GUÍA DE EJERCICIOS: MATEMÁTICAS

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Tomás Saavedra Ponce
hace 8 años
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GUÍA DE EJERCICIOS: MATEMÁTICAS Matrices Esta guía de estudio está diseñada con ejercicios resueltos paso a paso con el fin de mostrar los procedimientos detallados para abordar cada uno de ellos.

1 GUÍA DE EJERCICIOS: MATEMÁTICAS Matrices Esta guía de estudio está diseñada con ejercicios resueltos paso a paso con el fin de mostrar los procedimientos detallados para abordar cada uno de ellos. Las estrategias de solución que se muestran NO son únicas, y algunos de los pasos mostrados en cada uno de los procedimientos se pueden obviar dependiendo del nivel de manejo algorítmico de cada estudiante. Objetivos 1. Practicar operaciones con matrices. 2. Encontrar valores específicos para matrices particulares dadas. Contenidos 1. Suma y multiplicación de matrices. 2. Inversa de una matriz. 3. Solución de ecuaciones. Debo saber Antes de empezar a realizar estos ejercicios es importante recordar algunos conceptos: Notación: significa que es una matriz cuadrada, de orden, cuyas componentes son números reales. Igualdad de Matrices: Dos matrices y son iguales si y solo si. Producto de Matrices: Si, entonces. Primera Edición

2 Ejercicio 1: Suma de Matrices Encuentre los valores de y para que. Solución Para poder determinar los valores de y de tal manera que se cumpla la igualdad, primero se debe solucionar la suma que se encuentra a la izquierda de la igualdad, pues para realizar la comparación se debe tener solo una matriz a cada lado de la igualdad. Definición de suma de matrices. (i) (ii) (iii) (iv) Definición de igualdad entre matrices. A partir de estas igualdades, se pueden establecer los valores de y mediante la resolución de las ecuaciones (i) y (iv). En este caso se utilizará el método de sustitución. Observe que las igualdades (ii) y (iii) se cumplen. (v) Despejar de la ecuación (iv). Reemplazar el valor de en la ecuación (i). Eliminar paréntesis. Sumar términos semejantes a la izquierda de la igualdad y restar a ambos lados de la igualdad para dejar los términos independientes a la derecha. Resolver operaciones. Despejar y resolver operaciones. Con esto se obtiene el valor de. Primera Edición

3 Reemplazar el valor de en (v). Resolver operaciones. Resolver operaciones y encontrar el valor de. Los valores de y para los cuales se cumple la igualdad son y. Ejercicio 2: Multiplicación de matrices e inversa de una matriz Demostrar que las matrices de la forma, con entradas reales, conmutan al multiplicarlas entre sí y se obtiene una matriz del mismo tipo. Además encuentre la matriz inversa de. Solución Dado que se pide demostrar la conmutatividad, debe tomarse matrices y que tengan la forma mencionada y mostrar que. Ya que las matrices son de, es factible realizar estas operaciones, pues el procedimiento no resulta extenso. Sean y, entones Definición de multiplicación. Conmutatividad. Definición de multiplicación. Definición de conmutatividad de matrices. Reorganización de los términos de la matriz ubicada a la derecha de la igualdad. En este caso se aplicó la propiedad conmutativa tanto de la suma como del producto de. Esto es posible porque los términos de estas matrices son números reales. Primera Edición

4 ( * ( * Reorganizar los términos de las matrices y factorizar el signo menos. Al comparar los términos correspondientes en cada una de las matrices, se observa que estos términos son iguales, es decir,. Por lo tanto, las matrices de la forma ( ) conmutan al multiplicarlas. Además, al comparar los términos correspondientes, se observa que la matriz resultante tiene la misma forma de las matrices originales. Otra forma de realizar esta demostración es comenzar con del producto, luego aplicar la conmutatividad en para reorganizar los términos de la matriz y, finalmente, separar este resultado en el producto de las dos matrices. Para encontrar la matriz inversa de ( aplicable para todas las matrices invertibles. ), se hará la reducción por filas ya que este método es ( ) Matriz ampliada. ( ) ( ) ( ) Multiplicar la fila por. Esto hace que se encuentre el de la posición. Multiplicar la fila por y luego sumar la fila ; este resultado se reemplaza en la fila con el fin de encontrar el cero de la posición. Realizar operaciones correspondientes. ( ) Multiplicar la fila por. Esto hace que se encuentre el de la posición. ( ( ) ) Multiplicar la fila por y luego sumar la fila ; este resultado se reemplaza en la fila con el fin de encontrar el cero de la posición. Eliminar paréntesis en. Primera Edición

5 ( ( ) ) Realizar operaciones en. ( ( ), Realizar operaciones en. Observe que se factorizó en el numerador de la facción. ( ) ( ) Eliminar paréntesis en. Observe que se simplificó el valor de y luego se sacaron todos los términos de los paréntesis. Realizar operaciones correspondientes. La matriz inversa de la matriz es. Para comprobar que efectivamente la matriz encontrada es la inversa de la matriz inicial, se deben multiplicar y el resultado debe ser la matriz. Entonces: Matriz inicial por su inversa. ( * (, ( * Definición multiplicación matrices. de entre ( ) Realizar operaciones dentro de cada uno de los paréntesis. Eliminar paréntesis. Realizar operaciones en cada una de las entradas de la matriz. Observe que en la primera entrada, se aplicó la propiedad conmutativa en el numerador. Primera Edición

6 Realizar operaciones en cada una de las entradas de la matriz. Observe que en las entradas y el numerador se hace cero, por lo que la fracción completa se hace cero. Además, en las entradas y tanto el numerador como el denominador son iguales, por lo tanto, al hacer la división el resultado es. Por lo tanto, la matriz inversa que se encontró es correcta. Ejercicio 3: Dada la matriz, encuentre las matrices, tal que. Solución Como y, significa que. Si ( +, entonces debe cumplirse que ( + ( * Definición de multiplicación de matrices. ( * Realizar operaciones. (vi) (vii) (viii) (ix) Definición de igualdad entre matrices. A partir de estas igualdades, se pueden establecer los valores de y mediante la resolución de las distintas ecuaciones. Es importante mencionar que al haber más incógnitas que ecuaciones, algunas de las incógnitas quedarán en funciones de otras. En este caso se utilizará el método de sustitución. Despejar de (vi) y de (vii). Primera Edición

7 Reemplazar el valor de en (viii). Resolver operaciones y despejar. Reemplazar el valor de en (ix). Resolver operaciones y despejar. ( + Escribir la matriz. Las matrices que tales que son las matrices de la forma ( +. Es necesario destacar que y son valores independientes, a partir de los cuales se construye la matriz mientras que y son valores dependientes. Para ver algún ejemplo de matriz, basta con darle valores y. Por ejemplo, si y, se tendría la matriz ( + Reemplazar los valores de y en la matriz. ( + Eliminar paréntesis. ( + Realizar operaciones. Finalmente, para comprobar que la matriz cumple con las condiciones dadas inicialmente, se realiza el producto correspondiente. ( + Reemplazar las matrices y. ( ) ( ( ) ) Definición de multiplicación de matrices. Realizar operaciones en cada una de las componentes. Primera Edición

8 Por lo tanto, la matriz Realizar operaciones. elegida cumple con las condiciones dadas inicialmente. Primera Edición

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