Se llama sucesión a un conjunto de números dispuestos uno a continuación de otro. a1, a2, a3,..., an

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1 TEMA 4: PROGRESIONES 3º ESO. SUCESIONES Se llama sucesión a un conjunto de números dispuestos uno a continuación de otro. 3, 6, 9,..., 3n a, a2, a3,..., an Los números a, a2, a3,...; se llaman términos de la sucesión. El subíndice indica el lugar que el término ocupa en la sucesión. El término general es an es un criterio que nos permite determinar cualquier término de la sucesión. Ejemplo: Determinación de una sucesión por el término general an= 2n- a= 2 - = a2= = 3 a3= = 5 a4= = 7

2 2. PROGRESIONES ARITMÉTICAS Una progresión aritmética es una sucesión de números tales que cada uno de ellos (salvo el primero) es igual al anterior más un número fijo llamado diferencia que se representa por d. Si va sumando la diferencia será positiva, si va restando la diferencia será negativa. Término general de una progresión aritmética conociendo a an = a + (n - ) d Término general de una progresión aritmética conociendo ak an = ak + (n - k) d Ejemplo: 8, 3, -2, -7, -2,... La diferencia de ésta sucesión es d = 5. Término general de una progresión aritmética si conocemos el er término: an = a + (n - ) d 8, 3, -2, -7, -2,.. an= 8 + (n-) (-5) = 8-5n +5 = = -5n + 3 Término general de una progresión aritmética si conocemos el valor que ocupa cualquier otro término de la progresión. an = ak + (n - k) d a4= -7 y d= -5 an = -7+ (n - 4) (-5)= -7-5n +20 = -5n + 3 Suma de n términos consecutivos de una progresión aritmética Ejemplo: Calcular la suma de los primeros 5 términos de la progresión : 8, 3, -2, -7, -2,... Interpolación de términos en una progresión aritmética Interpolar medios diferenciales o aritméticos entre dos números, es construir una progresión aritmética que tenga por extremos los números dados. Sean los extremos a y b, y el número de medios a interpolar m. Si conocemos dos términos salteados, podemos saber d, con la fórmula: b a d Siendo m la resta de los subíndices m 2

3 Ejemplos: Interpolar tres medios aritméticos entre 8 y -2. Conociendo a5=23 y a8=38 calcula r. b a d 5 m=8-5=3 m 3 Progresión aritmética conociendo dos términos, y ninguno de ellos es a. Ejemplo: Dada una progresión aritmética, y conociendo que el término 5 es 23 y el término 8 es 38, calcula la suma de los diez primeros términos. Cuando ocurre esto, hay que resolverlo mediante un sistema de ecuaciones, mediante el término general. a5 a5=a+(n-) d 23= a+(5-) d 23 = a+4d a8 a8=a+(n-) d 38= a+(8-) d 38 = a+7d 23 a 38 a 4d 7d Si resolvemos el sistema de ecuaciones, por el método que queramos obtenemos que a= 3 y d =5. Sustituyendo en la fórmula del término general, obtenemos que a0=48 y S0=27,5 a0 a0=a+(n-) d a0= 3+(0-) 5 a0 = =48 S0= ( a a ) (3 48) 0 50 n n = OTRA OPCIÓN ES APLICANDO LA SIGUIENTE FORMULA aq =ap + (q p) d siendo q>p Progresión aritmética conociendo dos términos, y uno de ellos es a y el otro no es a2. Ejemplo: Dada una progresión aritmética, y conociendo que el término es 7 y el término 7 es 43, calcula la suma de los doce primeros términos. Cuando ocurre esto, hay que resolverlo mediante el término general del que no es a a7 a7=a+(n-) d 43= 7+(7-) d 43 = 7+6d d =6 6 Sustituyendo en la fórmula del término general, obtenemos que a2=73 y S2=240 a2 a2=a+(n-) d a2= 7+(2-) 6 a2 = 7+ 6 =73 ( a a ) n (7 73) n S2= 480 3

4 3. PROGRESIONES GEOMÉTRICAS Una progresión geométrica es una sucesión en la que cada término se obtiene multiplicando al anterior una cantidad fija r, llamada razón. Si la progresión va dividiendo la razón es r=, si la DIVISIÓN progresión va multiplicando la razón es r= MULTIPLICACIÓN Término general de una progresión geométrica si conocemos el er término: an = a r n- Término general de una progresión geométrica si conocemos el valor que ocupa cualquier otro término de la progresión: an = ak r n-k Ejemplo: Si tenemos la sucesión: 3, 6, 2, 24, 48,... r= 2. Término general de una progresión geométrica si conocemos el er término. an = a rn- 3, 6, 2, 24, 48,.. an = 3 2n- = 3 2n 2- = (3/2) 2n Término general de una progresión geométrica si conocemos el valor que ocupa cualquier otro término de la progresión. an = ak rn-k a4= 24, k=4 y r=2. an = a4 rn-4 an = 24 2n-4= (24/6) 2n = (3/2) 2n OTRA OPCIÓN ES APLICANDO LA SIGUIENTE FORMULA aq =ap r q p siendo q>p Interpolación de términos en una progresión geométrica Interpolar medios geométricos o proporcionales entre dos números, es construir una progresión geométrica que tenga por extremos los números dados. Sean los extremos a y b, y el número de medios a interpolar m. Si conocemos dos términos salteados, podemos saber r, con la fórmula: m a b r Siendo m la resta de los subíndices Ejemplos: Interpolar tres medios geométricos entre 3 y 48. Conociendo a2=6 y a5=48 calcula d. r m=5-2=3 6 4

5 Suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica Suma de n términos consecutivos Ejemplo: Calcular la suma de los primeros 5 términos de la progresión: 3, 6, 2, 24, 48,... Suma de los términos de una progresión geométrica decreciente Suma de los términos de una progresión geométrica decreciente Ejemplo: Calcular la suma de los términos de la progresión geométrica decreciente ilimitada: 5