Complementos de Matemáticas, ITT Telemática

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1 Introducción Métodos de punto fijo Complementos de Matemáticas, ITT Telemática Tema 1. Solución numérica de ecuaciones no lineales Departamento de Matemáticas, Universidad de Alcalá

2 Introducción Métodos de punto fijo Bisección Regula Falsi Secante Newton Ecuaciones no lineales Ceros de una función real de variable real Un problema habitual en cálculo científico es el de resolver una ecuación o, lo que es equivalente, encontrar los ceros, o raíces, de una función f : f (x) = 0 Solo en casos muy especiales esta tarea se resuelve con un número finito de operaciones. Vamos a ver diferentes métodos iterativos: Empezando con uno o más datos iniciales se construye una sucesión de valores x k que se espera converjan hacia, α, un cero de la función f : l«ım xk = α con f (α) = 0 k de manera que tendremos aproximaciones tan buenas como queramos de la raiz α.

3 Índice Introducción Métodos de punto fijo Bisección Regula Falsi Secante Newton 1 Introducción Método de bisección Método de la Regula Falsi Método de la Secante Método de Newton 2 Métodos de punto fijo Convergencia de las iteraciones de punto fijo Velocidad de Convergencia

4 Introducción Métodos de punto fijo Bisección Regula Falsi Secante Newton Funciones continuas: teorema de Bolzano Existencia de raíces de la ecuación f (x) = 0 Teorema Sea f (x) una función continua en el intervalo cerrado [a, b] y sea γ cualquier número estrictamente entre f (a) y f (b). Entonces existe c (a, b) tal que f (c) = γ. Corolario Sea f (x) una función continua en el intervalo cerrado [a, b] tal que f (a) f (b) < 0. Entonces existe c (a, b) tal que f (c) = 0. Teorema: Toda sucesión monótona y acotada es convergente. Teorema: Una función f (x) es continua en un punto a si y sólo si para toda sucesión {x n} tal que l«ım n x n = a se tiene que la sucesión {f (x n)} verifica que l«ım n f (x n) = f (a).

5 Introducción Métodos de punto fijo Bisección Regula Falsi Secante Newton Método de bisección Método de bisección para la ecuación f (x) = 0 Hipótesis: f es una función continua en [a, b] tal que f (a) f (b) < 0. Método: Inicio a 0 = a, b 0 = b, I 0 = (a 0, b 0 ) y x 0 = a 0 + b 0. 2 Paso de k 1 a k Si f (x k 1 ) = 0 entonces α = x k 1 es una raiz de f (x) = 0 y el proceso termina. Si f (x k 1 ) 0 entonces: Si f (a k 1 )f (x k 1 ) < 0 hacemos a k = a k 1 y b k = x k 1 Si f (x k 1 )f (b k 1 ) < 0 hacemos a k = x k 1 y b k = b k 1 Finalmente x k = a k + b k. 2

6 Introducción Métodos de punto fijo Bisección Regula Falsi Secante Newton Método de bisección Convergencia del método de bisección Si f es una función continua en [a, b] tal que f (a) f (b) < 0 entonces la sucesión {x k } generada por el método de bisección converge a una raiz α de la ecuación f (x) = 0 verificando la siguiente acotación para el error en el paso k: e k = x k α < 1 2 (b k a k ) = ( ) 1 k+1 (b a) 2 de manera que para asegurar que e k < ε basta llevar a cabo k ε iteraciones, donde k ε es el menor entero que verifica k ε > ln((b a)/ε) ln 2 1

7 Índice Introducción Métodos de punto fijo Bisección Regula Falsi Secante Newton 1 Introducción Método de bisección Método de la Regula Falsi Método de la Secante Método de Newton 2 Métodos de punto fijo Convergencia de las iteraciones de punto fijo Velocidad de Convergencia

