Matemáticas financieras

Transcripción

1 Matemáticas financieras

2 MATEMÁTICAS FINANCIERAS 1 Sesión No. 2 Nombre: Fundamentos matemáticos Contextualización Para concluir con la unidad introductoria a las matemáticas financieras, en la que estamos revisando los fundamentos matemáticos, repasaremos en esta sesión el cálculo de logaritmos y las progresiones. Analizaremos cómo ambos temas se relacionan con las matemáticas financieras. Si deseas activar tus conocimientos previos, te invitamos a revisar el material de la asignatura de Álgebra, en donde se analizaron dichos conceptos.

3 MATEMÁTICAS FINANCIERAS 2 Introducción al Tema El logaritmo de un numero, para una base dada, es la potencia a la que se debe elevarse la base para obtener ese numero. Hay logaritmos de casi cualquier base aunque los logaritmos de base 10 que son las formas equivalentes a las potencias 10, son los que sirven para calcular los logaritmos de otras bases. Progresiones aritméticas, es una sucesión de términos, cada uno de los cuales es igual al que le precede, mas un numero llamado razón o diferencia común o diferencia común. Progresiones geométricas, Es una sucesión finita de números llamados términos.

4 MATEMÁTICAS FINANCIERAS 3 Explicación 1.3 Cálculo de logaritmos Igual que en el caso de los exponentes, los logaritmos corresponden a la forma y operación inversa de la ecuación potencial Y = a x ; en este caso el logaritmo se define como la operación que permite calcular el valor del exponente x al cual se está elevando la base a, de tal manera que su resultado sea Y. La forma matemática en la cual se puede escribir la operación logarítmica es: X = log a Y; que se lee X es igual al logaritmo base a de Y. La forma potencial y la forma logarítmica son las dos operaciones inversas; en términos matemáticos, tienen una definición y sentido específico. Habrá ocasiones que en operaciones de interés compuesto cuya expresión matemática es M =C (1+r) n, y en anualidades (las fórmulas a utilizar varían dependiendo del tipo de anualidad) se quiera determinar el número de periodos o pagos n, necesarios para cubrir el precio o monto total de, por ejemplo, una casa comprada a crédito. En matemáticas financieras los logaritmos se aplican utilizando las propiedades logarítmicas para los despejes, estas propiedades se enlistan a continuación: 1.4 Progresiones: aritméticas, geométricas e infinitas En una progresión aritmética hay una diferencia entre cada término que se obtiene restando los términos consecutivos entre sí; mientras que en las

5 MATEMÁTICAS FINANCIERAS 4 progresiones geométricas el número llamado razón se obtiene dividiendo cada término entre su anterior. Progresiones aritméticas Para resolver progresiones aritméticas utilizamos las siguientes fórmulas: El significado de las literales es el siguiente: a: se refiere al término y el subíndice marca el lugar que ocupa en la serie numérica. d: es la diferencia en la cual está variando la serie numérica y, como ya se dijo, se obtiene restando los términos. S: es la suma de todos los términos que integran la sucesión numérica. n: es el subíndice que indica el lugar que ocupa cada término y también el número de términos que tiene la sucesión. Progresiones geométricas Las progresiones geométricas se relacionan estrechamente con el comportamiento de sumas de dinero invertidas a interés compuesto y que tienen como característica distintiva que crecen o decrecen de manera acelerada. Es posible calcular la suma de la progresión, el número de elementos que tiene una progresión y el dato o número que corresponde a una serie y un lugar en particular. Las ecuaciones con las cuales se trabajan estas series son:

6 MATEMÁTICAS FINANCIERAS 5 Las literales que aparecen son las mismas con excepción de la letra r. A continuación se menciona la explicación de cada una: a: se refiere al término y el subíndice marca el lugar que ocupa en la serie numérica. d: es la diferencia en la cual está variando la serie numérica S: es la suma de todos los términos que integran la sucesión numérica. n: es el subíndice que indica el lugar que ocupa cada término y también el número de términos que tiene la sucesión. r: que significa razón de cambio de la progresión numérica y se obtiene dividiendo cada término entre su anterior. Realicemos una aplicación de progresiones geométricas en un caso de finanzas. Supongamos que una empresa ofrece a una persona un sueldo de $35,000 y que éste aumentará durante los próximos 6 meses un 4% mensual. Cuál será su salario para el quinto mes? En este caso empezaremos por identificar los datos que nos proporciona el planteamiento: a 1 = 35,000 n = 5 La incógnita r es el valor que tendremos que determinar. Sin embargo, recordemos que debemos tener por lo menos 2 términos así que tendremos que determinar el segundo. Para ello, realicemos lo siguiente: Pago primer mes = 35,000 pesos Pago segundo mes = 35,000 + incremento del 4% sobre los 35,000 [es decir: ,000 = 1,400] = 36,400 Dividimos el segundo dato 36,400 entre el primero 35,000 y obtendrá el valor de la razón 36,400/35,000 = 1.04 y éste el valor de la razón.

