TEMA 2 Potencias, radicales, logaritmos

Transcripción

1 EJERCICIOS Y PROBLEMAS matemáticas nivel medio 1. Sean log p = 6 y log q = 7, (2 puntos) (a) Halle log p 2. (b) Halle log ( p q ) (c) Halle log (9p) (d) Halle log ( pq) 2. Halle el valor de cada una de las siguientes expresiones como número entero. (1,5 puntos) (a) log 6 6 (b) log 6 + log 6 9 (c) ln(e) 2 ln 2. Sean x = ln e y = ln 5. Dé las siguientes expresiones en función de x e y. (1,5 puntos) (a) ln ( 5 ) (b) ln 5 (c) ln 9 5. (a) Escriba la expresión ln 2 ln de la forma ln k, donde k Z. (0,75 puntos) (b) A partir de lo anterior o de cualquier otro modo, resuelva ln 2 ln = ln x (0,25 puntos) 5. En el desarrollo de ( x x )6, donde a Z, el término constante es igual a Halle a. (1,5 puntos) 6. Las sumas de los términos de una sucesión siguen el patrón, (1,5 puntos) S 1 = 1 + k S 2 = 5 + k S = k S = k donde k Z (a) Sabiendo que u 1 = 1 + k, calcule u 2, u y u (b) Halle una expresión general para u n El punto restante hasta el total de la puntuación se otorgará por, La presentación del trabajo: Se incorporan los enunciados bien escritos, hay orden en la resoluciones y limpieza en los cálculos; los gráficos bien hechos y con todos los datos, etc. El uso adecuado del lenguaje matemático: expresiones algebraicas correctamente escritas y secuenciadas. Las argumentaciones y explicaciones que deben aportarse siempre, a la vez que deben permitir entender a quien lee lo que se hace en cada momento. Debe haber una buena gramática y ortografía en las resoluciones. 1

2 SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS Y PROBLEMAS 1. Sean log p = 6 y log q = 7, (a) Halle log p 2. (b) Halle log ( p q ) (c) Halle log (9p) (d) Halle log ( pq) (a) Halle log p 2. matemáticas nivel medio Aplicando la propiedad de los logaritmos por la que el logaritmo de una potencia se transforma en el producto del exponente por el logaritmo de la base, (b) Halle log ( p q ) log p 2 = 2 log p = 2 6 = 12 Aplicando la propiedad de los logaritmos por la que el logaritmo de una división se transforma en una resta de logaritmos, (c) Halle log (9p) log ( p q ) = log p log q = 6 7 = 1 Aplicando la propiedad de los logaritmos por la que el logaritmo de una multiplicación se transforma en una suma de logaritmos y, después, la propiedad del logaritmo de la potencia, obtenemos, log (9p) = log 9 + log p = log 2 + log p = 2 log + log p = = 8 (d) Halle log ( pq) Aplicando la propiedad del logaritmo de la potencia y después la propiedad del logaritmo del producto obtenemos, log ( pq ) = log (pq) 1/ = 1 log (pq) 1/ = 1 (log p + log q) = 1 (6 + 7) = 1 2

3 2. Halle el valor de cada una de las siguientes expresiones como número entero. (1,5 puntos) (a) log 6 6 (b) log 6 + log 6 9 (c) ln(e) 2 ln 2 (a) log 6 6 Aplicando la definición de logaritmo, log 6 6 = c ( 6) c = 6 (6 1 c 2) = c 2 = c/2 = 6 2 c 2 = 2 c = (b) log 6 + log 6 9 Aplicando la propiedad del logaritmo del producto, log 6 + log 6 9 = log 6 6 Reescribiendo a 6 como el cuadrado de seis podemos aplicar la propiedad del logaritmo de la potencia, log 6 6 = log = 2 log 6 6 Como el logaritmo de base seis de seis es 1 entonces concluimos que, (c) ln e 2 ln 2 log 6 + log 6 9 = 2 log 6 6 = 2 1 = 2 Aplicando la propiedad del logaritmo de la potencia, Por la propiedad del logaritmo de la división, ln e 2 ln 2 = ln e ln 2 2 ln e ln 2 2 = ln e ln = ln ( e ) = ln e Como el logaritmo neperiano de e es 1 entonces concluimos que, ln e 2 ln 2 = ln e = 1

