1. Método de bisección

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1 Cálculo Infinitesimal y Numérico. E.T.S. de Ingeniería Informática. Universidad de Sevilla 1 Tema 1: resolución de ecuaciones. Ejercicios y Problemas Nota: Abreviación usual en estos ejercicios: C.D.E. = Cifras Decimales Exactas 1. Método de bisección Ejercicio 1. Se pretende aproximar 3, usando que es una raíz de la ecuación x 2 3 = Obtener un intervalo de longitud 1 que contenga a 3 como única raíz. 2. A partir de dicho intervalo, aproximar dicha raíz ejecutando tres iteraciones del Método de la Bisección: x 1, x 2, y x 3. Obtener, asimismo, los correspondientes errores a priori cometidos en cada iteración. 3. Calcular el número mínimo de iteraciones necesarias con dicho método para aproximar dicha raíz con 14 cifras decimales exactas (C.D.E). Ejercicio 2. Sea f la función tal que para cualquier número x, f(x) = x + 4 sen(2 x). Responder razonadamente a las preguntas que se formulan en los siguientes apartados. 1. Se sabe que una raíz x de f(x) está separada en el intervalo [1,5, 2]. Demostrar que el número mínimo de iteraciones que el Método de la Bisección necesita para garantizar una aproximación a dicha raíz con 59 cifras decimales exactas es Demostrar que al hacer dos iteraciones: x 1, x 2, del Método de Bisección en [1,5, 2] para aproximar dicha raíz x obtenemos que x 2 = 1,875, y además que la raíz está en [x 1, x 2 ]. Ejercicio 3. Usar el algoritmo de Bisección para obtener una aproximación, con error menor que 10 5, a la solución de la ecuación e x + 2 x + 2 cos(x) 6 = 0 en el intervalo [1, 2]. 2. Método de Newton Ejercicio 4. Considérese la función f definida para cualquier número x por: f(x) = 2x 3 x 2 10x + 5. Se pide: 1. Obtener (razonadamente) un intervalo conteniendo a todas las raíces reales de f(x) = La ecuación f(x) = 0 tiene una única solución negativa x que se quiere aproximar por el Método de Newton. Dar un intervalo conteniendo a x, en el cual se verifique la Regla de Fourier, y elegir adecuadamente el punto inicial x Para el intervalo anterior, calcular una cota del error ε n que se comete con el Método de Newton en la iteración n-ésima. 4. A partir del anterior punto inicial x 0, ejecutar dos iteraciones del Método de Newton, y hallar, para cada una de las aproximaciones obtenidas x 1 y x 2, una cota del error de aproximación. Ejercicio 5. Se quiere aproximar el valor de x = 7 127, sabiendo que es una raíz de la ecuación x = Determinar un intervalo de amplitud 1 conteniendo a x = 7 127, y en el cual se verifique la Regla de Fourier. Elegir adecuadamente el punto inicial x 0 para aproximar x por el Método de Newton. 2. A partir de dicho valor x 0, calcular tres aproximaciones: x 1, x 2 y x 3 por el Método de Newton. 3. Acotar el error obtenido con la última aproximación x 3. Según dicha cota del error, Cuántas cifras decimales exactas tiene x 3?