8 Introducción Métodos de punto fijo Bisección Regula Falsi Secante Newton Método de la Regula Falsi Método de la Regula Falsi para la ecuación f (x) = 0 Hipótesis: f es una función continua en [a, b] tal que f (a) f (b) < 0. Método: Inicio a 0 = a, b 0 = b, I 0 = (a 0, b 0) y x 0 = f (b 0) f (a 0) + f (b 0) a0 + f (a 0) f (b0)a0 f (a0)b0 b0 = f (a 0) + f (b 0) f (b 0) f (a 0) Paso de k 1 a k Si f (x k 1) = 0 entonces α = x k 1 es una raiz de f (x) = 0 y el proceso termina. Si f (x k 1) 0 entonces: Si f (a k 1)f (x k 1) < 0 hacemos a k = a k 1 y b k = x k 1 Si f (x k 1)f (b k 1) < 0 hacemos a k = x k 1 y b k = b k 1 Finalmente x k = f (bk 1)ak 1 f (ak 1)bk 1. f (b k 1) f (a k 1) En las hipótesis el método de la Regula Falsi converge a una de las raíces de la ecuación f (x) = 0.

9 Índice Introducción Métodos de punto fijo Bisección Regula Falsi Secante Newton 1 Introducción Método de bisección Método de la Regula Falsi Método de la Secante Método de Newton 2 Métodos de punto fijo Convergencia de las iteraciones de punto fijo Velocidad de Convergencia

10 Introducción Métodos de punto fijo Bisección Regula Falsi Secante Newton Método de la Secante Método de la Secante para la ecuación f (x) = 0 Se empieza con dos aproximaciones iniciales x 0 y x 1 y la siguiente aproximación es el valor de x en el que la recta que pasa por los puntos (x 0, f (x 0)) y (x 1, f (x 1)) corta al eje x. Método: Inicio x 0, x 1 y x 2 = f (x1)x0 f (x0)x1 f (x 1) f (x 0) = x 1 f (x1)(x1 x0) f (x 1) f (x 0) Paso de k 2 y k 1 a k Si f (x k 1) = 0 entonces α = x k 1 es una raiz de f (x) = 0 y el proceso termina. Si f (x k 1) 0 entonces: x k = x k 1 f (xk 1)(xk 1 xk 2). f (x k 1) f (x k 2) Converge rápidamente una vez que se está cerca de la raiz

11 Índice Introducción Métodos de punto fijo Bisección Regula Falsi Secante Newton 1 Introducción Método de bisección Método de la Regula Falsi Método de la Secante Método de Newton 2 Métodos de punto fijo Convergencia de las iteraciones de punto fijo Velocidad de Convergencia

12 Introducción Métodos de punto fijo Bisección Regula Falsi Secante Newton Método de Newton Método de Newton para la ecuación f (x) = 0 A partir de una aproximación inicial x 0 la siguiente aproximación es el valor de x en el que la recta tangente a y = f (x) en el punto (x 0, f (x 0)) corta al eje x. Método: Inicio x 0 Paso de k 1 a k Si f (x k 1) = 0 entonces α = x k 1 es una raiz de f (x) = 0 y el proceso termina. Si f (x k 1) 0 entonces: x k = x k 1 f (xk 1) f (x k 1).

13 Introducción Métodos de punto fijo Bisección Regula Falsi Secante Newton Método de Newton: ejemplo Algoritmo iterativo para obtener α con α R + Resolvemos la ecuación x 2 α = 0 mediante el método de Newton iterando la función g(x) = x x2 α ( = 1 x + α ) 2 2x x Caso particular: 3 ( Método de Newton: x k = 1 x 2 k ) x k 1 x 0 5 0,5 1 x 1 2,8 3,25 2 x 2 1, , ,75 x 3 1, , , x 4 1, , , x 5 1, , , x 6 1, , ,

14 Índice Introducción Métodos de punto fijo Convergencia Velocidad de Convergencia 1 Introducción Método de bisección Método de la Regula Falsi Método de la Secante Método de Newton 2 Métodos de punto fijo Convergencia de las iteraciones de punto fijo Velocidad de Convergencia

15 Introducción Métodos de punto fijo Convergencia Velocidad de Convergencia Métodos de punto fijo Iteraciones de punto fijo Definición Dada una función g se denomina punto fijo de g a cualquier x dom(g) tal que g(x) = x. Definición Dada una función g se denomina un iteración de punto fijo al algoritmo que parte de un valor inicial x 0 y genera por recurrencia la sucesión {x n} iterando g: A g se le denomina función de iteración. x n = g(x n 1 ), n = 1, 2,.... Proposición Si g es una función continua y la sucesión {x n} obtenida mediante iteración de punto fijo es convergente entonces L = l«ım xn es un punto fijo de g: n L = g(l).

