Introducción a los Métodos Numéricos

Transcripción

1 Introducción a los Métodos Numéricos Definición Redactado por: Alejandra Mariel Reyes Salazar Los métodos numéricos son técnicas de análisis mediante las cuales es posible formular problemas de tal manera que se puedan resolver utilizando operaciones aritméticas. Las técnicas más utilizadas son usadas para resolver: Ajuste de curvas Sistemas de ecuaciones lineales Ecuaciones no lineales Integración Ecuaciones diferenciales (ordinarias y parciales Ecuaciones no lineales Son funciones que no cumplen con los criterios de linealidad: Si su argumento es la suma de dos elementos, entonces deberá ser lo mismo que la suma de la función con cada elemento (abrir sumas T( + y = T( + T(y Si algún elemento de su argumento está siendo multiplicado por alguna constante arbitraria, entonces deberá ser lo mismo que la constante arbitraria multiplique a la función con el elemento como argumento (sacar escalares T(k = kt( Polinomios, funciones radical, logarítmicas, eponenciales, trigonométricas, trigonométricas inversas e hiperbólicas, son algunos ejemplos de ecuaciones no lineales. Las soluciones de este tipo de ecuaciones se les llaman raíces. Para resolver este tipo de ecuaciones, eisten varios métodos numéricos que se pueden clasificar de la siguiente manera. Cerrados o acotados: (Requieren de dos valores de que encierren a la raíz Abiertos: (Requieren de un valor de o dos pero que no necesariamente encierren a la raíz Bisección Falsa posición ( Regula falsi Punto fijo ( Ping pong Newton-Raphson Secante Müller En los ámbitos de la ciencia y la ingeniería es común encontrarse con problemas en los que se requiera resolver ecuaciones no lineales que no se pueden resolver analíticamente o que resulta muy difícil. Para estos casos, es recomendable utilizar algún método numérico. En este documento nos enfocaremos eclusivamente al método de Newton-Raphson.

2 Método de Newton Raphson Método de Newton-Raphson Es uno de los métodos más usados en la ingeniería por llegar al resultado del problema planteado de forma muy rápida. Se basa en trazar rectas tangentes que toman la forma de la función por medio de su primera derivada. Supóngase una función f ( a la que se desea calcular su raíz. Evaluando un valor cercano a la raíz en la función y trazando una recta tangente al punto, f( se obtiene un nuevo valor que es mucho más cercano a la raíz que. y f ( f ( Raíz f ( Para encontrar el valor de, se tomará la ecuación de la recta, f ( f ( = m( Incógnita Se supone que f ( sea igual a 0 para que sea una raíz de f ( f ( = m( Pero en el punto, f ( la pendiente m puede tomarse como f ( por ser la mejor aproimación a la pendiente en dicho punto. f ( = f '( ( f ( = f '( Y despejando. = f ( f '(

3 Método de Newton Raphson Si buscamos una mejor aproimación a la raíz utilizando este nuevo valor = f ( f '( Si nuevamente se busca otra aproimación que es cada vez más cercana a la raíz, 4 = f ( f '( Entonces podemos generalizar la ecuación de la siguiente manera, que es la ecuación de Newton-Raphson. Inconvenientes Qué pasa en un punto crítico? f ( = Z k k+ k k f '( k + y f ( = 0 f ( f ( = 0 Raíz Se sabe por cálculo diferencial que un punto crítico es aquel valor de que hace que la primera derivada de una función sea 0 (f ( = 0. = f f '( ( = f ( 0 El método de Newton-Raphson se indetermina en los puntos críticos por haber una división por cero. En un punto crítico, este método es ineficaz porque la recta tangente nunca cruza el eje de las abscisas y no se obtiene un nuevo valor de.

4 Método de Newton Raphson Si al resolver una ecuación, llegamos a un punto crítico, o que la primera derivada de la función f ( se aproime a cero, se sugiere intentar un nuevo valor mayor o menor (sumando o restando una unidad o intentar un valor cercano a la raíz. El método de Newton-Raphson además, resulta poco conveniente cuando se tenga una función f ( cuya primera derivada sea muy complicada obtener. Otro inconveniente, es cuando se resuelva una función con raíces reales repetidas, como la siguiente: y f ( = 5 En las raíces que son repetidas, dicha raíz puede ser también un punto crítico o un punto de infleión, donde el método de Newton-Raphson es ineficaz. Como se puede notar en el gráfico anterior, la raíz también es un punto de infleión. Naturalmente, este método funciona para obtener las raíces reales de las funciones, más no raíces complejas. Las raíces complejas nunca cruzan el eje de las abscisas y su comportamiento en las funciones produce puntos críticos o puntos de infleión en dichas funciones. Cuando se tenga una función que presente alguno de estos inconvenientes descritos, se sugiere emplear otro método numérico, como Secante o Müller. Algoritmo para encontrar raíces. Tomar una primera aproimación ( * cercana a la raíz. Si puede, haga un bosquejo de f(. Esto es para evitar los puntos críticos y resolver más rápido el problema.. Obtenga la primera derivada de la función (f (.. Evalúe en la función f( y en la primera derivada f (. 4. Sustituya los valores de, f(, f ( en la ecuación de Newton-Raphson para encontrar una nueva aproimación. f ( = f '( *En muchos libros de Métodos Numéricos en lugar de utilizan la notación 0 como la primera aproimación a la raíz, siendo eactamente lo mismo en este teto. 4

