VARIABLE COMPLEJA Y ANÁLISIS FUNCIONAL

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1 VARIABLE COMPLEJA Y ANÁLISIS FUNCIONAL (Curso 00-00) HOJA Ejercicio. Determina en qué recintos es holomorfa la siguiente función: f(x + iy) x + ay + i(bx + cy) En este caso consideramos: u(x, y) x + ay y v(x, y) bx + cy. Aplicando el siguiente teorema: Sean u, v : G : R funciones de clase, es decir, que las derivadas parciales de primer orden de estas funciones con respecto a x e y existen en todos los puntos de G y son continuas. f(z) u(x, y) + iv(x, y) es holomorfa en G u y v cumplen las ecuaciones de Cauchy-Riemann. Para ver en qué recinto de C es f holomorfa, comprobemos bajo qué condiciones se cumplen las ecuaciones de Cauchy-Riemann: u x (x, y) v y (x, y) c u y (x, y) a v x (x, y) b } c b a Luego, si c y b a es decir, si f(x + iy) (x + ay) + i( ax + y) f(z) ( ia)z, entonces, f es holomorfa en C ( a R). En otro caso, f(x + iy) (x + ay) + i(bx + cy) no es holomorfa en ningún abierto G C. } Ejercicio. Halla, en cada uno de los siguientes casos, una función holomorfa, f u + iv, cuya parte real o imaginaria sea la dada: Definición de función armónica: Sea h una función real de dos variables reales x, y sea h C (es decir, de clase ) se dice que h es ARMÓNICA en

2 un dominio dado del plano xy si sobre ese dominio se satisface la ecuación: h xx (x, y) + h yy (x, y) 0 Esta ecuación es conocida como ecuación de Laplace. Definición de función armónica conjugada: Sea u : G R armónica, si existe v : G R armónica tal que la función u + iv es holomorfa en G entonces se dice que v es la función ARMÓNICA CONJUGADA de u. TEOREMA Una función f(z) u(x, y) + iv(x, y) es holomorfa en un dominio G si y sólo si u Re(f) y v Im(f) son armónicas y verifican las ecuaciones de Cauchy-Riemann. De este teorema se deduce que para que una función de clase sea parte real o imaginaria de una función holomorfa necesariamente tiene que ser armónica. a) u(x, y) y 3 3x y Se ve fácilmente que la función u(x, y) y 3 3x y es armónica en todo el plano xy ya que: u x (x, y) 6xy u xx (x, y) 6y u y (x, y) 3y 3x u yy (x, y) 6y Efectivamente, u xx (x, y) + u yy (x, y) 0 Para calcular una armónica conjugada de u se tiene que cumplir que u y v verifican las ecuaciones de Cauchy-Riemann: { ux (x, y) v y (x, y) u y (x, y) v x (x, y) u x (x, y) 6xy v y (x, y) 6xy Manteniendo la x fija e integrando la expresión anterior respecto de y, se obtiene:

3 v(x, y) 3xy + k(x) donde k es una función arbitraria que sólo depende de x. Como ha de cumplirse también que u y (x, y) v x (x, y), entonces: u y (x, y) 3y + 3x 3y + k (x). Luego, k (x) 3x k(x) x 3 + c, c R arbitrario. Se obtiene entonces que: v(x, y) x 3 3xy + c es una armónica conjugada de u(x,y). La función holomorfa correspondiente es: f(x + iy) (y 3 3x y) + i(x 3 3xy + c) Se comprueba que f(z) i(z 3 + c) b) u(x, y) x x + y + x La función u es de clase en todo el plano menos en el origen. Se comprueba que u(x, y) x + x es una función armónica: x +y u x (x, y) x +y x (x +y ) + y x (x +y ) + u xx (x, y) x(x 3y ) (x +y ) 3 u y (x, y) yx (x +y ) u yy (x, y) x(3y x ) (x +y ) 3 3

4 En efecto, v xx (x, y) + v yy (x, y) 0 Para calcular una armónica conjugada de u ha de cumplirse: { ux (x, y) v y (x, y) u y (x, y) v x (x, y) Así, u x (x, y) y x (x + y ) + v y(x, y) y x (x + y ) + Integrando la expresión anterior respecto de y se obtiene: v(x, y) y (x + y ) + y + k(x) donde k es una función arbitraria que sólo depende de x. Como ha de verificarse que: u y (x, y) v x (x, y) entonces: Así, k (x) 0 k(x) c, Luego: xy (x + y ) xy (x + y ) + k (x) v(x, y) c R arbitrario. y (x + y ) + y + c es una función armónica conjugada de u(x, y). La función holomorfa correspondiente es: ( f(x + iy) x ) x + y + x ( y ) + i x + y + y + c es decir, f(z) z + z + ic definida para todo z C {0}. 4

5 c) v(x, y) 3 + x y y (x + y ) La función v es de clase en todo el plano menos el origen. Se comprueba que la función v(x, y) es armónica: v x (x, y) x + xy (x +y ) v xx (x, y) + y(y 3x ) (x +y ) 3 v y (x, y) y + y x (x +y ) v yy (x, y) + y(3x y ) (x +y ) 3 En efecto, v xx (x, y) + v yy (x, y) 0 Para calcular una armónica conjugada de v ha de cumplirse: { ux (x, y) v y (x, y) u y (x, y) v x (x, y) Así, u x (x, y) y + y x (x + y ) v y(x, y) Integrando la expresión anterior respecto x: u(x, y) yx + x (x + y ) + k(y) donde k es una función arbitraria que sólo depende de y. Como ha de verificarse que: u y (x, y) v x (x, y) entonces: x xy (x + y ) + xy k (y) x (x + y ) 5

