Tema 4.3: Desarrollo de Taylor. Equivalencia entre analiticidad y holomorfía. Fórmula de Cauchy para las derivadas

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1 Tema 4.3 Desarrollo de Taylor. Euivalencia entre analiticidad y holomorfía. Fórmula de Cauchy para las derivadas Facultad de Ciencias Experimentales, Curso E. de Amo Tal y como ya anunciábamos en el tema anterior, vamos a sacarle partido a la fórmula de Cauchy para la circunferencia 9 = C >= f H () >; ) dw; 8z D(a; r) i w z D(a; r) El resultado ue probamos a continuación es la muestra más explícita de cómo la variable compleja es el lugar adecuado para el concepto de analiticidad. Observa detenidamente las hipótesis en el próximo resultado; luego, contempla la tesis (y ambas dos cosas comparadas con el resultado arriba expuesto). No te parece realmente espectacular Teorema (del desarrollo en serie de Taylor). Sean = C; f H () y D(a; r). Entonces f (z) = i dw (z a) n ; 8z D(a; r) Demostración. Para z D(a; r) jo, aunue arbitrario, tenemos ue w + z = X (z a) n uniformemente para w C (a; r). Como f es continua en D(a; r), en particular, estará acotada en la circunferencia C (a; r) ; y, por tanto, + w z = X (z a) n ;

2 uniformemente para w C (a; r). En consecuencia f (w) i w z dw = i dw (z a) n ; 8z D(a; r); donde en la última igualdad hemos conmutado serie e integral. Y el z; aunue jo, era arbitrario. Q.E.D. La fuerza de este resultado se mani esta en sus logros. Nuestra función, ue "sólo" era holomorfa, se presenta ahora como analítica.. En particular, es inde nidamente derivable. 3. En consecuencia f n) (a) = i dw; 8r > 0 D(a; r) 8n N [ f0g 4. Y, en consecuencia, el desarrollo no depende del r > 0 elegido. 5. Y, en consecuencia, la serie convergerá en el mayor disco centrado en a ue permanezca completamente en el abierto. Pasamos a enunciarlos correctamente. Corolario Sea = C. Entonces, se tiene ue f H (), f es analítica en Corolario Si f H (C) ; entonces, para cada a C, la serie de Taylor de f centrada en a, tiene radio de convergencia R = + y el desarrollo en serie es válido en todo el plano C Corolario Sean un abierto propio del plano, f H () y a. Entonces, la serie de Taylor de f centrada en a, a saber P f n) (a) n0 (z a) n, tiene radio de convergencia r dist(a; Cn) y se veri ca f n) (a) (z a) n ; 8z D(a; dist (a; Cn)) Demostración. Llamemos r a al radio de convergencia de la serie de Taylor de f centrada en a. Sea s < dist(a; Cn); entonces D(a; s). Por tanto, existe una serie de potencias centrada en a y convergente a f en D(a; s). Pero tal serie no puede ser otra ue la serie de Taylor de f centrada en a; luego s r a ; y así r a dist(a; Cn)). Q.E.D.

3 Nota Observa ue es posible la situación D(a; r a ) * Sorprendente, pero no nos había sido posible, hasta ahora, establecer ue Corolario La composición, el producto y el cociente de funciones analíticas son, nuevamente, funciones analíticas. Corolario Sean un abierto del plano C, f H () y a. Entonces, f n) (a) = i dw; 8r > 0 D(a; r) 8n N [ f0g Volviendo sobre nuestros pasos, recordemos ue hemos probado ue si una función es holomorfa en un abierto, su función derivada vuelve a ser otra función holomorfa. Es decir, ue si bien en el caso real, para un intervalo I, teníamos toda una gama de clases de funciones distintas en la cadena C (I) D n (I) C n (I) D (I) C (I) A (I) = C (I) (la clase C n (I) de las funciones continuas con derivada n-ésima continua contiene de modo propio a la clase D (I) de las funciones derivables n + veces; la cual, a su vez, es superconjunto propio de C (I) las funciones continuas con derivada n + -ésima continua); ahora, en el caso complejo, tenemos ue esa cadena se reduce a dos elementos En efecto, son las continuas y las analíticas u holomorfas C () H () = D () = A () Y no es este el único acontecimiento sorprendente ue nos depara este tema en lo relativo a la relación entre los análisis complejo y real el concepto de radio de convergencia cobra todo su signi cado en C y no presenta las patologías ue, en la Introducción, destacábamos en el cuerpo R (recuérdese ue la serie de potencias ue representa a la función de clase C (R) ; f(x) = +x ; tiene validez sólo en ] ; +[). Concretamente, en R Teorema (de Borel). Para cada sucesión (a n ) n0 de números reales existe una función diferenciable de clase in nito en R, f C (R), tal ue f n) (0) = a n; 8n N [ f0g Pero en C "no vale todo" Proposición Sea una sucesión arbitraria de números complejos (a n ) n0. Son euivalentes i. Existe una función entera f tal ue f n) (0) = a n; 8n N [ f0g ii. lim sup n ja nj = 0 3

