n(x) = ncosn 2 x no tiene ĺımite excepto cuando n 2 x = kπ/2, k Z. Es decir la sucesión de derivadas no converge a la derivada de la función ĺımite. E2b: Sea f n (x) : R R, f n (x) = sennx n 2. Como en el ejemplo anterior X = R y f(x) = 0. En este caso, a diferencia del anterior la sucesión de sus derivadas f n(x) = cosnx converge a cero que justamente es la derivada de la n función ĺımite. Es decir, en este ejemplo sí que tenemos f n(x) f (x).

25 Ejemplos E3: Sea f n (x) : [0,1] R, f n (x) = 2(n+1)x(1 x 2 ) n. Como vimos ĺım n f n (x) = f(x) = 0. La función f n (x) = 2(n+1)x(1 x 2 ) n es integrable en [0,1] y además 1 f n (x)dx = 2(n+1) x(1 x 2 ) n dx = 2(n+1) (1 x2 ) n+1 1 = 1, n pero 1 0 f(x)dx = dx = 0, luego 1 0 f n (x)dx f(x)dx.

26 Ejemplos E4: Sean n,m N y sea f m (x) = ĺım n (cosm!πx)2n. { 1, x Q ĺım f m(x) = D(x) = m 0, x I. Nótese que la función f m (x) vale cero en [0,1] excepto un número finito de puntos, luego f m es integrable y su integral vale cero, pero su función ĺımite es una función no integrable.

27 Ejemplos E4: Sean n,m N y sea f m (x) = ĺım n (cosm!πx)2n. { 1, x Q ĺım f m(x) = D(x) = m 0, x I. Nótese que la función f m (x) vale cero en [0,1] excepto un número finito de puntos, luego f m es integrable y su integral vale cero, pero su función ĺımite es una función no integrable. Todo lo anterior nos dice que dada una sucesión (f n (x)) n cuyas funciones tienen determinadas propiedades como la continuidad, derivabilidad o integrabilidad, la función ĺımite puede o no tenerlas.

28 Ejemplos E4: Sean n,m N y sea f m (x) = ĺım n (cosm!πx)2n. { 1, x Q ĺım f m(x) = D(x) = m 0, x I. Nótese que la función f m (x) vale cero en [0,1] excepto un número finito de puntos, luego f m es integrable y su integral vale cero, pero su función ĺımite es una función no integrable. Todo lo anterior nos dice que dada una sucesión (f n (x)) n cuyas funciones tienen determinadas propiedades como la continuidad, derivabilidad o integrabilidad, la función ĺımite puede o no tenerlas. Por tanto nuestro objetivo es claro: Encontrar condiciones bajo las cuales la función ĺımite herede las propiedades de las funciones de la sucesión.

29 Convergencia puntual y uniforme Definición 4: Una sucesión de funciones (f n (x)) n definidas en I R converge puntualmente a f(x) en I, i.e., f n f si ǫ > 0 y x 0 I, N N(ǫ,x 0 ) N t.q. n > N, f n (x 0 ) f(x 0 ) < ǫ

30 Convergencia puntual y uniforme Definición 4: Una sucesión de funciones (f n (x)) n definidas en I R converge puntualmente a f(x) en I, i.e., f n f si ǫ > 0 y x 0 I, N N(ǫ,x 0 ) N t.q. n > N, f n (x 0 ) f(x 0 ) < ǫ

31 Convergencia puntual y uniforme Definición 5: Una sucesión de funciones (f n (x)) n definidas en I R converge uniformemente a f(x) en I, i.e., f n f, si ǫ > 0, N N(ǫ) N t.q. n > N y x 0 I, f n (x 0 ) f(x 0 ) < ǫ

32 Convergencia puntual y uniforme Definición 5: Una sucesión de funciones (f n (x)) n definidas en I R converge uniformemente a f(x) en I, i.e., f n f, si ǫ > 0, N N(ǫ) N t.q. n > N y x 0 I, f n (x 0 ) f(x 0 ) < ǫ

