Series de Laurent. R n (z) = (z z 0) n C. ( z. Para probar esta afirmación partimos de la fórmula integral de Cauchy escrita convenientemente = 1

Transcripción

1 Semana 3 - lase 37 Series de Laurent. Otra vez Taylor y ahora Laurent Anteriormente consideramos series complejas de potencias. En esta sección revisaremos, desde la perspectiva de haber expresado la derivada n-ésima de una función analítica, el equivalente a las series de Taylor para funciones complejas de variable complejas... Series de Taylor para funciones analíticas Si f(z) es analítica en un círculo de radio R, encerrado por un contorno y centrado en un punto z = z 0, entonces f(z) puede ser expandida en series de potencias (enteras positivas) para todo < R de la forma f (n) (z 0 ) con el resto R n (z) definido como (z z 0 ) n f(z 0 )f (z 0 )(z z 0 ) f (z 0 ) 2 R n (z) = () n ( ) n (ζ z). (z z 0 ) 2 f (n) (z 0 ) (z z 0 ) n R n, Para probar esta afirmación partimos de la fórmula integral de auchy escrita convenientemente = ζ z z z, () 0 de donde ζ z ( z ) ( ) z 2 ( ) z n este último corchete proviene de una forma ingeniosa de utilizar una serie geométrica de razón r =. Para entenderlo, recordemos que para una serie geométrica, se cumple que rr 2 r 3 r n = rn r Entonces: ζ z = r rn r ( z r = rr2 r 3 r n rn r. (2) n ( ) z j ( z ) n ζ z ( 0 ) ζ z Héctor Hernández / Luis Núñez Universidad de Los Andes, Mérida ) n ζ z ( 0 ) ζ z (3)

2 Semana 3 - lase 37 con lo cual donde n ( ) j ( R n (z) = () n ) ( ) j R n (z) = n ( ) n (ζ z) f (j) (z 0 ) ( ) j R n (z) (4) j! Obvio que la serie (4) converge si R n (z) 0 cuando n y de eso es fácil convencerse al acotar la ecuación (5). Esto es, considerando ζ sobre el contorno y z en el interior de R, entonces R n (z) = ( ) n ( ) n (ζ z) < n 2π ( ) n (ζ z) < n M 2π R n 2πR, donde, una vez más, hemos utilizado la forma polar ζ = ζ z 0 = Re iθ y hemos acotado ζ z < M, n con lo cual es inmediato constatar que lím n R = 0 R n (z) 0, con lo cual la serie converge. Ejemplos Expanda z, alrededor de z = z 0 z 0 ( z 0 ) 2 (z z 0) ( z 0 ) 3 (z z 0) 2 ( z 0 ) 4 (z z 0) 3 () n ( z 0 ) n = ( ) n ( z 0 ) n ln( z), alrededor de z = 0 (Serie de Maclaurin) ( ) n ln(z) = ln( z) z=0 ( z) n z n f(0)f (0)z f (0) z 2 f (0) z 3 = z z2 z=0 2 3! 2 z3 3 n= [ ] z ln, alrededor de z = 0 (Serie de Maclaurin) z [ ] ] ] ] z ln ln[z] ln[ z] = [z z2 z 2 z3 3 [ z z2 2 z3 3 = 2 [z z3 3 z5 5 2z 2n = 2n. (5) Héctor Hernández / Luis Núñez 2 Universidad de Los Andes, Mérida

3 Semana 3 - lase 37 Figura : Expansión de Laurent 2. Series de Laurent Hemos dicho que si una función f(z) es analítica en una región (digamos que circular) R, entonces puede ser expandida por series de Taylor. Sin embargo, si f(z) tiene un polo de orden p, digamos, en z = z 0, dentro de la región R, no será analítica en ese punto, mientras que la función: g(z) = (z z 0 ) p f(z) si lo será en todos los puntos de esa región. Entonces f(z) podrá ser expandida como series de potencias (de Laurent) de la forma n= u k ( ) k = u n ( ) n para: n = 0, ±, ±2, y R < < R 2. Equivalentemente u n ( ) n, con u n =, (6) ( ) n g(z) ( ) p = a p ( ) p a p ( ) p a ( ) a 0 a (z z 0 )a 2 (z z 0 ) 2 (7) La suma de todos los términos que tengan potencias negativas, vale decir u n (z z 0 ) n, se denomina parte principal de f(z). Para demostrar (6) o (7), recordamos que, tal y como muestra la figura cuadrante I, si f(z) es analítica en la regiún anular, entonces el Teorema de auchy, nos garantiza que 2 2 donde en el segundo caso hemos supuesto que ambas circulaciones tienen el mismo sentido. Héctor Hernández / Luis Núñez 3 Universidad de Los Andes, Mérida