2 Cálculo Infinitesimal y Numérico. E.T.S. de Ingeniería Informática. Universidad de Sevilla 2 4. Cuántas iteraciones como mínimo necesitaríamos con el Método de la Bisección para aproximar la solución con tantas cifras decimales exactas como en el apartado anterior? (utilizar el intervalo obtenido en el apartado 2). Ejercicio 6. Se considera la ecuación 2x ln x = 4. Se pide: 1. Demostrar que la ecuación tiene una única raíz real en el intervalo [ 1 100, 1 10]. 2. Comprobar que en ese intervalo se verifican las hipótesis de la Regla de Fourier, eligiendo el valor inicial adecuado para asegurar la convergencia del Método de Newton. 3. Obtener tres iteraciones del método de Newton con el valor inicial del apartado anterior, calculando una cota del error cometido al aproximar la raíz por la tercera iteración. Cuántas cifras decimales exactas presenta dicha iteración? 4. Cuántas iteraciones como mínimo necesitaríamos con el Método de la Bisección para dar una aproximación con tantas cifras decimales exactas como en el apartado anterior? (utilizar el intervalo del apartado 1). Ejercicio 7. Dada la ecuación 1 sen x = x (ó equivalentemente, sen x + x 1 = 0), se pide: 1. Comprobar que tiene una única raíz real y positiva (se puede razonar gráficamente). 2. Al objeto de aproximar dicha raíz por el Método de Newton, dar un intervalo en el que se verifique la Regla de Fourier, junto con un punto inicial x 0 adecuado. 3. Obtener una cota del error cometido en la iteración n-ésima del Método de Newton. Asimismo, dar la aproximación obtenida con la segunda iteración del método. Ejercicio 8. Se considera la ecuación ln x + 2 x = Demostrar que la ecuación tiene una única solución en el intervalo [3, 6]. 2. Se satisfacen las hipótesis de la Regla de Fourier en dicho intervalo? En caso negativo, determinar un intervalo donde sí se cumplan las hipótesis de la Regla de Fourier. 3. A partir de dicho intervalo, hallar un punto inicial x 0 para el que se tenga asegurada la convergencia de la sucesión de Newton correspondiente, y obtener una aproximación de la solución de la ecuación a partir del segundo elemento x 2 de la sucesión. Ejercicio 9. Dada la ecuación tan(x) cos 2 (x) = 0, se pide: 1. Encontrar un intervalo de amplitud uno y extremos enteros que contenga a la solución de la ecuación más próxima a cero. 2. Realizar dos iteraciones del Método de Newton tomando un punto de partida que asegure la convergencia de dicho método a la solución de la ecuación. 3. Cuántas cifras decimales exactas podemos garantizar con estas dos iteraciones? Ejercicio 10. Sabiendo que tres raíces reales de la ecuación e x sen(x) x 2 = 0 se encuentran en el intervalo [2, 12], se pide: 1. Separar dichas raíces en intervalos de amplitud uno y extremos enteros. 2. Sea x la solución de la ecuación en el intervalo [9, 10]. Encontrar un valor de dicho intervalo en el que se asegure la convergencia del Método de Newton. 3. Realizar dos iteraciones del Método de Newton. 4. Dar una estimación del error obtenido en la aproximación de x. Ejercicio 11. Dada la ecuación e x x 5 1 = 0, se pide:

3 Cálculo Infinitesimal y Numérico. E.T.S. de Ingeniería Informática. Universidad de Sevilla 3 1. Demostrar que tiene tres raíces reales y dar, por cada una de ellas, un intervalo de amplitud 1 2 que las contengan. 2. Sea x la mayor de las tres soluciones a la ecuación. Realizar dos iteraciones del Método de Newton partiendo de un valor en el que se asegure la convergencia hacia dicha solución. 3. Acotar el error de la anterior aproximación. Ejercicio 12. Dada la ecuación e x + x + a = 0, se pide: 1. Determinar para qué valores de la constante a la ecuación posee una única raíz en el intervalo [0, 1]. 2. Para a = 2, dar una cota del error obtenido tras la realización de n iteraciones del Método de bisección. Qué cota se habría obtenido si se hubiera considerado otro valor de a? 3. Obtener un valor x 0 del intervalo [0, 1] que asegure la convergencia del Método de Newton. 4. Realizar dos iteraciones de dicho método partiendo de x 0 y obtener una cota del error cometido. Si se hubiera tomado otro valor diferente de a, necesariamente se habría obtenido el mismo error? Justificar la respuesta. Ejercicio 13. Obtener una aproximación con un error menor que e x + x = 0: de la raíz de la ecuación 1. Por el Método de Bisección. 2. Por el Método de Newton. Ejercicio 14. Dada la ecuación x tan x = 0, se pide: 1. Cuántas soluciones posee la ecuación en el intervalo [0, 2π]? Para cada solución dar un intervalo de amplitud π 4 que la contenga. 2. Sea x la mayor de las soluciones en dicho intervalo. Realizar dos iteraciones del Método de Newton tomando un valor inicial en el que se asegure la convergencia mismo. 3. Dar una cota del error cometido en la anterior aproximación. Ejercicio 15. Dada la ecuación x 3 3x 2 3x 4 = 0, se pide: 1. Demostrar que la ecuación posee una única raíz en el intervalo [ 1, 1]. 2. Comprobar que en dicho intervalo no se verifican las hipótesis de la Regla de Fourier. Obtener un intervalo de amplitud 1 en el que sí se verifiquen dichas hipótesis, así como un valor inicial x 0 que garantice la convergencia del Método de Newton. 3. Obtener dos iteraciones del Método de Newton a partir de x Obtener una cota del error para la anterior aproximación. Ejercicio 16. Sea la ecuación 1 x + cos x = 0. Se sabe que tiene una raíz x > 0, y se quiere aproximar dicha raíz por el Método de Newton. Se pide: 1. Dar un intervalo [a, b] en el que se verifique la regla de Fourier, junto con un punto inicial x 0 adecuado, razonando debidamente la(s) respuesta(s). 2. Obtener una expresión de la cota del error ε n que se comete en la iteración n-ésima cuando se aplica el Método de Newton en el intervalo [a, b] anterior. 3. Partiendo del x 0 anteriormente elegido, calcular la segunda iteración del Método de Newton junto con su respectivo error: x 2, ε 2. Ejercicio 17. Sea la ecuación x 5 3x 2 +1 = 0, de la que se sabe que tiene dos raíces reales estrictamente positivas.

