Despejando, se tienen las siguientes ecuaciones de la forma : a) b)

Transcripción

1 MAT 115 B EJERCICIOS RESUELTOS 1. De la siguiente ecuación: Despejando, se tienen las siguientes ecuaciones de la forma : a) b) Calcule la raíz por el método de punto fijo, tomando en cuenta el criterio inicial, en ambos casos, determinar cual ecuación converge a una raíz de. el valor a) De la ecuación: se obtiene la derivada: Utilizando el valor inicial, se tienen los siguientes valores: Como el error aun es relativamente grande se tendrá que realizar otra iteración. El resultado del criterio de convergencia está mu cercano a 1 por lo que se puede decir que el método converge a un resultado pero que por el momento será lentamente. Pagina 1

2 3ra. Iteración Los valores de las próimas iteraciones se muestran en la siguiente tabla: i i g ( i) i - i-1 1, : La raíz de la ecuación es la siguiente: 1 2, ,7682 1, ,9552 1,993, ,356,99143, ,36214,98613, ,382,9846, ,38546,98416, ,38699,9843, ,38744,98399,44 9 3,38757,98398, b) De la ecuación: se obtiene la derivada: Utilizando el valor inicial, se tienen los siguientes valores: Como el error aun es grande se tendrá que realizar otra iteración. Pagina 2

3 El resultado del criterio de convergencia es mucho más pequeño a 1 por lo que se podría decir que el método converge mu rápido, pero se tendrá que ver otra iteración. : El criterio de convergencia lo que se dirá que:, es mu grande el error aumento desde la anterior iteración por El método no converge con la ecuación, el valor inicial por lo que no se podrá obtener un resultado satisfactorio 2. La función: Tiene una cantidad infinita de raíces, graficando en el intervalo [-5,6] se tiene: a) Se quiere emplear el método de la bisección para encontrar una solución aproimada de la primera raíz de la ecuación, en el intervalo [.1,.5], con una eactitud de 1-2. b) Aproimar mediante el método de Newton-Raphson la raíz de, tomando como valor inicial, con una eactitud de 1-5. a) Resolviendo por el método de bisección, primero se grafica la función en el intervalo: Pagina 3

4 .2 Raíz Evaluando la función en los dos puntos se tiene: ( menor a ) ( maor a ) Se observa que en el intervalo eiste una raíz de la función, cuando un punto es menor que cero el otro es maor que cero, por lo que puede proceder a resolver la ecuación por el método de bisección: En primer lugar se divide el intervalo a la mitad se obtiene un nuevo valor:.2 Raíz Nuevo intervalo -1 Evaluando la función en este punto: ( menor a ) Este valor también se considera para determinar la eactitud en este método: Pagina 4

5 Como este valor es maor a la eactitud requerida de 1-2, se deberá continuar con un nuevo intervalo en otra iteración. Comparando con los valores de los etremos: Se obtiene el nuevo intervalo, con el punto medio el punto eterno que tenga el signo opuesto. Con lo que el nuevo intervalo será:, (es reemplazado con el nuevo valor) (se mantiene) ( menor a ) El nuevo intervalo es:, (es reemplazado con el nuevo valor) (se mantiene).2 Raíz Nuevo intervalo -1 Las siguientes iteraciones se muestran en la siguiente tabla: Pagina 5

6 i error , ,59673,22314, ,3,4,5 -, ,2291, ,4,45,5 -,2291 -,115, ,45,475,5 -,115,1396, ,45,4625,475 -,115,4573,1396,4573 6,45,45625,4625 -,115,1698,4573,1698 7,45,453125, ,115,271, Luego de siete iteraciones se obtiene una raíz con una eactitud menor al valor requerido: b) Resolviendo por el método de Newton-Raphson, se utiliza la siguiente formula: Donde: Con el valor inicial dado 6, se reemplaza en la ecuación: 3ra. Iteración Pagina 6

