Métodos Matemáticos I

Transcripción

1 E. de Ingenierías Industriales Métodos Matemáticos I Jesús Rojo

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3 1 Los métodos implícitos 2 3

4 Los métodos implícitos En lugar del método de Runge-Kutta explícito de 3 etapas k 1 = f (x n, y n ) k 2 = f (x n + c 2 h, y n + a 2,1 h k 1 ) k 3 = f (x n + c 3 h, y n + a 3,1 h k 1 + a 3,2 h k 2 ) y n+1 = y n + h (b 1 k 1 + b 2 k 2 + b 3 k 3 ), cuyo tablero de Butcher era 0 c 2 a 21 c 3 a 31 a 32 b 1 b 2 b 3 vamos a considerar ahora uno de igual número de etapas pero de la forma

5 k 1 = f (x n + c 1 h, y n + a 1,1 h k 1 + a 1,2 h k 2 + a 1,3 h k 3 ) k 2 = f (x n + c 2 h, y n + a 2,1 h k 1 + a 2,2 h k 2 + a 2,3 h k 3 ) k 3 = f (x n + c 3 h, y n + a 3,1 h k 1 + a 3,2 h k 2 + a 3,3 h k 3 ) y n+1 = y n + h (b 1 k 1 + b 2 k 2 + b 3 k 3 ), cuyo tablero de Butcher es ahora c 1 a 11 a 12 a 13 c 2 a 21 a 22 a 23 c 3 a 31 a 32 a 33 b 1 b 2 b 3 Es obvio que la programación de tal método no se puede hace mediante asignaciones directas, como en los métodos explícitos, sino resolviendo de alguna manera las ecuaciones de k 1, k 2 y k 3

6 en las que las etapas k i aparecen no sólo a la izquierda del signo =, sino también a su derecha e incluidos en las variables de una función f que en nuestro estudio no es ni fácil ni complicada sino sólo una simple letra. En otras palabras; los valores de las etapas k 1, k 2... que antes se obtenían de forma (matemáticamente) exacta mediante asignaciones, ahora sólo se pueden obtener en principio de manera aproximada y eso a base de muchas evaluaciones de f. Lo más usual es proceder con la llamada iteración de punto fijo para el cálculo de aproximaciones de las etapas k 1, k 2... Consiste en darse valores arbitrarios de k 1, k 2 y k 3 (en el caso de tres etapas), valores que llamaremos k 1,0, k 2,0 y k 3,0, y proceder a refinar sucesivamente estos valores mediante la repetida iteración de k 1,i+1 = f (x n + c 1 h, y n + a 1,1 h k 1,i + a 1,2 h k 2,i + a 1,3 h k 3,i ) k 2,i+1 = f (x n + c 2 h, y n + a 2,1 h k 1,i + a 2,2 h k 2,i + a 2,3 h k 3,i ) k 3,i+1 = f (x n + c 3 h, y n + a 3,1 h k 1,i + a 3,2 h k 2,i + a 3,3 h k 3,i )

7 Naturalmente, elegir estos valores arbitrarios cercanos a los verdaderos, aunque desconocidos, k 1, k 2 y k 3, hace que obtengamos buenas aproximaciones con muy pocas iteraciones. Se procura generalmente que la cercanía valores iniciales - valores verdaderos sea grande para que una sola iteración sea suficiente (otra cosa aumentaría de manera desproporcionada el número de evaluaciones de f ). Cada uno de los métodos que veremos posee una o varias formas de encontrar valores iniciales convenientes de las etapas, lo que permite entonces que se conviertan en métodos realmente utilizables. Algunos ejemplos nos llevaran enseguida a tener práctica en esta organización.

8 Pero, por qué acudir a estos métodos de puesta en práctica tan compleja cuando disponemos de métodos sencillos de implementar (explícitos) de orden tan alto como queramos? Algo más adelante veremos que hay un cierto tipo de ecuaciones, que designaremos con el calificativo de stiff o de rígidas, que son bastante usuales y que se integran muy mal con cualquier método explícito de Runge-Kutta. Lo que no ocurre con los métodos implícitos que, pese a su mayor inconveniente de programación, tienen un comportamiento idóneo con este tipo de ecuaciones. El tema de la estabilidad lineal nos aclarará este comportamiento, justificando la molestia que ahora nos tomamos. Comenzamos por definir de forma más general estos métodos implícitos, que hasta ahora hemos expuesto sólo para 3 etapas.