16 Introducción Métodos de punto fijo Convergencia Velocidad de Convergencia Sólución de ecuaciones mediante iteraciones de punto fijo Aproximación de las soluciones de f (x) = 0 1 Transformar la ecuación f (x) = 0 en una equivalente de la forma x = g(x). 2 Aproximar los puntos fijos de g(x) mediante iteración. Cómo transformamos f (x) = 0 en x = g(x)? El método de Newton es un ejemplo. Cómo nos aseguramos de que las iteraciones de punto fijo van a converger?

17 Introducción Métodos de punto fijo Convergencia Velocidad de Convergencia Existencia y unicidad de puntos fijos Condiciones suficientes de existencia y unicidad Teorema (Existencia de puntos fijos) Si g es una función continua en [a, b] tal que g(x) [a, b] para todo x [a, b] entonces existe x [a, b] punto fijo de g, es decir, x = g(x ). Teorema (Unicidad de puntos fijos) Sea g una función definida en un intervalo I que posee un punto fijo x, si verifica que g(x) g(y) < x y para todo x, y I entonces el punto fijo es único. Teorema (Condición suficiente sobre la derivada para la unicidad de puntos fijos) Sea g una función derivable en un intervalo I tal que g (x) < 1 para todo x I entonces se tiene que g(x) g(y) < x y para todo x, y I, de manera que si posee un punto fijo éste será único. Teorema del valor medio: Sea f una función continua en [a, b] y derivable en en (a, b) entonces existe ξ (a, b) tal que f (b) f (a) = f (ξ)(b a)

18 Introducción Métodos de punto fijo Convergencia Velocidad de Convergencia Convergencia local de la iteración de punto fijo Teorema Sea g una función de iteración que verifica i. g es continua en [a, b] y g(x) [a, b] para todo x [a, b]. ii. g es derivable en (a, b) y existe k < 1 tal que g (x) k para todo x (a, b). Entonces la sucesión {x n } (con x n = g(x n 1 ), n = 1, 2,...) converge al único punto fijo de g en [a, b], x, para cualquier valor inicial x 0 [a, b], verificando: 1 x n x k n x 0 x. 2 x n x kn 1 k x 0 x 1.

19 Introducción Métodos de punto fijo Convergencia Velocidad de Convergencia Convergencia local de la iteración de punto fijo Teorema Sea g una función de iteración que verifica i. g es continua en [a, b] y g(x) [a, b] para todo x [a, b]. ii. g es derivable en (a, b) y g (x) < 1 para todo x (a, b). entonces la sucesión {x n} (con x n = g(x n 1), n = 1, 2,...) converge al único punto fijo de g en [a, b] para cualquier valor inicial x 0 [a, b]. Corolario Sea g una función C 1 en un entorno de un punto fijo x que verifica g (x ) < 1. Entonces, existe un δ > 0 tal que cualquiera que sea x 0 [x δ, x + δ] la sucesión {x n} (con x n = g(x n 1), n = 1, 2,...) converge a x. Convergencia del método de Newton Sea α una raíz de la ecuación f (x) = 0 y g(x) = x f (x) f (x). Si f es una función C 2 en un entorno de α y f (α) 0 entonces existe un δ > 0 tal que, cualquiera que sea x 0 [α δ, α + δ], la sucesión x n = g(x n 1), n = 1, 2,... converge hacia α.