7 4ta. Iteración Luego de realizar cuatro iteraciones se tiene el siguiente resultado: 3. Resuelva las siguientes ecuaciones: a) Determine la raíz real máima de Como la ecuación es de tercer grado, luego pueden eistir 3 raíces reales o complejas, graficando la función se puede ver que las 3 raíces son reales, que la raíz con valor máimo esta cerca a Raíz real máima Otras raíces Se resolverá utilizando el método de Newton-Raphson, con el valor inicial un error admisible de 1-4, por lo que se utilizarán 5 decimales.. Tomando en cuenta Donde: 3.5 Pagina 7

8 3ra. Iteración Luego de realizar cuatro iteraciones se tiene el siguiente resultado: b) Determine la raíz positiva mínima de Graficando la función se puede ver que eisten dos raíces positivas, la raíz mínima esta mu cerca al origen, por lo que se tomará como valor inicial. 1-1 Raíz positiva máima Raíz positiva mínima Resolviendo por el método de Newton-Raphson, con el valor inicial error admisible de 1-5, Por lo que se utilizaran 6 decimales., tomando en cuenta un Donde: Pagina 8

9 3ra. Iteración 4ta. Iteración Luego de realizar cuatro iteraciones se tiene el siguiente resultado: 4. Resuelva las siguientes ecuaciones: a), por el método de la secante. Graficando la función: 1 Raíz Pagina 9

10 Resolviendo por el método de la secante, se necesitan dos valores iniciales, pero a diferencia del método de bisección estos puntos no tienen que estar alrededor de la raíz, sino que tienen que estar próimos, como en el método de Newton-Raphson. Se utilizarán los siguientes valores iniciales:,. Tomando en cuenta un error admisible de 1-5. La formula que se utilizará en este método es:, 3ra. Iteración Luego de realizar tres iteraciones al evaluar la función en lo que se tomará como resultado eacto:, se tiene un valor igual a cero, por b), por el método de la falsa posición Resolviendo por el método de Falsa Posición, se necesitan dos puntos alrededor de la raíz de la función. En este caso utilizaremos. Tomando en cuenta un error admisible de 1-5. Graficando la función: Pagina 1

11 1 Raíz La formula que se utiliza en este método es:, Como el error es maor que el criterio de eactitud de 1-5, se continúa con un nuevo intervalo, de la misma forma que el método de bisección: Se reemplaza por el valor de., Se reemplaza por el valor de. Las siguientes iteraciones se muestran en la siguiente tabla: i error 1,5,7, ,6644,91947,2923,2923 2,5,673667, ,6644,2923,4642,4642 Pagina 11

12 3,5,667875,6666 -,6644,4642,124,124 4,5,6666, ,6644,124,226,226 5,5,666319, ,6644,226,5,5 6,5,666257, ,6644,5,11,11 7,5,666243, ,6644,11,2,2 Luego de siete iteraciones se obtiene una raíz con una eactitud menor al valor requerido: c), por el método de Newton Raphson. Resolviendo por el método de Newton-Raphson, se utiliza la siguiente ecuación: Donde: Graficando la función. 2 Raíz Se utilizará como valor inicial. Con un error admisible de 1-5. Pagina 12

13 3ra. Iteración 4ta. Iteración Luego de realizar cuatro iteraciones se tiene el siguiente resultado: 5. Resuelva la siguiente ecuación, utilizando cualquier método: Encuentre el valor de, si se tiene que:, un valor de. Reemplazando la lo valores de Re de n en la función, se tiene: Realizando un cambio de variable:, además, reemplazando: Lo que nos da la siguiente función: Pagina 13

14 Resolviendo por el método de punto fijo, a que el término a esta despejado en la ecuación, por lo que se tiene la siguiente formula: Para determinar el criterio de convergencia se debe hallar la derivada de la función : Graficando las funciones, donde la raíz en este método esta en el punto de intersección entre, además de graficar la derivada de para determinar la convergencia (se puede ver que cerca de la raíz la gráfica tiene un valor menor a 1): -4 Raíz De la gráfica se puede tomar como valor inicial error admisible 1-6., para hallar un resultado se tomará como ra. Iteración Pagina 14

15 Los valores de las próimas iteraciones se muestran en la siguiente tabla: i i g ( i) i - i-1 2, 1 2,56838,138153, ,49655,134337, ,517,134845, ,499666,134776, ,499856,134784, ,49983, ,499834, ,499833, Luego el valor es igual a: Volviendo a la variable original: Pagina 15