5 5. Si se aproima a en las cifras decimales o tolerancia deseadas, entonces tomar como el valor de la raíz. Si no, volver a aplicar los pasos, 4 y 5 usando ahora el valor de y encontrar una nueva aproimación, hasta que se llegue a un resultado con la tolerancia deseada. A cada una de las repeticiones del algoritmo se le llama Iteración. Algunos ejemplos Los métodos numéricos se caracterizan porque tener algo en común: se tienen que realizar muchos cálculos aritméticos para resolver problemas haciendo tedioso el aplicarlos. En este documento se utilizó una hoja de cálculo de MS Ecel para hacer los cálculos y encontrar las raíces de las ecuaciones propuestas. Es recomendable que al aplicar algún método numérico se utilice alguna hoja de cálculo, un programa o paquete de programación (como Matlab o Scilab, o utilizar una calculadora. a Aproime el valor de hasta 5 decimales. Utilice = La incógnita es el valor positivo de la raíz cuadrada de. Por tanto se puede epresar como = Elevando al cuadrado, se tiene que = Por lo que es igual esto a, f ( = = 0 Derivando con respecto a, f ( = Para comenzar los cálculos, se debe empezar con un valor inicial de, que es para obtener la nueva aproimación a la raíz. Con un bosquejo de la gráfica de la función, se puede ver claramente que la raíz positiva está entre el y el. y f ( = - 5

6 Utilizando el valor de propuesto por el problema, en la siguiente tabla se muestran las iteraciones que fueron realizadas, con sus respectivos valores de f ( y de f ( calculados. Aproimación Iteración Iteración Iteración Iteración 4 Iteración f ( E E- 0 f ' ( El problema pide aproimar el valor de la hasta 5 decimales, refiriéndose a que 5 decimales sean constantes. En la iteración 4 se llega a las cifras decimales que requiere el problema, por lo que se toma ese valor (.44 como la solución del problema. Se puede comprobar que este valor es muy aproimado al que se obtiene en una calculadora. b Obtenga la raíz real del siguiente polinomio: = 0. Considere una tolerancia de 0-5 En la mayoría de los problemas de libro el valor de ya se nos proporciona. Pero en este problema no se nos da el valor de. Sin embargo, el valor de se puede obtener fácilmente evaluando en el polinomio varios valores de usando divisiones sintéticas. Las divisiones sintéticas realizadas evaluando =, =, = se muestran a continuación: Se nota claramente que hay un cambio de signo (de negativo a positivo entre los valores y, por lo que entre estos dos valores hay una raíz. Cualquiera de los dos valores puede ser. Se escogió como. La función y su respectiva primera derivada, son las siguientes: f ( = 4 f '( = = 0 Una tolerancia de 0-5 implica que 5 decimales sean precisos, en otras palabras, que no cambien dichas cifras decimales entre una iteración y otra. Las iteraciones que se realizaron con sus respectivos resultados de, f ( y f ( se muestran en la tabla siguiente: Aproimación Iteración Iteración Iteración Iteración 4 Iteración f ( E E-4 f ' ( En la iteración 5 se satisface la tolerancia requerida por el problema. Y se obtiene que la raíz real del polinomio es =.495 6

7 c Encuentre el valor de n que satisfaga la siguiente ecuación: n 4 n = 9 Para resolver este problema por el método de Newton-Raphson se puede aplicar directamente con la función tal y como está, pero el obtener su primera derivada sería más complicado. Para facilitar los cálculos se toman logaritmos de ambas partes de la ecuación, n ( n 4 ln9 ln = Aplicando propiedades de los logaritmos, ln( n +n ln 4 = ln9 Por lo que se puede epresar como una función de la variable n, que es mucho más sencilla de derivar que la ecuación original. ( ln 4 ln9 0 f ( n = ln( n + n = Derivando con respecto a n, f '( n = + ln 4 n Para empezar el cálculo de la nueva aproimación, se restringirá el uso de n = 0 porque la función logaritmo no está definida para este valor de n. Y se tomará n = por ser un valor pequeño y sencillo de calcular en la función y en su derivada. Las iteraciones realizadas con sus respectivos resultados se muestran en la tabla siguiente: Aproimación Iteración Iteración Iteración Iteración 4 Iteración 5 n f (n E E-4 0 f ' (n Sustituyendo n = en la ecuación original n 4 n = 9, se comprueba que satisface la ecuación y por tanto, es la raíz de la ecuación. Aplicación a termodinámica: Ecuación de estado de Van der Waals para gases reales. La ecuación de estado para gases ideales es muy bien conocida para cualquier estudiante o profesionista de Química o carreras afines. donde p = Presión v = Volumen molar R = Constante universal de los gases T = Temperatura pv = RT 7