6 Luego, k (y) 0 k(y) c, Luego: u(x, y) xy + es una armónica conjugada de v(x,y). La función holomorfa correspondiente es: ( f(x + iy) xy + c R arbitrario. x (x + y ) + c x ) ( (x + y ) + c + i 3 + x y y ) (x + y ) Se comprueba que f(z) (c + 3i) + iz + z holomorfa en C {0}. Ejercicio 3. Resuelve las siguientes ecuaciones: a) senz i Tenemos: e iz e iz i i Multiplicando a ambos lados de la ecuación por i: e iz e iz Multiplicando a ambos lados de la ecuación anterior por e iz : e iz e iz Sea a e iz, se obtiene la siguiente ecuación de segundo grado: a + a 0 6

7 Se resuelve la ecuación: a ± ± ± Así, a e iz ± Si a e iz + : log(e iz ) iz log ( + ) ln ( + ) + kπi, k Z z i ln ( + ) + kπ, k Z Si a e iz : iz ln + (k )πi, k Z z i ln ( + ) + (k )π, k Z ( + i ) b) log z Dividimos por : z ( + i ) log ( + i ) [ln + i(arg + kπ)] Como ln() 0 y arg( +i ) π 4 se tiene que: z i (π 4 + kπ), k Z z i( π 8 + kπ), k Z 7

8 Ejercicio 4. Estudia la convergencia de la serie: ( + i) n n cos(in) Como cos(in) e n +e n entonces ( + i) n n cos(in) ( + i) n n (e n + e n ) ( + i)n n cos(in) ( + i) n (e n + e n ) n + i n n (e n + e n ) n n (e n + e n ) n n (e n + e n ) e n + e n Aplicando el Criterio de Comparación: Se tiene que:. Basta ver que, de razón <. e e n e n + e n e n (+i) n n cos(in) con- Se deduce que la serie converge. e n +e n Como (+i) n n cos(in) e n +e n verge, de hecho converge absolutamente. <. Esto es cierto porque es una serie geométrica entonces la serie Ejercicio 5. Encuentra el conjunto donde la siguiente serie converge: n z n + 8

9 y estudia dónde converge uniformemente. Se estudian los siguientes casos: Si z > : Como z n + z n, se tiene que: z n + ( z ) n Como además ( z ) n (( z ) n ), concluimos que: para todo n. Usando lo anterior se llega a que: Como z converge. z n + ( z ) n ( z ), n n z n + ( z )n. < (ya que z > ) entonces la serie geométrica n z n Aplicando el Criterio de Weierstrass se tiene que, para todo ε > 0, la serie n converge uniformemente en {z C / z + ε}, y converge z n + fuera de la bola cerrada de centro 0 y radio. Si z : - Si z < :(que es lo mismo que z < ) lím n ya que z n < z n + n. n z n + Por tanto, en este caso la serie diverge, porque el término general no converge a 0. 9

10 - Si z : Como porque n z n + n n ( z ) n + n ( z ) n + ( z ) n ( z ) n + ( z ) n + ( z ) n Entonces, n z n + n ( z ) n + ( ) n z, porque z. Luego, como el término general de la serie no converge a 0, se obtiene que en este caso la serie no converge. Ejercicio 6. Estudia la convergencia uniforme de la serie: e nz n + 3 n La serie del enunciado se puede escribir como: e nz n + 3 (e z ) n n n + 3 n Para estudiar la convergencia uniforme de esta serie vemos que el término general de la serie está acotado por: (e z ) n (e z ) n (e z ) n ( e Re(z) n + 3 n 3 n 3 3 ) n 0

11 La serie geométrica ( e Re(z) ) n converge cuando (e Re(z) ) r <, es 3 3 decir cuando: e Re(z) R < 3 Re(z) log(r) < log(3) Re(z) log(r) > log(3) Se deduce entonces que la serie enunciada converge uniformemente en {z C / Re(z) log( ) + ε}, sea cual sea ε > 0. 3 ( ) Obsérvese que si Re(z) log la parte real de la serie diverge. ε Ejercicio 7. potencias: Determina el radio de convergencia de la siguiente serie de cos(in)z n Para determinar el radio de convergencia de esta serie de potencias, R, voy a aplicar el Criterio de D Alembert: cos(in) e n + e n R lím lím lím n cos(i(n + )) n e (n+) + e n+ n + e e lím n n e + e e e e n +en e n +e (n+) e n+ Ejercicio 8. Suma la siguiente serie : 3n (n + )! zn

12 Primero calculamos el radio de convergencia de esta serie: (3n )(n + )! 3n 3 + 6n n R lím lím n (n + )!(3n + 6n + ) n 3n + 6n + R Se tiene que: 3n (n + )! zn 3 (n + ) (n + )! zn n 3 (n + )! zn 3 (n + ) z n n! (n + ) n 4 3 z n (n + )! n n! zn + n! zn Por otra parte: z (n )! zn + n! zn+ + n! zn + n! zn n! zn n! zn ( ) z + e z Además: (n + )! zn z n (n + )! zn (n + )! zn+ z n + (n + )! zn n! zn z (ez ) (n + )! zn

13 Luego: n! zn z (n + )! zn+ e z z (ez ) 3n [( ) (n + )! zn 3 z+ e z e z + z (ez ) 4 3 ] z (ez ) [ 3 e z (z ) + (e z ) ] 3z para todo z C (ya que el radio de convergencia es R + ). ( 3 [e z z+ + z 4 ) 3z z + 4 ] 3z 3