33 Convergencia puntual y uniforme f n f converge puntualmente a f(x) en I si ǫ > 0 y x 0 I, N N(ǫ,x 0 ) N t.q. n > N, f n (x 0 ) f(x 0 ) < ǫ f n f converge uniformemente a f(x) en I si ǫ > 0, N N(ǫ) N t.q. n > N y x 0 I, f n (x 0 ) f(x 0 ) < ǫ

34 Convergencia puntual y uniforme f n f converge puntualmente a f(x) en I si ǫ > 0 y x 0 I, N N(ǫ,x 0 ) N t.q. n > N, f n (x 0 ) f(x 0 ) < ǫ f n f converge uniformemente a f(x) en I si ǫ > 0, N N(ǫ) N t.q. n > N y x 0 I, f n (x 0 ) f(x 0 ) < ǫ

35 Convergencia puntual y uniforme f n f converge puntualmente a f(x) en I si ǫ > 0 y x 0 I, N N(ǫ,x 0 ) N t.q. n > N, f n (x 0 ) f(x 0 ) < ǫ f n f converge uniformemente a f(x) en I si ǫ > 0, N N(ǫ) N t.q. n > N y x 0 I, f n (x 0 ) f(x 0 ) < ǫ

36 Ejemplos de convergencias Ejemplo: x n 0 en [0,q], con 0 < q < 1. Efectivamente, cualquiera sea ǫ > 0, si escogemos N = logǫ/logq, entonces para todo n > N y todo x [0,q], x n q n < ǫ, es decir x n 0 en [0,q].

37 Ejemplos de convergencias Ejemplo: x n 0 en [0,q], con 0 < q < 1. Efectivamente, cualquiera sea ǫ > 0, si escogemos N = logǫ/logq, entonces para todo n > N y todo x [0,q], x n q n < ǫ, es decir x n 0 en [0,q]. Comprobemos que x n 0 en [0,1).

38 Ejemplos de convergencias Ejemplo: x n 0 en [0,q], con 0 < q < 1. Efectivamente, cualquiera sea ǫ > 0, si escogemos N = logǫ/logq, entonces para todo n > N y todo x [0,q], x n q n < ǫ, es decir x n 0 en [0,q]. Comprobemos que x n 0 en [0,1). Sea ǫ > 0 t.q. 0 < ǫ < 1. Como ĺım x 1 x n = 1 ello indica que cualquiera sea n N siempre existe un x ǫ (0,1) tal que x n ǫ ǫ basta escoger, por ejemplo, x ǫ = n ǫ. Luego dado un ǫ (0,1), cualquiera sea N N siempre existe un x (0,1) tal que f n (x) = x n ǫ, por tanto f n f en [0,1).

39 La sucesión f n (x) = x n en [0,1]

40 La sucesión f n (x) = x n en [0,q], q < 1

41 Ejemplos de convergencias: Simulación Ver las simulaciones

42 Principales teoremas T1: (Condición necesaria y suficiente de convergencia uniforme para una sucesión de funciones) Dada una sucesión de funciones f n (x)) n definidas en I X, f n (x) converge uniformemente a f(x) en I si y sólo si ĺım sup f n (x) f(x) = 0. n x I

43 Principales teoremas T1: (Condición necesaria y suficiente de convergencia uniforme para una sucesión de funciones) Dada una sucesión de funciones f n (x)) n definidas en I X, f n (x) converge uniformemente a f(x) en I si y sólo si ĺım sup f n (x) f(x) = 0. n x I Corolario: Para que una sucesión de funciones f n (x)) n definidas en I X, f n (x) converja uniformemente a f(x) en I es necesario y suficiente que exista una sucesión (a n ) n de términos no negativos con ĺım n a n = 0 y un número N N tal que n > N, f n (x) f(x) a n

44 Principales teoremas T1: (Condición necesaria y suficiente de convergencia uniforme para una sucesión de funciones) Dada una sucesión de funciones f n (x)) n definidas en I X, f n (x) converge uniformemente a f(x) en I si y sólo si ĺım sup f n (x) f(x) = 0. n x I Corolario: Para que una sucesión de funciones f n (x)) n definidas en I X, f n (x) converja uniformemente a f(x) en I es necesario y suficiente que exista una sucesión (a n ) n de términos no negativos con ĺım n a n = 0 y un número N N tal que n > N, f n (x) f(x) a n Ejercicio: Probar que la sucesión f n (x) = x n 0 en [0,q], 0 < q < 1, pero no lo hace en [0,1).

