Matemáticas Financieras

Transcripción

1 Matemáticas Financieras

2 1 Sesión No. 2 Nombre: Fundamentos matemáticos. Parte 2 Objetivo: Al finalizar la sesión, los estudiantes conocerán las características y aplicarán las propiedades de los logaritmos en operaciones entre ellos. Asimismo, identificarán las progresiones aritméticas y geométricas. Contextualización Cuál es la importancia de los logaritmos y de las progresiones? El álgebra es un pilar imprescindible de las matemáticas financieras, donde algunos conceptos como los logaritmos juegan un papel importante y su conocimiento se vuelve vital. En el área de las inversiones, algunos fundamentos matemáticos son una parte importante, ya que los intereses suelen tener comportamientos que llevan un patrón a través del tiempo y es ahí donde las progresiones, tanto aritméticas como geométricas, son la clave para su cálculo. El conocer el comportamiento futuro de una inversión o deuda adquirida, en la que se generen intereses, nos permitirá tomar la mejor decisión ante una gama de planes, al cerrar un trato. Te interesa cómo aplicar los conceptos en tus inversiones?

3 2 Introducción al Tema Cuál es la aplicación de las matemáticas en el área financiera? Unas de las operaciones fundamentales de las matemáticas son las que se realizan con los logaritmos, y en las matemáticas financieras son indispensables para el cálculo de operaciones bursátiles. Una progresión es una sucesión de números reales ordenados, donde el valor de un término depende del anterior (excepto el primer término) y de la suma o producto de una cantidad. En las progresiones aritméticas esa cantidad se suma o resta, y en el caso de las progresiones geométricas se multiplica. Su aplicación en las matemáticas financieras nos permite estudiar el comportamiento del capital en operaciones principalmente bancarias o bursátiles.

4 3 Explicación Cálculo de logaritmos Qué son los logaritmos? Los logaritmos son la operación inversa de una potencia y nos permite calcular el valor del exponente, es decir: Donde la base debe ser mayor a 0 y distinta de 1. Ejemplo: Si 3 2 = 9 entonces log 3 9 = 2 El logaritmo más utilizado es el llamado neperiano simbolizado como ln y cuya base es 10. Cuando se quiere calcular logaritmos de cualquier otra base, se aplica la siguiente fórmula del cambio de base:

5 4 Los logaritmos tienen las siguientes propiedades que pueden aplicarse al momento de realizar operaciones entre funciones logarítmicas: Logaritmo del producto: log a (b c) = log a b + log a c Logaritmo del cociente: log a (b / c) = log a b - log a c Logaritmo de una potencia: log a (b m ) = m log a b Para cualquier base: log a 1 = 0, log a a = 1 y log a a x = x Progresiones: aritméticas, geométricas e infinitas Qué son las progresiones? Una progresión o sucesión es un conjunto ordenado de números reales, donde cada uno es llamado término. a 1, a 2, a 3, a 4, a n En las progresiones aritméticas, a partir del segundo término, podemos conocer el valor de cualquiera de ellos sumando una cantidad fija d, llamada diferencia, al anterior. Ejemplo: 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30, 34,... Donde d = 4, ya que es la diferencia entre cualquier término y el anterior.

6 5 Para calcular el valor de algún término en particular aplicamos la fórmula: Si queremos calcular el valor del 27 término de la progresión anterior: A 27 = 6 + (27 1) 4 = 110 Otra fórmula muy útil para las matemáticas financieras es la que nos permite calcular la suma de los n primeros términos de una progresión aritmética: Tomando nuevamente como ejemplo la progresión anterior y dado que ya tenemos el término a 27, calcularemos la suma de los primeros 27 términos. S 27 = 27/2 ( ) = En las progresiones geométricas a partir del segundo término, podemos conocer el valor de cualquiera de ellos multiplicando una cantidad fija r, llamada razón, al anterior. Ejemplo: 4, 12, 36, 108, 324, 972,... Donde r = 3, ya que si multiplicamos cualquier término por 3 obtenemos el siguiente. Para calcular el valor de algún término en particular aplicamos la fórmula: Si queremos calcular el valor del 6 término de la progresión anterior: a 6 = 4 ( ) = 972 Para calcular la suma de los n primeros términos aplicamos:

7 6 Tomando como ejemplo la progresión anterior, calculamos la suma de los primeros 6 términos. S 6 = 4 (1 3 6 ) / (1 3) = En general las progresiones son infinitas dado que los números naturales también lo son, salvo cuando se da la restricción de expresar los valores del primer y del último término de la progresión.

8 7 Conclusión Los logaritmos son la operación inversa de las funciones exponenciales. Las progresiones aritméticas son sucesiones de números reales en la que cada término se obtiene sumando una cantidad fija al término anterior llamada diferencia. Las progresiones geométricas son sucesiones de números reales donde cada término se puede calcular multiplicando el anterior por un valor fijo que se conoce como razón. A partir de fórmulas se puede calcular el valor de un término o la suma de los primeros n términos, conociendo el valor del primero y la diferencia o razón dependiendo del tipo de progresión que se trate. En el ámbito financiero A qué se le llama interés? Cuántos tipos de interés hay y cuáles son sus características?

9 8 Para aprender más Qué son los logaritmos y cuáles son sus propiedades? s/a. (s/f) Logaritmos. Consultado el 30 de marzo de 2016: Qué son las progresiones? Monteagudo, O. (2003). Progresiones. Consultado el 30 de marzo de 2016:

10 9 Actividad de Aprendizaje Instrucciones: Con la finalidad de reforzar los conocimientos adquiridos a lo largo de esta sesión, deberás realizar correctamente los siguientes ejercicios donde aplicarás los conocimientos y habilidades obtenidos. Recuerda que la actividad te ayudará a entender y apropiarte del conocimiento de los logaritmos y de las progresiones, los cuales te facilitarán la aplicación de reglas financieras más complejas. La actividad representa el 5% de tu calificación y se tomará en cuenta lo siguiente: Tus datos generales Referencias bibliográficas Ortografía y redacción Respuestas completas y correctas. Desarrollo: 1.- Calcula el valor de x para cada uno de los siguientes ejercicios aplicando las leyes de los logaritmos:

11 Completa la siguiente sucesión si se sabe que el término general es: a n = 3n 2 3, 24,, 192, 375,, 1029,, 2187, Calcula el valor de los términos solicitados de acuerdo a la siguiente progresión: a 11= -12, -7, -2, 3, 8, 13,... a 22= a 30= a 45= 3.- Obtén la suma de valores de los primeros 15 términos de la sucesión del punto anterior. S 15= 4.- Calcula el valor de los términos solicitados de acuerdo a la siguiente progresión: 5, 30, 180, 1080,...

12 11 a 5= a 7= a 10= 5.- Obtén la suma de valores de los primeros 10 términos de la sucesión del punto anterior. S 10=

13 12 Bibliografía Allen, R. (1997). Álgebra Intermedia, México: Prentice Hall. Cibergrafía Ruiz, M. (s/f). Fundamentos de matemáticas. Consultado el 30 de marzo de 2016: s/a. (s/f). Ejercicios de progresiones. Consultado el 30 de marzo de 2016: s/a (s/f). Progresiones aritméticas y geométricas. Consultado el 30 de marzo de 2016: EstalmatCyL/Progresiones.pdf