20 Introducción Métodos de punto fijo Convergencia Velocidad de Convergencia Convergencia global de la iteración de punto fijo Teorema Sea g : IR IR una función derivable tal que g (x) < 1 para todo x IR. Si g tiene un punto fijo x, entonces, para todo x 0 IR, la iteración x n = g(x n 1) (n = 1, 2,...) converge a x. g(x) = 1 + x 2 g (x) = x 1 + x 2, g (x) < 1, x IR. No tiene puntos fijos

21 Introducción Métodos de punto fijo Convergencia Velocidad de Convergencia No convergencia local de la iteración de punto fijo Teorema Sea g una función C 1 en un entorno de un punto fijo x que verifica g (x ) > 1. Entonces, existe un δ > 0 tal que cualquiera que sea x 0 [x δ, x + δ], con x 0 x, se tiene que x 0 x < x 1 x, donde x 1 = g(x 0 ).

22 Índice Introducción Métodos de punto fijo Convergencia Velocidad de Convergencia 1 Introducción Método de bisección Método de la Regula Falsi Método de la Secante Método de Newton 2 Métodos de punto fijo Convergencia de las iteraciones de punto fijo Velocidad de Convergencia

23 Introducción Métodos de punto fijo Convergencia Velocidad de Convergencia Velocidad de Convergencia Definición Sea {x n} n=0 una sucesión con límite r IR tal que e n = r x n 0, n = 0, 1, 2,... Se dice que {x n} n=0 converge a r con orden de convergencia p > 0 y valor asintótico K (0, ) si e n+1 l«ım = K. n e n p Si K = 0, converge con al menos con orden p Definición Un método iterativo, x n = g(x n 1), se dice de orden p si la sucesión {x n} converge a una solución de x = g(x) con orden de convergencia p. Si p = 1 el método se denomina lineal y si p = 2 cuadrático.

24 Introducción Métodos de punto fijo Convergencia Velocidad de Convergencia Interpretación de la Velocidad de Convergencia Definición x tiene al menos d cifras decimales correctas de x si x x 5 10 (d+1) El número de cifras decimales correctas de una aproximación se define como {x n} n=0 converge a x d = log x x Llamamos E n = x n x y d n = log E n, n = 1, 2,..., y suponemos que el orden de convergencia de {x n} a x es p. Tenemos entonces, para n suficientemente grande, que E n+1 K E p n. Y se comprueba que 2 p 1 d n+1 = log 10 K + p dn, es decir, si el orden es p, el número de cifras decimales correctas acaba multiplicándose por p en cada nueva aproximación.

25 Introducción Métodos de punto fijo Convergencia Velocidad de Convergencia Velocidad de Convergencia Teorema Sea x un punto fijo de la iteración g. Si la función g es de clase p en un entorno de x verificando que g (x ) =... = g (p 1) (x ) = 0 y g (p) (x ) 0, entonces existe un entorno de x tal que para cualquier x 0 en ese entorno, la sucesión x n = g(x n 1 ) (n = 1, 2,...) converge a x con orden de convergencia p. Teorema de Taylor. Sea f C n [a, b], f (n+1) existe en (a, b) y c (a, b). Para todo x (a, b) existe ξ x situado entre c y x tal que f (x) = f (c)+f (c)(x c)+ f (c) 2! (x c) f (n) (c) (x c) n + f (n+1) (ξ x) n! (n + 1)! (x c)n+1

26 Introducción Métodos de punto fijo Convergencia Velocidad de Convergencia Velocidad de Convergencia del método de Newton Corolario Sea α una raíz de la ecuación f (x) = 0, con f de clase 2 en un entorno del punto α, y sea g la iteración dada por el método de Newton, entonces Si f (α) 0 se tiene que g (α) = 0 y el método es al menos de orden de convergencia 2. Si además f (α) 0 se tiene g (α) 0 y el método es de orden de convergencia 2. Si f (α) = 0 la convergencia es lineal. Ejemplo de convergencia lineal del método de Newton: (e x x) 2 = 0 x 0 = 0 x 5 = 0, x 1 = 0, x 6 = 0, x 2 = 0, x 3 = 0, x 32 = 0, x 4 = 0,