45 Principales teoremas T2: (Criterio de Cauchy para la convergencia uniforme para una sucesión de funciones) Dada una sucesión de funciones f n (x)) n definidas en I X, f n (x) converge uniformemente a f(x) en I si y sólo si ǫ > 0, N N tal que n > N, p N y x I, f n+p (x) f n (x) < ǫ.

46 Principales teoremas T2: (Criterio de Cauchy para la convergencia uniforme para una sucesión de funciones) Dada una sucesión de funciones f n (x)) n definidas en I X, f n (x) converge uniformemente a f(x) en I si y sólo si ǫ > 0, N N tal que n > N, p N y x I, f n+p (x) f n (x) < ǫ. Corolario: Si (f n (x)) n y (g n (x)) n son dos sucesiones de funciones uniformemente convergentes en I a las funciones f(x) y g(x), respectivamente, entonces αf n (x)+βg n (x) αf(x)+βg(x), en I, α,β R, h(x)f n (x) h(x)f(x), para toda función h(x) acotada en I.

47 Convergencia de series de funciones D6: Dada una sucesión de funciones (a n (x)) n, la expresión a k (x) = a 1 (x)+a 2 (x)+a 3 (x)+ +a k (x)+ k=1 se denomina serie funcional o serie de funciones y las n S n (x) = a k (x) = a 1 (x)+a 2 (x)+a 3 (x)+ +a n (x), k=1 se denominan sumas parciales de la serie de funciones.

48 Convergencia de series de funciones D6: Dada una sucesión de funciones (a n (x)) n, la expresión a k (x) = a 1 (x)+a 2 (x)+a 3 (x)+ +a k (x)+ k=1 se denomina serie funcional o serie de funciones y las S n (x) = n a k (x) = a 1 (x)+a 2 (x)+a 3 (x)+ +a n (x), k=1 se denominan sumas parciales de la serie de funciones. D7: Una serie de funciones a k (x) converge puntualmente k=1 (uniformemente) en I X si la correspondiente sucesión de sumas parciales converge puntualmente (uniformemente) en I.

49 Convergencia de series de funciones Si definimos el resto de la serie r n (x) S(x) S n (x) = k=n+1 a k (x), entonces, la serie converge uniformemente si y sólo si r n (x) 0, en caso contrario la convergencia no es uniforme.

50 Convergencia de series de funciones Si definimos el resto de la serie r n (x) S(x) S n (x) = k=n+1 a k (x), entonces, la serie converge uniformemente si y sólo si r n (x) 0, en caso contrario la convergencia no es uniforme. T3: Si la serie a k (x) es uniformemente convergente en I, k=1 entonces, a n (x), el término general de la serie converge uniformemente a 0 en I, es decir a n (x) 0.

51 Convergencia de series de funciones T4: (Criterio de Weierstrass para la convergencia uniforme de una serie de funciones) Sea (a n ) n=0 una sucesión de funciones definidas en I R, y (b n ) n=0 una sucesión de números reales no negativos, tales que a n (x) b n para todo n N y x I y cuya serie b n es convergente. Entonces la serie de funciones uniformemente convergente an I. n=1 a n (x) es n=1

52 Convergencia de series de funciones T4: (Criterio de Weierstrass para la convergencia uniforme de una serie de funciones) Sea (a n ) n=0 una sucesión de funciones definidas en I R, y (b n ) n=0 una sucesión de números reales no negativos, tales que a n (x) b n para todo n N y x I y cuya serie b n es convergente. Entonces la serie de funciones uniformemente convergente an I. Este teorema sólo da condiciones suficientes! n=1 a n (x) es n=1