4 . Sean x = ln e y = ln 5. Dé las siguientes expresiones en función de x e y. (1,5 puntos) (a) ln ( 5 ) (b) ln 5 (c) ln 9 5 (a) ln ( 5 ) Aplicando la propiedad de los logaritmos por la que el logaritmo de una división se transforma en una resta de logaritmos, (b) ln 5 ln ( 5 ) = ln 5 ln = y x Descomponemos el 5 en factores primos y aplicamos la propiedad del logaritmos de la multiplicación, que queda transformado en la suma de logaritmos, ln 5 = ln( 2 5) = ln 2 + ln 5 = En el caso del primer logaritmo, aplicamos la propiedad del logaritmo de una potencia, (c) ln 9 5 ln 5 = ln( 2 5) = ln 2 + ln 5 = 2 ln + ln 5 = 2 x + y Reescribimos el radical como una potencia y aplicamos la propiedad de la potencia. ln 9 5 = ln ( 9 5 ) 1/ = 1 ln ( 9 5 ) Aplicamos la propiedad del logaritmo del logaritmo de la división, 1 ln ( 9 5 ) = 1 (ln 9 ln 5) = Reescribimos a 9 como potencia y aplicamos la propiedad del logaritmo de la potencia, = 1 (ln(2 ) ln 5) = 1 (2 ln ln 5) =

5 Y finalmente sustituimos por x e y matemáticas nivel medio 1 (2 x y) = 2x y. (a) Escriba la expresión ln 2 ln de la forma ln k, donde k Z. (b) A partir de lo anterior o de cualquier otro modo, resuelva ln 2 ln = ln x Solución (a) Escriba la expresión ln 2 ln de la forma ln k, donde k Z. Se trata de dejar todo como un solo logaritmo. Para eso comenzamos aplicando la propiedad del logaritmo de la potencia pero al revés de lo usual. Es decir, pasamos el que multiplica al logaritmo como exponente, ln 2 ln = ln 2 ln = ln 8 ln Ahora transformamos la resta de logaritmos en el logaritmo de la división, ln 2 ln = ln 2 ln = ln 8 ln = ln ( 8 ) = ln 2 (b) A partir de lo anterior o de cualquier otro modo, resuelva ln 2 ln = ln x Como en el apartado anterior hemos descubierto que ln 2 ln = ln2, lo aplicamos para resolver la ecuación del siguiente modo, ln 2 ln = ln x ln 2 = ln x El menos del segundo logaritmo puede ser considerado como un 1 que está multiplicando y, por tanto, podría aplicarse la propiedad de la potencia, pasando este 1 como exponente dentro del logaritmo. ln 2 ln = ln x ln 2 = ln x ln 2 = ln x 1 Puesto que en el primer miembro de la ecuación y en el segundo hay un logaritmo neperiano (misma base) entonces lo de dentro de los logaritmos tiene que ser igual, ln 2 ln = ln x ln 2 = ln x ln 2 = ln x 1 2 = x 1 Y resolvemos, Por lo tanto, x = = x 1 2 = 1 x x = 1 2 5

6 5. En el desarrollo de ( x x ) 6, donde a Z, el término constante es igual a Halle a. La fórmula del binomio de Newton dice que, n ( a + b) n = ( n k ) ak b n k k=0 En el caso, del desarrollo de ( x x ) 6 tendremos que, ( x 6 x ) El término constante será cuando, 6 = ( 6 k ) ( x k a ) k=0 ( a2 6 k x ) k = 6 k 2k = 6 k = 6 2 = Por lo tanto, el término independiente será para k = y entonces su valor será, Operamos, ( 6 ) ( x a ) ( a2 6 x ) = !! (6 )! x a (a2 x ) = !!! x a a6 x = !!! a6 a = a = 1 280! a = a = En conclusión k =. a = 6 a = 6 = 2 6 = 2 2 = 6

7 6. Las sumas de los términos de una sucesión siguen el patrón, (1,5 puntos) S 1 = 1 + k S 2 = 5 + k S = k S = k donde k Z (a) Sabiendo que u 1 = 1 + k, calcule u 2, u y u (b) Halle una expresión general para u n (a) Sabiendo que u 1 = 1 + k, calcule u 2, u y u u 2 = S 2 S 1 = (5 + k) (1 + k) = + 2k u = S S 2 = (12 + 7k) (5 + k) = 7 + k u = S S = (22 15k) (12 + 7k) = k (b) Halle una expresión general para u n u n = ( 2 + n) + 2 n 1 k 7