Resolución de Ecuaciones No Lineales

Transcripción

1 Facultad de Ingeniería Industrial Universidad Nacional Mayor de San Marcos Métodos Computacionales

2 Contenido 1 Introducción Introducción 2 Localización de Raíces Localización de Raíces 3 Métodos Iterativos Bisección Regula Falsi Método de la secante Método de Newton Método del Punto Fijo Método de Muller 4 Sistema de ENL Introducción Método del Punto Fijo Método de Newton

3 Introducción Antecedente La finalidad principal de las matemáticas aplicadas es determinar valores de x que cumplan con f (x) = 0. A estos valores les denominamos raíces o ceros de la ecuación. Para polinomios de primer a tercer orden existen fórmulas que permiten lograr el objetivo antes dicho, sin embargo para grados superiores la situación se complica. En muchos casos no se puede resolver la ecuación de forma anaĺıtica salvo por aproximaciones sucesivas.

4 Localización de Raíces Localización Gráfica Ejemplo Localice gráficamente las raíces de f (x) = 0, siendo f (x) = x e x Solución: En primer lugar, se debe reescribir la ecuación a una forma equivalente f (x) = 0... (1) f 1 (x) = f 2 (x)... (2) Siendo f 1 y f 2 funciones cuyas gráficas sean más simple que la de f. Asimismio las raíces de (1) serán soluciones de (2), i.e, los puntos de intersección de f 1 y f 2.

5 Localización de Raíces De la ecuación, entonces f (x) = 0 x = e x Haciendo: f 1 (x) = x, f 2 (x) = e x Luego, graficamos las funciones f 1 y f 2. Del gráfico verificamos que el punto(único) de intersección, x, se sitúa en el intervalo 1, 0.

6 Bisección Teorema (Bolzano) Sea f : [a, b] R una función continua en [a, b] tal que f (a) f (b) < 0. Entonces existe c a, b tal que f (c) = 0.

7 Bisección Algoritmo de la Bisección

8 Bisección Algoritmo de la Bisección

9 Bisección Análisis del Método de Bisección

10 Bisección Análisis del Método de Bisección Teorema (Teorema de la Bisección) Si f es continua en [a, b], y existe s, una única raíz de f (x) = 0. Si f (a) f (b) < 0 entonces: s x k b a 2 k k = 1, 2,... y la sucesión {x k } converge a la raíz s. Nota: Podemos determinar a priori el número de iteraciones n a efectuar, para garantizar una aproximación de la raíz con un error absoluto máximo de ɛ. Se exigirá que: ( ) b a b a 2 n ɛ 2 n b a ln ɛ n ɛ ln 2

11 Bisección Ejemplo Ejemplo Usar el método de la bisección para aproximar la raíz f (x) = e x log x, comenzando en el intervalo [1, 2] con una precisión de 3 c.d.e Solución: a = 1; b = 2 x 1 = a + b = 1,5 2 f (x 1 ) = 0,1823 < 0; f (1) > 0; f (2) < 0 De donde vemos que la raíz se encuentra en el intervalo [1,1.5] a=1; b=1.5 La nueva aproximación es x 2 = 1 + 1,5 = 1,25 2

12 Bisección Con una precisón de 3 cifras decimales exactas: Tol = 0, ( ) 2 1 ln 0,5 10 n 3 = 10,9658 ln 2 Se requiere como mínimo: 11 iteraciones:

13 Bisección

14 Regula Falsi Método Regula Falsi (Motivación) Cúal es la recta que une los puntos (a, f (a)) y (b, f (b))? y = f (b) f (a) (x a) + f (a) b a Cual es la intersección de la recta con el eje X. b a c = a f (a) f (b) f (a)

15 Regula Falsi Método Regula Falsi

16 Regula Falsi Método Regula Falsi 1 Determinar un intervalo [a,b] tal que f(a) tiene signo distinto de f(b). 2 Hallar el punto c que divide el intervalo [a,b] en partes proporcionales a f(a) y f(b). b a c = a f (a) f (b) f (a) 3 La intersección de esta recta con el eje X es una aproximación a la raíz 4 Elegir, entre [a,c] y [c,b], un intervalo en el que la función cambie de signo. 5 Repetir los pasos 2 y 3 hasta conseguir la precisión deseada.