53 Propiedades de las sucesiones de funciones T5: (Sobre la conmutatividad del ĺımite de una sucesión de funciones) Sea (f n (x)) n una sucesión de funciones definidas en I R tal que para cada n N existe el ĺımite ĺım f n (x) = l n, x 0 I. Si x x0 f n (x) f(x) en I, entonces ( ) ĺım n ĺım f n (x) x x 0 = ĺım x x0 ( ) ĺım f n(x) n

54 Propiedades de las sucesiones de funciones T5: (Sobre la conmutatividad del ĺımite de una sucesión de funciones) Sea (f n (x)) n una sucesión de funciones definidas en I R tal que para cada n N existe el ĺımite ĺım f n (x) = l n, x 0 I. Si x x0 f n (x) f(x) en I, entonces ( ) ĺım n ĺım f n (x) x x 0 = ĺım x x0 ( ) ĺım f n(x) n Corolario: (Sobre la continuidad de una sucesión de funciones) Sea (f n ) n=0 una sucesión de funciones definidas en I R. Si f n es continua en I para todo n N, y f n converge uniformemente a f en I entonces f es continua en I.

55 Propiedades de las series de funciones T6: (Sobre la conmutatividad del ĺımite y la suma para una serie de funciones) Sea a n (x) una serie de funciones uniformemente convergente n=1 en I tales que ĺım x x0 a n (x) = a n, entonces ĺım x x 0 ( ) a n (x) = n=1 ( ) ĺım a n (x) = x x 0 n=1 a n. n=1 Si además, las funciones a n (x) son continuas, entonces la suma S(x) de la serie es una función continua.

56 Propiedades de las series de funciones T6: (Sobre la conmutatividad del ĺımite y la suma para una serie de funciones) Sea a n (x) una serie de funciones uniformemente convergente n=1 en I tales que ĺım x x0 a n (x) = a n, entonces ĺım x x 0 ( ) a n (x) = n=1 ( ) ĺım a n (x) = x x 0 n=1 a n. n=1 Si además, las funciones a n (x) son continuas, entonces la suma S(x) de la serie es una función continua. El inverso es falso en general, i.e., si f n (x) f(x) en I, y f n (x) y f(x) son continuas en I, ello no implica f n (x) f(x).

57 Propiedades de las series de funciones T7: (Sobre la integrabilidad de una sucesión de funciones) Sea (f n ) n=0 una sucesión de funciones f n : [a,b] R R integrables en [a,b] y sea f n f en [a,b]. Entonces b ĺım n a f n (x)dx = b a b [ ĺım f n(x)]dx = f(x)dx. n a

58 Propiedades de las series de funciones T7: (Sobre la integrabilidad de una sucesión de funciones) Sea (f n ) n=0 una sucesión de funciones f n : [a,b] R R integrables en [a,b] y sea f n f en [a,b]. Entonces b ĺım n a f n (x)dx = Corolario: Sea S(x) = b a b [ ĺım f n(x)]dx = f(x)dx. n a a n (x) una serie de funciones n=1 uniformemente convergente en [a,b] t.q. a n (x) son integrables en [a,b], entonces S(x) es integrable en [a,b] y ( b ) ( b ) b a n (x)dx = a n (x) dx = S(x)dx. n=1 a a n=1 a

59 Propiedades de las series de funciones T7: (Sobre la integrabilidad de una sucesión de funciones) Sea (f n ) n=0 una sucesión de funciones f n : [a,b] R R integrables en [a,b] y sea f n f en [a,b]. Entonces b ĺım n a f n (x)dx = Corolario: Sea S(x) = b a b [ ĺım f n(x)]dx = f(x)dx. n a a n (x) una serie de funciones n=1 uniformemente convergente en [a,b] t.q. a n (x) son integrables en [a,b], entonces S(x) es integrable en [a,b] y ( b ) ( b ) b a n (x)dx = a n (x) dx = S(x)dx. n=1 a a n=1 Demostraremos una versión más sencilla: impondremos que las funciones f n (x) son continuas en [a,b]. a