8 Siendo el volumen molar: V v = n V = Volumen del gas n = Cantidad de sustancia (mol El modelo del gas ideal es el más sencillo de los que se utilizan en Fisicoquímica ya que considera a las moléculas de los gases como partículas puntuales, que no tienen volumen y que no interactúan entre ellas. Naturalmente, las moléculas de los gases sí ocupan un volumen determinado y sí eisten interacciones (sea de atracción o repulsión entre ellas. Por tanto, las propiedades de estado (presión, temperatura, volumen que se calculen usando este modelo, no son las que realmente tiene el sistema. En el siglo XIX, Johannes Van der Waals propuso un nuevo modelo para gases reales haciendo una corrección al modelo del gas ideal considerando las interacciones entre las moléculas y el volumen que ocupa cada una de ellas. Van der Waals agrega parámetros adicionales que la diferencian de la ecuación de estado para gases ideales, que son a y b. donde RT a p = v b v Ecuación de estado de Van der Waals para gases reales p = Presión v = Volumen molar R = Constante universal de los gases T = Temperatura a = Parámetro de corrección para las fuerzas de atracción entre las moléculas b = Parámetro de corrección para el volumen propio de las moléculas A partir de esta ecuación propuesta por Van der Waals, surgieron muchas otras ecuaciones de estado cúbicas similares que describen mejor el comportamiento de los gases y que son las que se usan actualmente en la ingeniería (Peng-Robinson, Redlich-Kwong-Soave, etc.. Por qué cúbicas? Desarrollemos la resta de fracciones. RT a p = v b v RTv a( v b p = ( v ( v b pv ( v b = RTv pv pv pbv RTv ( pb + RT v a( v b + av ab + av ab La ecuación que resulta es una función del volumen molar. Por tanto, se puede epresar: 8

9 f ( v = pv ( pb + RT v + av ab = 0 Que es un polinomio de tercer grado (o cúbico respecto al volumen molar. Los coeficientes que acompañan a la variable v son siempre positivos, a ecepción de aquellos que les anteceda un signo negativo. Esto se justifica porque la presión, temperatura y las constantes (tanto R como los parámetros de Van der Waals son siempre positivas. Analizando la función, se notan saltos ( cambios en los signos de los coeficientes de f(v, por lo que hay posibles raíces reales positivas. En f (-v, no hay ningún cambio de signo en los coeficientes, por lo que no hay raíces reales negativas. Si completamos el cuadro de signos de Descartes, se obtienen estas posibilidades: R C Con el cuadro de signos ya completo, podemos afirmar que el primer renglón de la tabla no tiene sentido físico ( Puede un gas ocupar tres volúmenes diferentes a condiciones dadas de presión y temperatura?, dejando al segundo renglón como la única posibilidad con sentido físico: Sólo una raíz real positiva y dos raíces complejas. Cómo calculamos el volumen molar de algún gas a ciertas condiciones de presión y temperatura? El polinomio de tercer grado respecto al volumen molar se puede resolver usando un método analítico (método de Tartaglia-Cardano, pero resulta demasiado tedioso y poco práctico aplicarlo. En cambio, un método numérico es la opción más viable para encontrar la única raíz real. En este documento se usará el método de Newton-Raphson. Algoritmo para resolver la ecuación del volumen molar de Van der Waals. Obtener la primera aproimación v usando la ecuación de estado del gas ideal. RT v = p. Sustituir los valores que se tienen como dato (presión, temperatura y las constantes a, b y R en el polinomio cúbico. Esto es para facilitar los cálculos aritméticos.. Derivar el polinomio construido en el paso con respecto al volumen molar. 4. Evaluar v en f (v y en f (v 5. Sustituir v, f (v y f (v en la ecuación de Newton-Raphson para encontrar una nueva aproimación al volumen real. v k+ = v k f ( vk f '( v k 9

10 6. Si v k+ se aproima a v k en las cifras decimales o tolerancia deseadas, entonces tomar v k+ como el valor de la raíz. Si no, iterar nuevamente ahora utilizando el valor de v k+, hasta que se llegue a un resultado con la tolerancia deseada. Ejemplo Utilizando la ecuación de estado para gases reales de Van der Waals, calcule el volumen molar (v que ocuparía n-butano en las condiciones siguientes. El valor deberá tener una tolerancia de 0-6. p (atm = T (K = 400 R (L atm/mol K = 0.08 Constantes de Van der Waals: a (L atm/mol =.6844 b (L/mol = 0.69 La función del volumen y su respectiva primera derivada, después de sustituir los valores de p, T, a, b y R en ellas, son: f ( v = pv f ( v = v ( pb + RT v v + av ab = v = 0 f '( v = pv f '( v = 6v ( pb + RT v + a 68.96v La tabla siguiente muestra los valores obtenidos en cada iteración. Gas ideal Iteración Iteración Iteración Iteración 4 Iteración 5 v f (v f '(v Por lo que el volumen molar del n-butano a dichas condiciones es v =.9709 L/mol 0