7 MATEMÁTICAS FINANCIERAS 6 Ahora se busca el valor del dato número 5 con la primera expresión: Tras resolver la operación se obtiene: a 5 = $40,945.04, es decir, lo que se pagará en el quinto mes. La segunda formula la explicaremos a continuación: La cual también se puede escribir como: Sirve para conocer la SUMA DE LA PROGRESION GEOMETRICA. En el mismo ejemplo sería: Mes Mes (1.04)= Mes (1.04) 2 =37856 Mes (1.04) 3 = Mes (1.04) 4 = Suma de la progresión Geométrica S n

8 MATEMÁTICAS FINANCIERAS 7 Resolviéndolo con la formula. NOTA. La diferencia de la suma de la tabla y la fórmula se debe a los decimales por los que se multiplica 35,000 Progresiones infinitas Hablamos de progresiones finitas cuando contienen un número limitado de términos, es decir que tienen un último número. Cuando existen progresiones que no tienen un número último, nos referimos entonces a las sucesiones infinitas.

9 MATEMÁTICAS FINANCIERAS 8 Conclusión Los logaritmos son importantes para las matemáticas financieras así como para las organizaciones ya que nos ayudan a la simplificación de operaciones, así como son de gran ayuda cuando no tenemos una calculadora cerca. Una progresión geométrica es una sucesión de números en la que cada número es igual al anterior multiplicado por una constante. La progresión geométrica crece más rápidamente que la aritmética.

10 MATEMÁTICAS FINANCIERAS 9 Para aprender más Explicación rápida de logaritmos. Todas las operaciones tienen una operación contraria, la suma su contrario es la resta, la multiplicación su contrario es la división, pero en cuando a exponenciales muchos confunden el logaritmo como lo contrario a la potenciación, pero es incorrecto, la operación contraria a la potenciación es la radicación, aunque los logaritmos se clasifican como la operación inversa a la potenciación. Los logaritmos son la operación contraria pero a la forma En los logaritmos lo que nos interesa conocer es el exponente que eleva a una base a para que nos dé como resultado Y. Los logaritmos son: Si y solo si Se lee: Logaritmo con base a de Y es igual a X elevado a la x si y solo si, Y es igual a a EJEMPLOS: Si y solo si ya que Se lee: Logaritmo con base 2 de 8 es igual a 3 si y solo si 2 elevado a la 3 es igual a 8 Si y solo si ya que Se lee: Logaritmo con base 5 de 625 es igual a 4 si y solo si 5 elevado a la 4 es igual a 625

11 MATEMÁTICAS FINANCIERAS 10 Si observan la base a indica que numero es que se elevara a alguna potencia, el número que sigue es el resultado de la potencia, lo que los logaritmos buscan es el realidad la potencia que eleva a la base. OTRO EJEMPLO. Si y solo si Para poder resolver logaritmos cuyo resultado sea una fracción se recomienda hacer una pequeña trampa se cambia el logaritmo cuyo valor de Y es fracción por el número del denominador. Entonces: Se reescribe y resuelve como Pero como Y es fracción, sabemos que cuando se eleva cualquier número a una potencia negativa el resultado es una fracción, el resultado del logaritmo modificado debe ser negativo. Entonces: Se reescribe como Regresando al original En realidad los logaritmos en matemáticas financieras son de uso limitado, se emplean para encontrar el tiempo cuando se tienen otros datos. Se explicara con un ejercicio.

12 MATEMÁTICAS FINANCIERAS 11 EJEMPLO: Una persona invirtió $1500 a una tasa anual de interés compuesto del 4.5%, al finalizar el inversionista tiene $ en total Cuánto tiempo estuvo invertido su dinero? La fórmula del monto en interés compuesto es: Algunos textos a M lo Representan con Al lo representan solo como C A la tasa de interés r la representan con i Como lo que interesa es encontrar el tiempo de la inversión (n) se debe hacer un despeje en la formula. DESPEJANDO En esta parte se tiene la forma Sin embargo vemos que Y es una fracción y a es una suma. Usando las formulas 4) y 5)

13 MATEMÁTICAS FINANCIERAS 12 Despejando a n Resolviendo (usa la calculadora OJO hay log y ln usa log): Resultado. La inversión de $1500 a una tasa del 4.5% capitalizable anualmente tuvo que esperar 4 años para poder arrojar una cantidad de $ Se le sugiere resolver los siguientes ejercicios del libro Matemáticas Financieras. de M. Vidaurri (2004): Progresiones aritméticas ejercicios: 6, 9, 14, 17, 21 y 23 páginas 98 y 99 Progresiones geométricas ejercicios: 4, 6, 7, 13 y 16

14 MATEMÁTICAS FINANCIERAS 13 Actividad de Aprendizaje Con la finalidad de reforzar los conocimientos adquiridos a lo largo de esta sesión, tendrás que realizar la siguiente actividad. Instrucciones Resuelve los siguientes ejercicios sobre logaritmos Cuánto tiempo se necesita para que un capital de $2500 a una tasa del 5.6% capitalizable anualmente de un total de $ ? Realiza los cálculos y súbelo a la plataforma en algún documento. Recuerda que esta actividad equivale al 5% de tu calificación final.

15 MATEMÁTICAS FINANCIERAS 14 Referencias Ávalos, M. (2003). Matemáticas Financieras. México: ECAFSA. Díaz, A. (1999). Matemáticas Financieras. México: McGraw Hill. Estrada, R. (2002). Matemáticas I. México: INITE, UNITEC.