60 Propiedades de las series de funciones T8: (Sobre la derivabilidad de una sucesión de funciones) Sea (f n ) n=0 una sucesión de funciones definidas en un intervalo acotado I R y derivables en I tales que para cierto x 0 I se tiene ĺım f n(x 0 ) = l y además la sucesión de funciones (f n n) n=0 converja uniformemente a g en I. Entonces la sucesión (f n ) n=0 converge uniformemente a cierta función f en I y además f (x) = g(x) para todo x I, es decir la sucesión se puede derivar término a término, i.e., ( ) ĺım f n(x) = ĺım f n n n(x).

61 Propiedades de las series de funciones T8: (Sobre la derivabilidad de una sucesión de funciones) Sea (f n ) n=0 una sucesión de funciones definidas en un intervalo acotado I R y derivables en I tales que para cierto x 0 I se tiene ĺım f n(x 0 ) = l y además la sucesión de funciones (f n n) n=0 converja uniformemente a g en I. Entonces la sucesión (f n ) n=0 converge uniformemente a cierta función f en I y además f (x) = g(x) para todo x I, es decir la sucesión se puede derivar término a término, i.e., ( ) ĺım f n(x) = ĺım f n n n(x). Nótese que NO es suficiente la convergencia uniforme de la sucesión, sino la convergencia uniforme de la sucesión de derivadas + convergencia para algún x 0 I.

62 Demostración: Definamos la sucesión de funciones (ϕ n (x)) n, definidas por f n (x) f n (x 0 ), x x 0 ϕ n (x) = x x 0 f n (x 0), x = x 0 Las funciones ϕ n (x) son continuas en I pues las funciones f n (x) son derivables en I por condición del teorema. Probemos que ϕ n (x) ϕ(x) en I. En efecto, aplicando el criterio de Cauchy para la convergencia uniforme tenemos

63 Demostración: ϕ n+p (x) ϕ n (x) = (f n+p (x) f n (x)) (f n+p (x 0 ) f n (x 0 )) x x 0 = = f n+p (ξ) f n(ξ), donde ξ (x,x 0 ). Para obtener la última igualdad hemos aplicado el teorema del valor medio de Lagrange a la función F(x) = f n+p (x) f n (x), es decir, F(x) F(x 0 ) = F (ξ)(x x 0 ). Además, por definición tenemos ϕ n+p (x 0 ) ϕ n (x 0 ) = f n+p (x 0) f n (x 0), luego ϕ n+p (x) ϕ n (x) = f n+p (ξ) f n (ξ) para todo x I. Ahora bien, como f n(x) g(x) en I, entonces, para todo ǫ > 0 existe un N N tal que para todo n > N, p N y para todo x I, f n+p (ξ) f n(ξ) < ǫ, entonces ϕ n+p (x) ϕ n (x) = f n+p (ξ) f n(ξ) < ǫ de donde deducimos que ϕ n (x) ϕ(x) en I.

64 Demostración: Probemos ahora que f n (x) f(x) en I. Para ello usamos las identidades f n+p (x) = f n+p (x 0 )+(x x 0 )ϕ n+p (x), y f n (x) = f n (x 0 )+(x x 0 )ϕ n (x). Entonces, f n+p (x) f n (x) = f n+p (x 0 ) f n (x 0 )+(x x 0 )[ϕ n+p (x) ϕ n (x)] f n+p (x 0 ) f n (x 0 ) + x x 0 ϕ n+p (x) ϕ n (x) Ahora bien, como f n (x 0 ) f(x 0 ), entonces, para todo ǫ > 0 existe un N 1 N tal que para todo n > N 1, y p N, f n+p (x 0 ) f n (x 0 ) < ǫ/2. Además, ϕ n (x) ϕ(x) en I, por tanto, para todo ǫ > 0 existe un N 2 N tal que para todo n > N, p N y para todo x I, ϕ n+p (x) ϕ n (x) < ǫ/2(b a), es decir, para todo ǫ > 0 existe un N N N = máx(n 1,N 2 ) tal que para todo n > N, p N y para todo x I, f n+p (x) f n (x) < ǫ, o sea, f n (x) f(x) en I.

