Desarrollos en Serie.Series Funcionales Teorema de Rolle Enunciado

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1 Desarrollos en Serie.Series Funcionales Teorema de Rolle Enunciado Sea y=f(x) Contínua en [a,b] Derivable en (a,b) Cumpliendo f(a) = f(b) Se cumple que: Demostración Por el teorema de Weirstrasse, f(x) tiene en [a,b] máximo y mínimo absolutos Si ambos se encuentran en los extremos, f(x) toma un valor constante por coincidir máximo y mínimo -caso imagen (A)-

2 Si algún máximo o mínimo se halla en un punto interior al intervalo tal máximo o mínimo es, además de absoluto, relativo luego f (c)=0 -caso imagen (B)- Teorema del Valor Medio Sea y=f(x) Continua en [a,b] Derivable en (a,b) Y, además, f(a) f(b) Se cumple que: Demostración Definimos una función auxiliar g(x) tal que: g(x) = f(x) f(a) k(x-a) (1) Características de la función: g (x) = f (x) k (2) Si es x=a entonces: g(a) = f(a)-f(a) k(a-a) =0 (3)

3 Determinamos k para un valor g(b) =0 g(b) = f(b) f(a) k(b-a) = 0 (4) despejando k, obtenemos (5) Tenemos una función g(x) que cumple: g(x) continua en [a,b] g(x) derivable (a,b) Y además f(a) = f(b) Aplicando Rolle a la ecuación (2) y valor k (5) g (c) = f (c) k=0 Otras formas de expresión del TVM I. Fórmula de Lagrange de los incrementos finitos II. f(b) = f(a) + f (c) (b-a) Si hacemos h = (b-a) por ser c un punto interior es: Obteniendo:

4 Ejemplo Sea f(x) =L(x+24) en el intervalo [3,14] Hallar el punto interior c en que f(b )=f(a)+f (c)(b-a) Solución f(a) = f(3) = L(3+24) = L (27) f(b) =f(14) = L(14+24) = L(38) L(38) = L(27) +f [L(c+24](14-3) Fórmula de Taylor Que aceptando el símbolo f 0) (a)=f(a) puede expresarse como sigue:

5 Demostración El desarrollo es posible si es f(x) desarrollable en (a,b) hasta el orden enésimo. Elección de la función auxiliar: Derivadas sucesivas de g(x) Se determina la constante k haciendo g(b)=0 g(x) cumple Rolle en el intervalo [a,b], luego:

6 Substituyendo k en la fórmula anterior de Taylor tenemos: Resultado: Hemos demostrado la existencia de un punto c que hace siempre posible la fórmula de Taylor Series funcionales. Definición Estableciendo una aplicación entre N 0 y el

7 conjunto de funciones reales f n se determina una sucesión indefinida de funciones: f 1 (x), f 2 x), f 3 (x), f n (x), De ésta podemos deducir una sucesión de sumas parciales Llamaremos serie funcional a la expresión: Como, fijando un valor de x, f n (x) es un número real, cada valor xdetermina una serie numérica cuya suma llamaremos S(x): Campo de Convergencia Es el conjunto de valores de x, para los que la correspondiente serie numérica es convergente. Esto implicaría que el resto de la serie, R n (x).

8 Tendería a 0 al crecer suficientemente n. Es decir, para cada x del campo de convergencia se debe cumplir que, fijado E>0 Ahora bien, si el conjunto de los p x está acotado superiormente por un valor p, entendiendo por ello que : Cualquiera que sea la x del campo de convergencia. En este caso se dice que la serie converge uniformemente. Criterio de convergencia uniforme (Weierstrass) Una serie funcional es uniformemente convergente en el intervalo (a,b) si es que: Siendo una serie real de términos positivos convergente.

9 En efecto: Quedando este p determinado por la serie numérica lo que quiere decir que no depende de x Si se cumple el criterio, la serie funcional es además absolutamente convergente. Teoremas Si la serie S f n (x)es uniformemente convergente y las f n (x), son continuas en el intervalo [a,b] la suma de la serie S (x), también es contínua en dicho intervalo En efecto, siendo S (x)= s n (x) + R n (x), resulta: Puesto que 1 La suma de funciones contínuas es contínua 2 Los restos también tienden a cero Si S fn(x) es convergente las fn(x), son derivables y la serie derivada S f'n(x) es

10 también convergente en un intervalo [a,h] la suma de la serie derivada es la derivada de la suma S(x) de la serie dada Series Enteras Recibe el nombre de serie entera o potencial toda serie de la forma: Teorema de Abel Si una serie entera converge en x 0, también converge para todo x tal que: x < x0 Demostración: A partir de un se cumple Luego, tiene por mayorante que converge para

11 para una serie geométrica de razón Luego para valores es absolutamente convergente y, por tanto simplemente convergente como se quería probar. Corolario El campo de convergencia de las series enteras es un entorno simétrico de cero cuyo radio es el extremo superior del campo de convergencia. Si R es el radio (-R, R) es el campo Criterios para la determinación de R Criterio de D Alembert O bien si es

12 Otenemos: Criterio de Cauchy De donde obtenemos criterio para el radio de convergencia buscado Aplicaciones 1. Calcular el radio y campo de convergencia para una serie de término general: Solución Aplicamos el criterio de D Alembert:

13 Luego es R=1 y el Campo de Convergencia = (-1,1) 2 El término general de la serie binómica Calcular el radio de convergencia R de la serie Solución R=1

14 3 Calcular el radio de la serie de término general n n x n por Cauchy R=0 Propiedades de las series enteras 1. Toda a n x n es uniformemente convergente en el campo definido por su radio de convergencia R Luego es: Que cumple el teorema de convergencia uniforme de Weirstrasse puesto que a n x n es término general de una serie real de términos positivos convergente 2 La suma de una a n x n, es función contínua en el campo de convergencia: Considerando a n x n uniformemente convergente f (a n x n )contínua en el campo de convergencia

15 Se cumplen las hipótesis del teorema 1 y, por tanto, la tesis. 3 La serie derivada de una entera tiene el mismo radio de convergencia que ésta. Si es a n x n su derivada es: na n x n-1 y su radio de convergencia es: Representación de funciones por series. Series de Taylor Representar una función f(x) mediante una serie es hallar una tal que su suma coincida con la función en el campo de convergencia de la serie: Supuesto que f(x) sea representada por la serie entera (Serie de Taylor) a n x n ha de ser convergente en (-R,R ).

16 Para x=0 Luego finalmente, tenemos que es: De donde se desprende que: El desarrollo de una serie entera, si existe, es único, denominándose Serie de Taylor y es una prolongación indefinida de la serie de Mc Laurin en la que desaparece el término complementario.

17 Condiciones (necesarias pero no suficientes) para que f(x) tenga representación en serie de Taylor 1. f(x) debe ser derivable indefinidamente 2. R debe cumplir que sea R distinto de 0 3. El resto de la serie debe coincidir con el término complementario de Lagrange Pues entonces, el desarrollo en serie de Taylor se identifica con la fórmula de Mc Laurin y, por tanto, con la función. Pero como la convergencia exige, dentro del campo, que sea: Es preciso que se cumpla la condición cuarta que sigue: 4. La derivada enésima debe ser cero en el campo de convergencia En cuyo caso, se cumple:

18 Etiquetas: Abel, Cauchy, Convergencia, Cálculo, D alembert, función real, incrementos finitos, Lagrange, Matemáticas, máximo, mínimo, Rolle, Serie entera, Serie funciona,l Taylor, teorema del valor medio, Weirstrasse