17 Regula Falsi Método Regula Falsi

18 Regula Falsi Ejemplo Ejemplo Usar el método Posición Falsa para aproximar la raíz f (x) = e x log x, comenzando en el intervalo [1, 2]. Solución: a = 1; b = 2 b a x 1 = a f (a) f (b) f (a) = 1 f (1) 2 1 f (2) f (1) = 1, f (x 1 ) = 0, < 0; f (1) > 0; f (2) < 0 De donde vemos que la raíz se encuentra en el intervalo [1, ] a=1; b= La nueva aproximación es x 2 =

19 Método de la secante Método de la secante Dada una función f (x) contínua en el intervalo [a, b] donde existe una única raiz, es posible determinar una aproximación de la raiz a partir de la intersección de la secante de la curva en dos puntos x 0 y x 1 con el eje X. [ ] x n x n 1 x n+1 = x n f (x n ) ; n 1 f (x n ) f (x n 1 )

20 Método de la secante Método de la secante

21 Método de la secante Ejemplo Ejemplo Usar el método de la secante para aproximar la raíz f (x) = e x2 x, comenzando con x 0 = 0, x 1 = 1. Solución: Tenemos que f (x 0 ) = 1 y f (x 1 ) = 0,6321 Sustituimos en la fórmula de la secante para calcular la aproximación x 2 x 1 x 0 x 2 = x 1 f (x 1 )( f (x 1 ) f (x 0 ) ) = 1 0 = 1 f (1)( f (1) f (0) ) = 0,6127

22 Método de Newton Método de Newton Es lejos uno de los métodos más usados para resolver ecuaciones. Se basa en una aproximación lineal de la función, aunque aplicando una tangente a la curva. A partir de una estimación inicial x0 se efectúa un desplazamiento a lo largo de la tangente hacia su intersección con el eje x, y se toma ésta como la siguiente aproximación.

23 Método de Newton

24 Método de Newton Ejemplo Aproximar la solución de la ecuación x 2 4 = 0 utilizando el método de Newton, x 0 = 1, x 0 = 3

25 Método del Punto Fijo Punto Fijo 1 Transformar la ecuación f (x) = 0 en una ecuación equivalente de punto fijo: x = g(x). 2 Tomar una estimación inicial x 0 del punto fijo x de g. (x punto fijo de g si g(x ) = x ). 3 Para k = 1, 2, 3,... hasta que converja, iterar x n+1 = g(x n ). Teorema (Teorema del Punto Fijo) Sea g : [a, b] [a, b] continua, entonces: a) g posee al menos un punto fijo. b) Si además g (x) k < 1, x [a, b], entonces el punto fijo es único y si tomamos x 0 [a, b], la sucesión x n+1 = g(x n ) converge al punto fijo de g(x).

26 Método del Punto Fijo Convergencia

27 Método del Punto Fijo Divergencia

28 Método del Punto Fijo Ejemplo Ejemplo Usar el método del punto fijo para aproximar las raices de f (x) = x 2 2x 3, comenzando con x 0 = 4. Solución: Existen muchas formas de cambiar la ecuación f (x) = 0 a la forma x = F (x), efectuando manipulaciones algebraicas simples. Para el ejemplo, sea: x = F (x) = 2x + 3 Evaluamos la función F en un punto inicial x 0 x 1 = F (x 0 ) = F (4) = 3,31662 x 2 = F (x 1 ) = F (3,31662) = 3,03439

29 Método de Muller Método de Muller El método de Muller es similar al método de la secante, pero a diferencia de éste; el método de Müller hace uso de una parábola para aproximar a la raíz. El método consiste en obtener los coeficientes de la parábola que pasan por los tres puntos, Dichos coeficientes se sustituyen en la fórmula cuadrática para obtener el valor donde la parábola intersecta al eje x; es decir, la raíz estimada. La aproximación se facilita al escribir la ecuación de la parábola en una forma conveniente.

30 Método de Muller Método de Muller Utiliza tres aproximaciones: x 0, x 1, x 2. Determina la siguiente aproximación x 3 encontrando la intersección con el eje X de la parábola definida por los puntos (x 0, f (x 0 )), (x 1, f (x 1 )), (x 2, f (x 2 )).

31 Método de Muller Método de Muller Se considera el polinomio P(x) = a(x x 2 ) 2 + b(x x 2 ) + c Se puede encontrar a, b y c resolviendo f (x 0 ) = a(x 0 x 2 ) 2 + b(x 0 x 2 ) + c f (x 1 ) = a(x 1 x 2 ) 2 + b(x 1 x 2 ) + c f (x 2 ) = a(x 2 x 2 ) 2 + b(x 2 x 2 ) + c

32 Método de Muller Método de Muller

33 Método de Muller Otra Forma h 0 = (x 1 x 0 ), h 1 = (x 2 x 1 ) δ 0 = f (x 1) f (x 0 ) x 1 x 0, δ 1 = f (x 2) f (x 1 ) x 2 x 1 Luego: a = δ 1 δ 0 h 0 + h 1 b = ah 1 + δ 1 c = f (x 2 )

34 Método de Muller El método de Müller converge bastante rápidamente. Además, se puede utilizar en el caso de raíces complejas. Para evitar overflows cuando a es muy pequeño, es conveniente escribir x x 2 como x x 2 = 2c b b 2 4ac... ( ) tomando el signo que haga máximo el módulo del denominador. El método de Müller puede tomar como valores de comienzo números complejos, en cuyo caso sirve para obtener raíces complejas.