9 Pero de manera más general, un Un método de Runge-Kutta implícito o no necesariamente explícito de q etapas tiene etapas dadas por k 1 = f (x n + c 1 h, y n + a 1,1 h k 1 + a 1,2 h k a 1,q 1 h k q 1 + a 1,q h k q ) k 2 = f (x n + c 2 h, y n + a 2,1 h k 1 + a 2,2 h k a 2,q 1 h k q 1 + a 2,q h k q ) k 3 = f (x n + c 3 h, y n + a 3,1 h k 1 + a 3,2 h k a 3,q 1 h k q 1 + a 3,q h k q )... k q = f (x n + c q h, y n + a q,1 h k 1 + a q,2 h k a q,q 1 h k q 1 + a q,q h k q ) con los k 1, k 2... dados por ecuaciones implícitas, y luego obtiene el valor de y n+1 como y n+1 = y n + h (b 1 k 1 + b 2 k b q k q ). Por lo tanto se resume mediante el Tablero de Butcher

10 c 1 a 11 a 12 a 13 a 1 q 1 a 1 q c 2 a 21 a 22 a 23 a 2 q 1 a 2 q c 3 a 31 a 32 a 33 a 3 q 1 a 3 q c q 1 a q 1 1 a q 1 2 a q 1 3 a q 1 q 1 a q 1 q c q a q 1 a q 2 a q 3 a q q 1 a q q b 1 b 2 b 3 b q 1 b q

11 La regularidad de la organización de estos métodos hace que sea mucho más sencilla la caracterización del orden que se puede alcanzar con un número dado de etapas.así el resultado que tenemos es ahora: Los métodos de Runge-Kutta implícitos de q etapas alcanzan, de una sola manera, el orden máximo 2 q. El único método de q etapas que alcanza este orden de 2 q recibe el nombre de método de Gauss de q etapas. El nombre se debe a que las abscisas c 1, c 2,... que emplean estos métodos son las mismas que se usan en la integración (óptima para el orden de exactitud) de Gauss.

12 En la búsqueda del orden de los métodos implícitos que, de momento, estudiamos en el caso escalar, sirven las técnicas que ya hemos usado con los explícitos. Ahora sigue siendo igualmente válido poner uno de estos métodos como y describir Φ(h) como y n+1 = y n + h Φ(x n, y n, h), Φ(h) = b 1 k 1 (h) + b 2 k 2 (h) + + b q k q (h), haciendo notar que ahora k 1 (h) depende efectivamente de h. Las condiciones de orden se obtienen también sencillamente de las igualdades Φ p 1) (0) = 1 p f (p 1) donde Φ p) (0) se prepara mediante el cálculo de los valores k p) 1 (0), k p) 2 (0)...

13 Es fácil observar que, en el cálculo de k p) i (h) se encuentra el propio valor de k p) i (h) en alguna parte a la derecha de k p) i (h) =. No obstante, se encuentra multiplicado siempre por h, por lo que al calcular k p) i (0), que el lo que finalmente interesa, dicho término desaparece y el valor de k p) i (0) se asigna directamente sin resolver ninguna ecuación. Otra advertencia especial es que ahora no es ninguno de los puntos (1) (x n + c 1 h, y n + a 1,1 h k 1 + a 1,2 h k a 1,q h k q ), (2) (x n + c 2 h, y n + a 2,1 h k 1 + a 2,2 h k a 2,q h k q ), (3) el más repetido. Ahora lo es el punto (x n, y n ), que denotaremos por (0) (x n, y n ) y que omitiremos en general en las expresiones para mayor brevedad.

14 Métodos implícitos de 1 etapa Ahora los métodos (implícitos) de una etapa tienen tablero c 1 a 11 y tres parámetros a determinar. Se escriben y se tiene b 1 k 1 = f (x n + c 1 h, y n + a 1,1 h k 1 ) y n+1 = y n + h b 1 k 1, Φ(h) = b 1 k 1 (h). Usaremos las formas de acortar para los puntos (0) para (x n y n ), y (1) para (x n + c 1 h, y n + a 1,1 h k 1 ).

15 k 1 (h) = f (1), y (1) se transforma en (0), que no escribimos, cuando h = 0, luego k 1 (0) = f y Φ(0) = b 1 f. Como f (0) = f, la única posibilidad (para f genérica) de que Φ(0) = f (0) es que b 1 = 1 aunque ahora esto deja dos parámetros libres c 1 y a 1,1, lo que permite ir a buscar mayor orden. k 1(h) = c 1 f x (1) + f y (1)[ a 1,1 k 1 + a 1,1 h k 1 ] ; denotaremos por [ ] la cantidad [ ] = [ a 1,1 k 1 + a 1,1 h k 1 ] para futuras operaciones. Teniendo en cuenta que resultan [ ] h=0 = a 1,1 f, k 1(0) = c 1 f x + a 1,1 f f y y Φ (0) = b 1 c 1 f x + b 1 a 1,1 f f y.

