Matemáticas Financieras

Transcripción

1 Matemáticas Financieras

2 1 Sesión No. 2 Nombre: Fundamentos Matemáticos Contextualización En el área de las inversiones, algunos fundamentos matemáticos son una parte muy importante, ya que los intereses suelen tener comportamientos que llevan un patrón a través del tiempo y es ahí donde las progresiones, tanto aritméticas como geométricas, son la clave para su cálculo. El conocer el comportamiento futuro de una inversión o deuda adquirida, en la que se generen intereses, nos permitirá tomar la mejor decisión ante una gama de planes al cerrar un trato.

3 2 Introducción al Tema Cuál es la aplicación de las progresiones en el área financiera? Una progresión es una sucesión de números reales ordenados, donde el valor de un término depende del anterior (excepto el primer término) y de la suma o producto de una cantidad. En las progresiones aritméticas esa cantidad se suma o resta y en el caso de las progresiones geométricas se multiplica. Su aplicación en las matemáticas financieras nos permite estudiar el comportamiento del capital en operaciones principalmente bancarias o bursátiles.

4 3 Explicación Progresiones Qué son las progresiones y qué se obtiene de ellas? Una progresión o sucesión es un conjunto ordenado de números reales, donde cada uno es llamado término. a 1, a 2, a 3, a 4, a n El término general de una sucesión es una expresión algebraica con la cual se calcula el valor de un término dependiendo del lugar que ocupa. Ejemplo: 1, 4, 9, 16, 25, 36,... Observamos que cada término es el cuadrado del lugar que ocupa, por lo tanto el término general es a n = n 2, donde n es el lugar que ocupa y si queremos conocer el valor del término número 15 aplicamos: a 15 = 15 2 = 225 Progresiones aritméticas A partir del segundo término, podemos conocer el valor de cualquiera de ellos sumando una cantidad fija d, llamada diferencia, al anterior. Ejemplo: 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30, 34,... Donde d = 4, ya que es la diferencia entre un término y el anterior. Para calcular el valor de algún término en particular aplicamos la fórmula: a n = a 1 + (n 1)d

5 4 Si queremos calcular el valor del 5 y 27 términos de la progresión anterior: A 5 = 6 + (5 1 ) 4 = 22 A 27 = 6 + (27 1 ) 4 = 110 Otra fórmula muy útil para las matemáticas financieras que nos permite calcular la suma de los n primeros términos es: S n = n 2 (a 1 + a n ) Tomando nuevamente como ejemplo la progresión anterior, y dado que ya tenemos calculados los términos a 5 y a 27, calcularemos la suma de los primeros 5 y 27 términos. S 5 = 5/2 (6 + 22) = 70 S 27 = 27/2 ( ) = Progresiones geométricas A partir del segundo término, podemos conocer el valor de cualquiera de ellos multiplicando una cantidad fija r, llamada razón, al anterior. Ejemplo: 4, 12, 36, 108, 324, 972,... Donde r = 3, ya que si multiplicamos cualquier término por 3 obtenemos el siguiente. Para calcular el valor de algún término en particular aplicamos la fórmula: a n = a 1 r n 1

6 5 Si queremos calcular el valor del 6 y 18 términos de la progresión anterior: a 6 = 4 ( ) = 972 a 18 = 4 ( ) = Otra fórmula muy útil para las matemáticas financieras que nos permite calcular la suma de los n primeros términos es: S n = a 1 (1 r n ) 1 r Tomando nuevamente como ejemplo la progresión anterior, calcularemos la suma de los primeros 6 y 18 términos. S 6 = 4 (1 3 6 ) / (1 3) = S 18 = 4 ( ) / (1 3) =

7 6 Conclusión Las progresiones aritméticas son sucesiones de números reales en la que cada término se obtiene sumando una cantidad fija al término anterior llamada diferencia. Las progresiones geométricas son sucesiones de números reales donde cada término se puede calcular multiplicando el anterior por un valor fijo que se conoce como razón. A partir de fórmulas se puede calcular el valor de un término o la suma de los primeros n términos, conociendo el valor del primero y la diferencia o razón dependiendo del tipo de progresión que se trate. Como pudiste revisar durante esta sesión, los fundamentos matemáticos son herramientas que serán de gran utilidad en aplicaciones más complejas como el que abordaremos en la siguiente sesión.

8 7 Para saber más Ávalos, M. (2003). Matemáticas Financieras. México: ECAFSA. Tan, S. T. (2005). Matemáticas para administración y economía. México: Thomson. Ayón, María Concepción. Sucesiones y series.

9 8 Actividad de aprendizaje Instrucciones: Con la finalidad de reforzar los conocimientos adquiridos a lo largo de esta sesión, deberás realizar correctamente los siguientes ejercicios donde aplicarás los conocimientos y habilidades obtenidos. Recuerda que esta actividad te ayudará a entender y apropiarte del conocimiento de los fundamentos matemáticos, los cuales te facilitarán la aplicación de reglas financieras más complejas. En esta actividad se tomará en cuenta lo siguiente: Tus datos generales Referencias bibliográficas Ortografía y redacción Título Respuestas completas y correctas Desarrollo: 1. Completa la siguiente sucesión si se sabe que el término general es: a n = 3n 2 3, 24,, 192, 375,, 1029,, 2187, 3000

10 9 2. Calcula el valor de los términos solicitados de acuerdo a la siguiente progresión: a 11= -12, -7, -2, 3, 8, 13,... a 22= a 30= a 45= 3. Obtén la suma de valores de los primeros 15 términos de la sucesión del punto anterior. S 15= 4. Calcula el valor de los términos solicitados de acuerdo a la siguiente progresión: a 5= 5, 30, 180, 1080,... a 7= a 10= 5. Obtén la suma de valores de los primeros 10 términos de la sucesión del punto anterior. S 10=

11 10 Referencias Díaz, Juan M. (s.f.) Progresiones. Obtenido de: 01.html Vidaurri, M. (2004). Matemáticas Financieras. México: Thomson.