Como recordarás, la razón es la relación existente entre un número a y un número b. Éste último. a:b

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Cristóbal Saavedra Soler
hace 7 años
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RMA_MAA_razon Versión: diciembre de 01 Razón y proporción Por: Cristina Andrade Como recordarás, la razón es la relación existente entre un número a y un número b.

1 RMA_MAA_razon Versión: diciembre de 01 Razón y proporción Por: Cristina Andrade Como recordarás, la razón es la relación existente entre un número a y un número b. Éste último distinto de cero, por tal motivo, la razón de a y b es b a. Esta razón también la podemos expresar de la siguiente manera: Los dos puntos indican una división. a:b Generalmente a y b son magnitudes del mismo tipo, que se deben expresar en las mismas unidades. Si a está en kilogramos, b debe estar en kilogramos también; si a se encuentra expresada en centímetros, b de expresarse en centímetros. Sin embargo, en muchas ocasiones las razones expresan fórmulas ya establecidas que tienen magnitudes de naturaleza diferente. Por ejemplo en física, la fórmula de la velocidad está expresada como: Figura 1. Speedometer (Digitalart & Freedigitalphotos.net, 011). d v t En donde la d es la distancia expresada en metros y t es el tiempo, expresado en segundos. El resultado nos lleva a que las unidades de la velocidad son metros/segundos, siendo perfectamente válido así como la relación de razón. Fracciones equivalentes Una fracción es equivalente a otra cuando el numerador y el denominador de la fracción dada se multiplican por un mismo número diferente de cero. Ejemplo 1 * * 1

2 RMA_MAA_razon Versión: diciembre de 01 De aquí obtenemos una fracción equivalente al multiplicar el numerador y denominador por el mismo número, que es el. La fracción equivalente es. Entonces podemos anotarlo de la siguiente manera: Ejemplo Encontrar fracciones equivalentes a 4 O también De igual forma 9 1 Fracción Fracción Fracción original original original Las fracciones equivalentes las podemos acomodar de la siguiente manera: Por lo que podemos concluir que todas esas fracciones son equivalentes entre sí Proporciones Una de las aplicaciones de las razones es cuando se tienen casos que implican números que pueden agruparse en pares y cuyas razones son iguales entre sí. Éstos se pueden representar de la siguiente manera: a b c d Se lee como: a es a b como c es a d

3 RMA_MAA_razon Versión: diciembre de 01 Por lo que cualquier ecuación, en donde se igualen dos razones, se conoce como proporción. La proporción anterior también se puede escribir como: a : b c : d Las proporciones son tan comunes que utilizamos un método abreviado para resolverlas: el método de productos cruzados. Productos cruzados Si a c Entonces multiplicamos de forma cruzada y tenemos: b d a b c d Al trabajar con proporciones, debes tener cuidado de no confundirlas con la división de fracciones, en donde después de multiplicar en cruz, se obtiene una fracción equivalente. En una proporción, el resultado de multiplicar cruzado es una igualdad. Cabe mencionar, que no necesariamente se van a conocer los cuatro datos de la proporción, pues es precisamente ahí donde se aprecia la utilidad de ésta. Nos ayuda a conocer datos que están estrechamente relacionados entre sí. Ejemplo 1. Encontrar el valor de la incógnita x de la siguiente proporción. 140 x 0

4 RMA_MAA_razon Versión: diciembre de 01 Efectuamos la multiplicación en cruz: 140 * 0 * x Resolvemos la multiplicación: 40 0 x Despejamos el valor de la incógnita x. 0 está multiplicando a la incógnita y pasa del lado contrario de la igualdad dividiendo. Entonces tenemos: 40 x 0 Que por ser una igualdad, también se representa como: 40 x 0 Finalmente se realiza la división y obtenemos el valor de la incógnita: x 14 Para comprobar que el valor de x que hemos encontrado es correcto, se sustituye este valor en la proporción inicial, tenemos: x En donde queda de manifiesto que el valor encontrado es correcto.. Encontrar el valor de la incógnita de la siguiente proporción. 4 x 4

5 RMA_MAA_razon Versión: diciembre de 01 Siguiendo el procedimiento de resolución del ejemplo anterior, tenemos: 4 x 4 * * x 4 x 4 x Por lo que el valor de la incógnita es: x 8 Sustituyendo este valor en la proporción inicial, obtenemos: 4 x 4 8 Observa que en este caso no se aprecia la igualdad a primera vista pero si multiplicamos cruzado, queda: 4 8 4* *8 4 4 De donde se concluye que el valor encontrado x 8 es correcto.

6 RMA_MAA_razon Versión: diciembre de 01 Ejemplo 4 Ejercicios de aplicación Los triángulos semejantes son aquellos cuyos lados homólogos guardan la misma proporción. Si tenemos dos triángulos que son semejantes entre sí, cuyas medidas están en centímetros, encuentra el valor de f para el triángulo de la derecha Figura 1. Triángulos semejantes. Tenemos que establecer una proporción entre los dos triángulos donde relacionemos el lado que tiene la incógnita (f). Lo puedes realizar con cualquiera de los lados, pero respetando la igualdad, en este caso, de los colores. a d c f Que se lee como: a es a d como c es a f Sustituyendo los valores que conocemos, se tiene:. f Realizamos los productos cruzados y despejamos la incógnita. f *. f 1 1 f f Por lo que el valor del lado f es igual a centímetros.

7 RMA_MAA_razon Versión: diciembre de 01 Ejemplo Las instrucciones de cierto fertilizante para césped recomiendan que se apliquen 1.88 kilogramos de dicho fertilizante por cada metros cuadrados. Si el césped que se pretende fertilizar cubre una superficie de 4.7 metros cuadrados, cuántos kilos de fertilizante se necesitan? Estableciendo las proporciones correspondientes se tiene: 1.88 Kg es a m como x es a 4.7m 1.88K x En donde K es kilogramos y m son los metros cuadrados m 4.7m Procedemos a realizar los productos cruzados, la multiplicación y despeje de la incógnita: ( 1.88K )( 4.7m ) ( 04.80m )(x ) 77.1 Km 04.80m x Despejamos x 77.1km x 04.80m x. kilos Por lo que debemos utilizar, para 4.7 metros cuadrados de césped,. kilos de fertilizante. 7

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