Ejercicios de MATRICES y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.

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1 Ejercicios de MATRICES y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. 1. a) Hallar números Α y Β tales que b) Idem para que Α Β 2 Α Β Α Β 2 Β 1 Α Β Β 3 5 Α a) Sean A , B , C Calcular A 3 B, A 2 3 B C, AT B. C T, A B B A, A 2 5 A 3 I b) Con las matrices de a) comprobar la asociatividad del producto A.B.C A. B.C Demostrarla en general para matrices 2 x 2. c) Con las matrices de a) comprobar que: A B T A T B T y A.B T B T.A T Demostrar esas dos propiedades en general para matrices 2 x 2. d) Sean A y B Calcular A.B y B.A T. e) Sea A Calcular A T A y A A T. 3. Escribir las siguientes matrices: a) A a i j de 3 x 3 con a i j i 2 j b) B b i j de 3 x 3 con b i j 1 i j i i j si i j c) C c i j de 3 x 5 con c i j j si i j d) D d i j de 4 x 4 con d i j 1 i j 1 M 4 A B C M 1, M 2, M 3

2 2 Ejercitacion matrices y sel.nb M 1 M 2 M 3 M 4 A B C Los costos por unidad son: M 1 : $ 2.30 ; M 2 : $3.50 ; M 3 : $1.75 ; M 4 : $ 5.00 Se desean fabricar 500 unidades de A, 1000 de B y 400 de C. a) Organizar los datos en forma de matrices. b) Operando con matrices calcular los recursos que hacen falta y el costo total de producción. 5. Características "raras" de la multiplicación de matrices: a) Sean A= , B= , C= , D= , E= Calcular AB y BA. Qué se puede afirmar sobre la conmutatividad del producto de matrices? Hallar CA, AC, CB, BC. C es una matriz escalar Es posible demostrar que el producto de matrices es conmutativo si uno de los factores es una matriz escalar y el otro una matriz cualquiera? b) Calcular AE Qué se puede decir sobre la ley del producto nulo para matrices? c) Calcular AB y AD Qué se puede decir sobre la ley cancelativa del producto de matrices? 6. Se observa que en un país de 70 millones de habitantes se está produciendo una migración anual del norte hacia el sur en forma paulatina según la tabla: a) Si N S N S y P Α, Β es la distribución de población en un año determinado mostrar que P. es la distribución al año siguiente. b) Investigar si existe una distribución de población norte-sur : a, 70 a para la cual hay equilibrio es decir, cada año se mantiene la misma distribución de población. 7. Una especie de animales salvajes migra anualmente entre tres regiones según el detalle siguiente R 1 R 2 R 3 R R R Sean la matriz de migración y P n p 1 n, p 2 n, p 3 n la de población en el año n en las tres regiones. a) Si P , , calcular con producto matricial P 1, P 2. b) Puede hallar P 1? c) Comprobar que la distribución de equilibrio: P. P es P 0.421, 0.263, Si la población es de 1000 ejemplares, entonces el equilibrio es aproximadamente 421, 263, 316. d) Observemos que los elementos de son 0 y cada fila de la matriz suma 1. Comprobar que 2 también es así.

3 a 13 a 31 a 34 a 43 A a 31 a 13 a 43 a 34 a i j a j i A a i j a j i i j A T A a 11 a 22 a 33 a 44 A A T A a i j a j i a i j a i j i j i j b i j b i j 1 i j si i j A 1 2 A AT 1 2 A AT

4 4 Ejercitacion matrices y sel.nb e) Sean A y B antisimétricas. Demostrar que A B B A es antisimétrica. 10. a) Sea A Hallar A T A y A A T y ver que son simétricas. b) Para una matriz cualquiera A demostrar que A A T simétrica (utilizar ej. 2 c ) c) Sea A una matriz simétrica de orden n y B cuadradad de orden n. Demostrar que B T A B es simétrica. (utilizar ej. 2c ). d) Mostrar con un ejemplo que pueden ser A y B simétricas pero A.B no. Si A y B son simétricas y conmutan: A. B B. A entonces A.B es simétrica. 11. Sean A y B 0 1 k 1. a) Encontrar los valores de k para los cuales la matriz A B B A es antisimétrica. b) Encontrar los valores de k para los cuales la matriz A B B A es simétrica. 12. Calcular la matriz 1 i i 2. i 2 1 i 1 1 i 1 0 i T

5 A = Aplicando el proceso de Reducción por filas a cada uno de los sistemas siguientes, determinar la solución general, si existe. Verificar en cada caso el Teorema de Rouché-Fröbenius. Verificar las respuestas usando un software adecuado. 2 x y 5 z 1 x 3 y 4 z 4 y 2 z 1 0 x y z x 4 y 3 z 3 0 y z 7 x 2 y z 0 2 x 5 y 3 z 13 0 y 2 z 1 0 x y z 2 2 x 4 y 3 z 3 0 x y 2 i z 0 x i y z 0 2 x i y z 2 i x y z 0 x 2 y z 5 u 7 3 x y 4 z 2 u 8 7 x 7 y 14 z 4 u 10 a 2 b 3 c 0 a 4 b 5 c 0 3 a 5 b 4 c 0 2 t 1 s 2 3 t 2 2 s 1 t 1 3 s 7 x 4 y z 5 w 7 x y 2 w 3 4 x 5 y 3 z w 0 2 x y z w 2 y z w 4 2 x y z 3 w 2 x y z w 0 2 x y z 1 3 x 2 y z 2 w 1 x y z w 2 2 x y 2 z 1 3 x y 3 z w Estudiar el sistema siguiente para cada valor de k : Rta. Para k 0 es incompatible; para k 3 2 es compatible indeterminado con soluciones x, y, z 4, 14, 0 Α 9, 8, x k y 2 z 1 x 2 k z 4 x k y z 3 para k 0 y 3 2 es compatible determinado. 18. Mostrar que el sistema x k y 2 z a k x 2 z b x y z c es compatible y determinado para cada valor real de k. 19. Discutir y resolver los siguientes sistemas para cada valor de la constante a. 2 x y a z 1 x y z 1 0 x y z 0 x y z 2 2 x y z 1 x a y z 0 2 x 2 y z 1 a x y z 0 x a y z 0