65 Demostración: Para culminar nuestra prueba nos resta demostrar que la función ĺımite f(x) es derivable en I y que f (x) = g(x) para todo x I, es decir, que f (x) = ĺım n f n (x). Ante todo, notemos que puesto que f n (x) f(x) en I, entonces la condición ĺım n f n(x 0 ) = f(x 0 ) se cumple para cualquiera sea x 0 I y no sólo para el x 0 prefijado en el enunciado del teorema. Por tanto, si probamos que f(x) es derivable en cierto ζ I en particular x 0 y que f n (ζ) f (ζ) = g(ζ), entonces f (x) = g(x) en todo I. Escojamos por tanto un ζ cualquiera y redefinamos las funciones ϕ n (x) = f n (x) f n (ζ), x ζ x ζ f n(ζ), x = ζ Como antes, las funciones ϕ n (x) son continuas en I y ϕ n (x) ϕ(x) en I. Luego

66 Demostración: ϕ(x) = ĺım ϕ f n (x) f n (ζ) n(x) = ĺım = f(x) f(ζ). n n x ζ x ζ Lo anterior junto con el hecho de que todas las funciones ϕ n (x) son continuas en I, y que ϕ n (x) ϕ(x) en I, nos permiten utilizar el teorema sobre la continuidad de una sucesión de funciones para afirmar que ϕ(x) es continua en I así como el teorema sobre el ĺımite que nos da f(x) f(ζ) ĺım x ζ x ζ = ĺım n ( ĺım x ζ ( = ĺım ĺım x ζ n ) f n (x) f n (ζ) x ζ ) f n (x) f n (ζ) x ζ = ĺım f n n (ζ). Esta igualdad nos asegura que existe la derivada de f(x) para todo x I, y además que f (ζ) = ĺım x ζ ϕ(x) = ĺım que es que se quería demostrar. f n n (ζ), ζ I,

67 Aplicación a las series de potencias T9: (Segundo Teorema de Abel para las series de potencias) Cualquiera sea la serie de potencias a n z n, a n, z C, R 0 n=0 ó R = + t.q. R es el radio de convergencia de la serie. Además, la serie converge absolutamente para todo z tal que z < R y uniformemente para todo z tal que z r < R.

68 Aplicación a las series de potencias T9: (Segundo Teorema de Abel para las series de potencias) Cualquiera sea la serie de potencias a n z n, a n, z C, R 0 n=0 ó R = + t.q. R es el radio de convergencia de la serie. Además, la serie converge absolutamente para todo z tal que z < R y uniformemente para todo z tal que z r < R. T10: (Sobre la convergencia uniforme de una serie de potencias) Sea la serie de potencias a n z n, a n, z C. Entonces la serie n=0 converge uniformemente en cualquier región del plano complejo 1 contenida en z r < R, con R = ĺım n a n. n

69 Aplicación a las series de potencias T9: (Segundo Teorema de Abel para las series de potencias) Cualquiera sea la serie de potencias a n z n, a n, z C, R 0 n=0 ó R = + t.q. R es el radio de convergencia de la serie. Además, la serie converge absolutamente para todo z tal que z < R y uniformemente para todo z tal que z r < R. T10: (Sobre la convergencia uniforme de una serie de potencias) Sea la serie de potencias a n z n, a n, z C. Entonces la serie n=0 converge uniformemente en cualquier región del plano complejo 1 contenida en z r < R, con R = ĺım n a n. n Ejercicio: Aplica los teoremas T6, T7 y T8 a las series de potencias.