4 Semana 3 - lase 37 Del mismo modo como procedimos en la ecuación () reescribimos el segundo par de integrales como z z 0 2 ζ z 0 y ahora invocando, una vez más la progresión geométrica (2) podemos construir expresiones de integrales equivalentes a la ecuación (3). Vale decir ( ) z n ( ) ζ n n ( ) z j ( ) ζ z 0 ζ z n ( ) ζ j 2 ( ) z z 0 ζ z y equivalentemente n (z z 0 ) j ( ) j }{{} u j R n (z) n ( ) j ( ) j R n2 (z) } 2 {{} u j (8) on lo cual queda demostrado la forma funcional de los coeficientes de la expansión de Laurent. La demostración de la convergencia, esto es n R n (z) R n2 (z) 0 sigue el mismo esquema que utilizamos para demostrar la convergencia de la ecuación (6) y se lo dejamos como ejercicio al lector. Otra manera de representar las series de Laurent es por medio de las fórmulas: donde: a k ( ) k b k ( ) k, R < < R 2. (9) k=0 a k = b k = k= f(z) dz, ( ) k k = 0,, 2,..., (0) f(z) dz, ( ) k k =, 2,.... () En este caso, se supone que la función es analítica en el dominio anular: R < < R 2 y es un contorno cerrado simple en torno a z 0 y contenido en la región anular. En el caso de b k podemos ver que el integrando se puede escribir también como f(z)( ) k. Si f es analítica en < R 2, entonces el integrando es una función analítica en dicho disco y por lo tanto b k = 0. Es decir, la serie (9) se reduce a una serie de Taylor donde los coeficientes son: a k = f(z) ( ) k dz = f (k) (z 0 ), k = 0,, 2,.... Héctor Hernández / Luis Núñez 4 Universidad de Los Andes, Mérida

5 Semana 3 - lase Algunos Ejemplos En muchos casos las expansiones en series de Laurent no se generan a partir de las ecuaciones (6) o (9) sino a partir de manipulaciones algebráicas y expansiones en Taylor moduladas por otros factores. Ejemplo : El primero lo haremos directamente, vale decir, que como lo vamos a hacer no lo haremos otra vez. Queremos hacer una representación en serie de Laurent de la función: z(z ). Utilizando las fórmulas de (8), construimos la relación u j = ( ) j = ζ j2 (ζ ) = conviertiendo a la forma polar tendremos que es decir riθe iθ dθ r j2 n e i(j2 n)θ = δ j2 n, ζ j2 u n = u n = 0 z(z ) = z z z2 z 3 ζ n = onsideremos los siguientes ejemplos de desarrollos en Series de Laurent: para n para n < ζ j2 n Ejemplo 2: La función puede escribirse en la forma: Por otro lado, sabemos que: por lo tanto: z(z 2) z 2 = 2 = 2 z 2 z(z 2) = 2 z/2 = 2 z n 2 n z(z 2). [ z ], 0 < z < 2. z 2 ( z n = 2) z n, z < 2, 2n = 2 z 4 8 z 6 z2 32 z3 64 z4 28 z5, 0 < z < 2. Héctor Hernández / Luis Núñez 5 Universidad de Los Andes, Mérida

6 Semana 3 - lase 37 Ejemplo 3: (z )() Esta función tienes polos de orden en z = y z = 3. Además, expresando f(z) como una suma de fracciones parciales, tendremos: [ (z )() = 2 z ], < z < 3, Para < z < 3. Tenemos los siguientes desarrollos: La serie es: z (z )() = z = 3 = 2 /z = z z/3 = 3 [ ( ) n =, z zn z >, ( z n = 3) z n, 3n z < 3, z n ] 3 n z n = 6 8 z 54 z2 62 z3 2 z 2 z 2 2 z 3 2 z 4. Para z > 3. En este caso no podemos utilizar el segundo desarrollo anterior, ya que éste es válido sólo para z < 3. Por lo tanto: = z 3/z = z ( ) 3 n = z 3 n, z > 3, zn podemos entonces escribir (z )() = 2 [ ] z n 3 n z n = 2 = z 2 4 z 3 3 z 4 40 z 5. 3 n z n para z <. Escribimos [ (z )() = 2 z ] = 2 z 6 z/3, Héctor Hernández / Luis Núñez 6 Universidad de Los Andes, Mérida

7 Semana 3 - lase 37 como z < y z/3 < en este dominio, entonces: Ejemplo 4: Sabemos que: por lo tanto: 2 e2z (z ) 3 = e2 e 2(z ) (z ) 3 = e2 z n 6 z n 3 n = 2 [ z n ] 3 n = z 3 27 z z z4. e z = e2z (z ) 3. z n, z <, 2 n (z ) n (z ) 3 = e2 2 n (z )n 3 [ 2 = e 2 3 (z ) 3 2 (z ) 2 2 (z ) 2 3 z 4 ] 5 (z )2, la cual es válida para: 0 < z <. Ejemplo 5: Esta función se puede escribir como: Sabemos que: entonces sen z = z sen z z 3. z 2 sen z z 3. ( ) n z2n (2n )!, z <, z 2 sen z z 3 = z 2 ( ) n z 2n z 3 (2n )! = z 2 ( ) n z2(n ) (2n )! válida para: 0 < z <. = z 2 z 2 ( ) n z2(n ) (2n )! = ( ) n z2(n ) (2n )! n= = 6 20 z z4 n= z z8, Héctor Hernández / Luis Núñez 7 Universidad de Los Andes, Mérida