16 Recordando que 1 2 f (1) = 1 2 f x f f y, el orden 2 necesita la ecuación ya establecida y, además, Esto deja b 1 c 1 = 1/2 b 1 a 1,1 = 1/ como único método de 1 etapa y orden 2: el método de Gauss de 1 etapa. Recordando la afirmación que hicimos sobre el orden alcanzable, no es necesario buscar orden más alto para este método

17 La puesta en práctica de este método k 1 = f (x n h, y n h k 1) y n+1 = y n + h k 1, se apoya en las etapas explícitas del método del punto medio ˆk 1 = f (x n, y n ), ˆk 2 = f (x n h, y n h ˆk 1 ), método de orden 2, porque es natural tomar ˆk 2 como buena aproximación k 1,0 de k 1 (evaluación de f para la misma primera variable y una segunda de estructura análoga). Cuando así se hace, se efectúa una sola iteración de punto fijo para mejorar k 1,0. O sea, la secuencia de operaciones queda como

18 ˆk 1 = f (x n, y n ), k 1,0 = f (x n h, y n h ˆk 1 ), k 1 = f (x n h, y n h k 1,0), y n+1 = y n + h k 1, realizando un conjunto de 3 evaluaciones de f por paso para el cálculo efectivo (y sólo aproximado) de la única etapa del método. Que la solución de este método (y de hecho de todos los implícitos) sea sólo aproximada puede tener consecuencias sobre sobre el orden alcanzado y sobre el comportamiento cara a las ecuaciones stiff de las que hablaremos más adelante. Si por el momento nos referimos al orden, y teniendo en cuenta que el procedimiento de arranque (aproximación de alguna de las k i ) se hace con un método explícito, es importante que el orden del método empleado no sea inferior al del método implícito.

19 No obstante, no es el orden la única cualidad que buscamos, ya que nos interesamos también por el comportamiento de cara a las ecuaciones rígidas. Se emplea mucho para 1 sola etapa el llamado método de Euler implícito, con tablero 1 1 y que sólo posee orden 1. Como es k 1 = f (x n + h, y n + h k 1 ) 1 y n+1 = y n + h k 1, a veces se le escribe en la forma más simple y equivalente y n+1 = y n + h f (x n+1, y n+1 ), donde ahora el carácter implícito se traslada al cálculo de y n+1.

20 De manera análoga a lo hecho antes, la puesta en práctica de este método se apoya en las etapas explícitas del método modificado de Euler ˆk 1 = f (x n, y n ), ˆk 2 = f (x n + h, y n + h ˆk 1 ), tomando ˆk 2 como buena aproximación k 1,0 de k 1, y dejando el método en forma práctica como ˆk 1 = f (x n, y n ), k 1,0 = f (x n + h, y n + h ˆk 1 ), k 1 = f (x n + h, y n + h k 1,0 ), y n+1 = y n + h k 1, con 3 evaluaciones de f por paso para el cálculo efectivo de la única etapa del método implícito de Euler.

21 Métodos implícitos de 2 etapas En primer lugar presentamos el método de Gauss de 2 etapas, con orden 4, dejando su deducción (algo pesada) para algún ejercicio. Sus coeficientes son menos sencillos e irracionales. Tiene por tablero y es el único de 2 etapas con ese orden. c y c son las abscisas para la integración de Gauss en [0, 1] con 2 abscisas. 1 2

22 Pero, para 2 etapas, uno de los más usados es el llamado método trapezoidal, que sólo alcanza orden 2. Se le denomina también Lobatto IIIa, como miembro de una familia de métodos emparentados con los de integración numérica de Lobatto. Sólo es implícito en la segunda etapa k 2. Su tablero es /2 1/2 y se escribe 1/2 1/2 k 1 = f (x n y n ) k 2 = f (x n + h, y n h k h k 2) y n+1 = y n + h ( 1 2 k k 2).

23 De nuevo el método modificado de Euler ˆk 1 = f (x n, y n ), ˆk 2 = f (x n + h, y n + h ˆk 1 ), ŷ n+1 = y n + h ( 1 ˆk ˆk 2 2 ). tiene etapas que nos permiten lanzar el método trapezoidal. Es posible tomar k 2,0 = f (x n+1, ŷ n+1 ) como buena aproximación de k 2, realizando entonces una sola mejora de k 2 y dejando el método en forma práctica como k 1 = ˆk 1 = f (x n, y n ), ˆk 2 = f (x n + h, y n + h ˆk 1 ), ŷ n+1 = y n + h ( 1 ˆk ˆk 2 2 ), k 2,0 = f (x n+1, ŷ n+1 ), k 2 = f (x n + h, y n h k h k 2,0 ), y n+1 = y n + h ( 1 2 k k 2). con 4 evaluaciones de f por paso para el cálculo efectivo de las dos etapas implícitas.

24 Estos procedimientos de arranque para los métodos implícitos empleando métodos explícitos marchan bien cuando se integra un problema normal (no especialmente rígido). Sin embargo, su uso con problemas cuyo carácter stiff sea muy fuerte lleva a comportamientos similares a los de los métodos explícitos, que es justamente lo que se pretendía evitar con los implícitos. En estos casos, la única solución consiste en iterar realmente (y no una sola vez) con algún método de convergencia rápida, ya que el número de evaluaciones es una dificultad importante. Así se usa, por ejemplo el método de Newton o el método modificado de Newton y, en ocasiones, aún estos métodos tardan en llegar a una convergencia adecuada. Y es que, finalmente, los problemas de integración difícil no admiten recetas generales y requieren correcciones heurísticas hasta dar con un tratamiento y un método adecuados. El capítulo siguiente comienza a ocuparse de estos problemas cuyo tratamiento es más difícil.