35 Método de Muller Dado los puntos en valor creciente: x 0 < x 2 < x 1 ; evaluamos en ( ) y obtenemos x 3. Los nuevos puntos seran: x 1, x 2, x 3. Observacion: Si se empieza en x 2,obtenemos x 0 y x 1 como h es el incremento. x 1 = x 2 + hx 2 x 0 = x 2 hx 2

36 Método de Muller Algoritmo Dato Inicial: x r, h, MaxIter x 2 x r x 1 x r + h x r x 0 x r h x r Para i=1 hasta MaxIter h 0 x 1 + x 0 h 1 x 2 x 1 d 0 (f (x 1 ) f (x 0 ))/h 0 d 1 (f (x 2 ) f (x 1 ))/h 1 a (d 1 d 0 )/(h 1 + h 0 ) b a h 1 + d 1 c f (x 2 )

37 Método de Muller rad sqrt(b b 4a c) Si b + rad > b rad entonces den b + rad Caso Contrario den b rad Fin Si x 3 x 2 + (2 c)/den x 0 x 1 x 1 x 2 x 2 x 3 Fin Para

38 Método de Muller EJEMPLO Ejemplo Utilizando el método de Muller, aproximar f (x) = x 3 13x 12; x r = 5 Consideremos ahora de la siguiente manera: h = 0,1 x 0 = x r h x r = 5 0,1 5 = 4,5 x 2 = x r = 5 x 1 = x r + h x r = 5 + 0,1 5 = 5,5

39 Método de Muller EJEMPLO Primera Iteración: Conocido x 0 = 4,5, x 1 = 5,5, x 2 = 5, hallamos x 3 f (x 0 ) = f (4,5) = 20,6250; f (x 1 ) = f (5,5) = 82,8750 f (x 2 ) = f (5) = 48 Calculando: h 0 = x 1 x 0 = 1; h 1 = x 2 x 1 = 0,5 δ 0 = f (x 1) f (x 0 ) 82, ,6250 = = 62,2500 x 1 x 0 1 δ 1 = f (x 2) f (x 1 ) 48 82,8750 = = 69,7500 x 2 x 1 0,5

40 Método de Muller Hallando los coeficientes: Luego: a = δ 1 δ 0 69, ,2500 = = 15 h 0 + h ( 0,5) b = ah 1 + δ 1 = ,7500 = 62,2500 c = f (x 2 ) = f (5) = 48 2c x 3 = x 2 + b b 2 4ac = ,25 62,

41 Método de Muller Dado que: 62,25 62, > 62, ,25 }{{} }{{} 93, ,7054 tenemos: x 3 = ,25 62, = 3,9765 Ahora, los nuevos x 0, x 1, x 2 son: x 0 x 1 x 1 x 2 Segunda Iteración: x 2 x 3 x 3 = 4,0011

42 Introducción Sistema de ENL Dada la función F : R n R n (x 1,..., x 2 ) (f 1 (x 1,..., x n ),..., f n (x 1,..., x n )) El objetivo es determinar una solución x = (x1,..., x n) del sistema de n ecuaciones con n incognitas f 1 (x 1,..., x n ) = 0. f n (x 1,..., x n ) = 0

43 Introducción En su forma matricial con x = x 1 x 2. x n F (x) = 0, F (x) = f 1 (x) f 2 (x). f n (x), 0 =

44 Introducción La resolución de sistemas de ecuaciones no lineales por procesos anaĺıticos puede ser bastante difícil o imposible. En ese caso tenemos la necesidad de utilizar métodos numéricos para obtener una solución aproximada. Consideraremos los siguientes métodos iterativos: Método del Punto Fijo Método de Newton

45 Método del Punto Fijo Método del Punto Fijo Fórmula de recurrencia donde x (k+1) = G(x (k) ), k = 0, 1, 2,..., G(x) = g 1 (x) g 2 (x). g n (x) que determina una sucesión de aproximaciones para una raíz x de la ecuación F (x) = 0, a partir de una aproximación inicial x (0) 1 x (0) x = 2. x (0) n

46 Método del Punto Fijo Definiciones Definición n Norma 1: x R n, x 1 = x i i=1 Norma 2 o norma euclidiana: x R n n, x 2 = Norma Infinita: x R n, x = max 1 i n x i. i=1 x 2 i

47 Método de Newton Método de Newton Formula de recurrencia: x (k+1) = x (k) J 1 F (x (k) )F (x (k) ) k = 0, 1,..., donde J F (x) = f 1 f 1 (x)... (x) x 1 x n..... f n f n (x)... (x) x 1 x n