4 Cálculo Infinitesimal y Numérico. E.T.S. de Ingeniería Informática. Universidad de Sevilla 4 1. Se quiere aproximar la mayor de las raíces, a la que denotaremos por x, mediante el Método de Newton. Dar un intervalo [a, b], que contenga a x, en el que se verifique la Regla de Fourier, junto con el punto inicial x 0 adecuado, razonando debidamente la(s) respuesta(s). 2. Obtener una expresión de la cota del error ε n que se comete en la iteración n-ésima cuando se aplica el Método de Newton en el intervalo [a, b] anterior. 3. Partiendo del x 0 anteriormente elegido, calcular las dos primeras iteraciones del Método de Newton con cotas para sus respectivos errores: x 1, ε 1, y x 2, ε 2. Ejercicio 18. Para cualquier número x, sea Q(x) = 1 4 x3 3 4 x x Tiene Q algún cero en el intervalo [ 2, 0]? Se verifica la regla de Fourier en dicho intervalo? En caso negativo, dar un intervalo donde sí se verifique, junto con un punto adecuado de inicio x 0 para el Método de Newton. 2. Existe algún cero de Q, en el intervalo [0, 2]? Se verifica la Regla de Fourier en dicho intervalo? En caso negativo, dar un intervalo donde sí se verifique, así como un punto adecuado de inicio x 0 para el Método de Newton. Aplicar dos veces el Método de Newton y acotar el error cometido en cada iteración. 3. Método del punto fijo y método de Newton. Problema 19 (Resolución de una ecuación. 5 puntos). La proporción áurea es un número, a menudo notado Φ, cuyo cuadrado es Φ + 1. Es, por tanto, una solución de la ecuación x 2 = x + 1, pero también de x = 1 + 1/x. Quiero calcular una buena aproximación de Φ, utilizando solamente operaciones aritméticas (en particular, sin utilizar la función de la calculadora). Me acuerdo que el desarrollo decimal de Φ empieza como 1, Por tanto, Φ está entre 1, 6 y 1, Con el método de Newton. Pongamos, para cualquier x 0, f(x) = x 1 1/x. Por tanto Φ es un cero de f. Tenemos, para cualquier x 0, f (x) = 1 + 1/x 2 y f (x) = 2/x 3. a) Demostrar que f tiene efectivamente un único cero entre 1, 6 y 1, 7. b) Demostrar que el método de Newton, aplicada a la función f, permite aproximar Φ con una precisión arbitraria, cuando se toma como aproximación inicial un extremo x 0 (bien elegido) del intervalo [1, 6; 1, 7] que contiene Φ. Indicar en particular el extremo adecuado x 0. c) Calcular el número de iteraciones necesarias para aproximar Φ con un error garantizado inferior a 0, d) Dar la formula que da cada aproximación x n+1 a partir de la aproximación anterior x n en esta aplicación del método de Newton para f. Realizar los cálculos, con el número de iteraciones calculado al apartado anterior. Sea x la aproximación obtenida de esta manera. e) Acotar ahora el error cometido al aproximar Φ por x (con una cota mejor que la de los apartados anteriores). Comprobar que este error es, finalmente, muy inferior a 0, Método del punto fijo. Otra estrategia para aproximar Φ sería con el método del punto fijo. Para x 0, la ecuación x 2 = x + 1 es equivalente tanto a x = x 2 1 como a x = 1 + 1/x. La figura 1 presenta las gráficas de las funciones f 1 y f 2 definidas por: f 1 (x) = 1 + 1/x y f 2 (x) = x 2 1, y, en cada caso, la recta de ecuación y = x. Determinar para cuál, o cuales, de las funciones f 1 y f 2 el método del punto fijo converge hacia Φ. Se podrá razonar gráficamente, esbozando si es necesario las gráficas de f 1 y f 2 en las copias de examen, o añadir explicaciones en las mismas gráficas. 4. Polinomio de Taylor

5 Cálculo Infinitesimal y Numérico. E.T.S. de Ingeniería Informática. Universidad de Sevilla 5 f 1 f 2 Figura 1: Gráficas de las funciones f 1 y f 2, con la recta de ecuación y = x (problema 19).