4 Demostración. i.)ii. Por ser entera f n) (0) z n ; 8z C En consecuencia, su radio de converegencia es +; de ahí ue lim sup n ja nj = 0 ii.)i. Sea P + a n z n ; 8z C La serie está bien de nida convergiendo en todo el plano. Por tanto, al ser analítica en C; es holomorfa en C. Q.E.D. Proposición (un re namiento de la anterior). Sea una sucesión arbitraria de números complejos (a n ) n0 y a C Son euivalentes i. Existe una función f holomorfa en a tal ue ii. n La sucesión ja nj f n) (a) = a n ; 8n N [ f0g está acotada. n0 P Demostración. i.)ii. Tenemos, por hipótesis, ue la serie de potencias a n n0 (z a) n converge en algún disco D(a; r) (para r > 0). En consecuencia, lim sup n ja nj n ja = =r; de donde se sigue la acotación de nj n0 a n (z a) n ii.)i. De la acotación se sigue ue la serie de potencias P n0 es analítica en algún disco D(a; r) (para r > 0). Luego se de ne una función holomorfa f sin más ue hacer f n) (a) = a n para cada n N [ f0g. Q.E.D. En el último corolario al teorema de Taylor hemos obtenido la fórmula f n) (a) = i dw; 8r > 0 D(a; r) 8n N [ f0g Pero sabemos por el teorema local de Cauchy ue dw; 8z D(a; r); i w z luego [] sólo nos informa para la situación n = 0 y z = a. Sin embargo, con las mismas hipótesis del teorema de Taylor (ue son las mismas de la fórmula de Cauchy para la circunferencia), ahora ya somos capaces de mayores logros gracias a la potencia de la teoría de funciones analíticas Teorema (Fórmula de Cauchy para las derivadas). Sean = C; f H () y D(a; r). Entonces f k) (z) = k i (w z) k+ dw; 8z D(a; r) 8k N [ f0g [] 4

5 Demostración. Derivando k veces en la serie de Taylor de f; tenemos f k) (z) = dw i k+ (n k) (z a)n ; 8z D(a; r) [] (Observa ue estamos en las mismas hipótesis de Taylor, como ya se avisó más arriba.) Por otro lado, ya nos es conocido ue w C (a; r) ) w + z = X (z a) n ; 8z D(a; r) Derivándola, igualmente, k veces en z (y por la arbitrariedad de w) k (w z) k+ = (z a) n k (n k) ; 8z D(a; r); 8w C (a; r) [] La (nueva) serie es convergente (por el criterio del cociente) (z a) n k n (n k) = jz aj jz aj k r (n k) r Luego, aplicando el test de Weierstrass, la igualdad [] es uniforme sobre la circunferencia C (a; r); y, por la acotación de f sobre la misma, tenemos ue k (w z) k+ = k (n k) (z a)n es también uniforme sobre ella. Consecuentemente, integrando la fórmula anterior sobre la circunferencia C (a; r), conmutando serie e integral, y usando la fórmula [], tendremos k dw = k+ (w z) = if k) (z) ; dw k (z a)n (n k) es decir, f k) (z) = k i (w z) k+ dw; 8z D(a; r) 8k N [ f0g pues z y k eran jos, pero arbitrarios. Q.E.D. EJERCICIOS PROPUESTOS. 5

6 . Sea = C (a; R) y C una función continua. Prueba ue la función f D(a; R) C dada por (w) dw; 8z D(a; R) w z es holomorfa en dicho disco. Prueba, también, ue f k) (w) (z) = k dw; 8z D(a; R); 8k N k+ (w z). (Desarrollo limitado de Taylor) Sea f una función holomorfa en un abierto ue contenga al disco cerrado D(a; R) y sea la circunferencia = C (a; R). Prueba ue para todo z D(a; R) y todo n N nx k=0 f k) (a) k (z a) k + (z a) i dw (w z) 3. Obténgase el desarrollo en serie de potencias centrado en el origen de la función f y calcula el radio de convergencia en cada uno de los siguientes casos a. log z 3z + ; 8z Cn f; g ; z b. +z ; 8z Cn fg ; c. exp ( log ( + z)) ; 8z Cn fg ( Cnf0g); d. cos z; 8z C 4. En cada uno de los siguientes casos, determina si existe una función holomorfa f sobre el dominio y tal ue f n) (0) = a n para todo n N [ f0g. Encuentra, en cada caso, las correspondientes funciones f ue veri uen las condiciones pedidas 5. Sea f R C ([a; b]). Si de nimos a. = C; a n = n; 8n N; b. = C; a n = (n + ); 8n N; c. = D(0; ); a n = n ; 8n N; d. = D(0; ); a n = n n ; 8n N F (z) = b prueba ue F es una función entera. 6. Calcula las integrales para a exp ( zt) f(t)dt; 8z C; k z ( e z z) 3 dz = C ; ; = C (; 3) 6

7 7. Calcula, con n N, las siguientes integrales a. R T sin(z) z n dz; b. R T e z e z z dz n 8. Sea z z = + P n z n un desarrollo en serie de potencias válido en un entorno del origen. Prueba ue ( n ) es la sucesión de Fibonacci = = ; = n + n ; 8n N Dedúzcase ue n = p 4 + p 5 5 p ; 8n N 9. Se de ne F (z) = exp z [0;z] exp w dw; 8z C Prueba ue F es entera y ue F 0 (z) = + zf (z); 8z C 0. Prueba ue, para 0 < r <, se tiene log( + z) dz = 0; z C(0;r) y deduce ue 0 ln + r + r cos d = 0 7