UNIDAD 1: ESTUDIEMOS SUCECIONES ARITMETICAS Y GEOMETRICAS.

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1 UNIDAD 1: ESTUDIEMOS SUCECIONES ARITMETICAS Y GEOMETRICAS. Sucesiones Una sucesión es un conjunto de números que son imagen de una función, cuyo dominio son, (normalmente), los enteros positivos, comenzando a partir del 1. Bueno, bueno, no nos preocupemos por las definiciones más o menos rigurosas o académicas; la forma más fácil de "visualizar" una sucesión es pensar en varios números, por ejemplo, la población en millones de habitantes que tienen varios países, y luego ordenar esos números: en la primera posición (n=1), ponemos la nación con más población, y así sucesivamente en orden decreciente, hasta llegar a la menor cantidad de población: en el caso de que tuviéramos una lista con 12 países, el menor en habitantes estaría situado en la posición décimo segunda, n=12. En general, las sucesiones numéricas sirven para ordenar números, en cantidades finitas como en el ejemplo anterior, o en cantidades infinitas, como por ejemplo, sn= 1/n, la cual tiene infinitos elementos: cuáles son?, bien, ya hemos dicho que, n = (1,2,3,4,5...y así sin fin), por lo que el primer elemento será 1/1 = 1, el siguiente, (como fácilmente puede adivinarse) es, 1/2 = 0.5, etc. Si quisiéramos saber cuál es el elemento que ocupa la posición 1320, sólo tendremos que hallar el inverso de este número, es decir: 1 / La expresión sn= 1/n, se denomina "término general de la sucesión", es una forma de escribir de manera compacta la sucesión; cuando sabemos como se "comportan" los elementos de la sucesión, podemos escribir una fórmula que nos de el valor numérico para cualquier posición, por ejemplo, si tengo la colección infinita de números: 2,4,6,8,..., es fácil ver su comportamiento; el primero termino, (n=1), es el 2, a partir de entonces los siguientes se obtienen sumando 2 al anterior, y en vez de escribir todos los elementos para "ver" la sucesión (ridículo e imposible a la vez), lo que hacemos es escribir: sn = 2n. La idea clave sobre el concepto de sucesión es la de " una colección de elementos ordenada. Si quitamos la palabra "ordenar", entonces ya no tenemos una sucesión; lo que tendremos es un conjunto de zapatos, coches, estrellas, sucesiones (! Si, sucesiones de sucesiones), números, etc., y no sabremos responder a preguntas como: cuál es el lugar que ocupa Sirio en la lista de las estrellas más brillantes? o cuántos números primos hay hasta 1000?. Si no hacemos una lista de estrellas en función de su brillo, o de números primos, no podremos contestar a las cuestiones anteriores. En la gráfica de arriba puedes ver una sucesión de números reales (3, 9, 27,...) que están relacionados entre sí, es decir, existe una característica común entre ellos y es, que todos se obtienen al tomar el anterior y multiplicarlo por 3. Pues bien, toda sucesión que cumpla que cualquier elemento de la misma

2 sea igual al anterior multiplicado por un número, que llamaremos r, se denomina sucesión geométrica. En el ejemplo anterior se puede ver que se trata de una sucesión de números reales (creciente), siendo r = 3 y S 1 = 3 (el primer elemento). Desde luego, es muy fácil ver lo que sucede cuando n toma valores muy elevados (para n = 1000, n = ), la sucesión 3 n nos va a dar números muy grandes. Si los elementos de la sucesión representaran distancias (por ejemplo en metros, o lo que quieras), obtendríamos longitudes superiores al tamaño del mismo Universo, o dicho con otras palabras, no es posible pensar en un número que sea mayor que los números que pueden conseguirse con la sucesión 3 n, lo cual implica que no esta "acotada" superiormente. Lo de acotación significa encajar o limitar entre dos valores: podemos encontrar "dos números" entre los cuales estén (3, 9, 27, 81,...)?, pues no, sólo podemos decir están entre el 3 ( u otro más pequeño) y el infinito, pero infinito no es un número concreto, verdad?, por lo que podemos decir que no esta acotada, o que solamente tiene cota inferior ( el 3 o cualquier otro numero menor). Hay dos fórmula muy útiles que nos permiten hallar el termino general de una sucesión geométrica y la suma de una cantidad finita de estos: Termino general de una sucesión geométrica: S n = S 1.r n-1 donde r = razón, S 1 = el primer elemento o término de la sucesión, n = 1, 2, 3, 4,... Suma de los infinitos términos de una sucesión geométrica: Esta ultima formula, sólo tiene sentido utilizarla si "el valor absoluto de de r es mayor que 1", es decir, si r > 1 o r < -1. Veamos, si r es mayor que 1, resulta que los términos de la sucesión van creciendo más y más, puesto que al multiplicar por un número mayor que 1, lo que conseguimos son números mayores que el anterior, con lo que la suma será igual a infinito: sucede lo contrario para valores de r menores que 1 ( entre 1 y -1), al multiplicar por "0,algo" (cero coma algo), obtenemos números cada vez más pequeños, y entonces es posible hacer la suma. En el ejemplo anterior, r=3, con lo que la "suma vale infinito". Esto ultimo es una forma de hablar, suma = infinito, no tiene sentido: suma = un numero concreto, si lo tiene, entonces, este tipo de sucesiones se dice que son divergentes, y de forma equivalente, cuando su suma es finita (un numero), se dice que son convergentes. Veamos un ejemplo: Hay otra clase de sucesiones que se llaman aritméticas: son un conjunto de números ordenados que tienen la propiedad de que cada término es igual al anterior más una constante, d, o diferencia común, Los mismos números enteros, ( Z = 1,2,3,...) son una sucesión aritmética, en donde d = 1: también lo serían, ( -1/2, -1, -3/2, -2,...) con d = -1/2 o (2, 6, 8,..) con d = 2. Disponemos de dos fórmulas para calcular la expresión del término general y el valor de la suma. Hay que tener en cuenta que si sumamos una serie aritmética, con todos sus términos positivos, el resultado será infinito ( o menos infinito cuando todos sus términos son números negativos), puesto que estamos todos sus elementos que son infinitos, en esta situación, sólo tiene sentido sumar una cantidad finita de términos. Bien, las fórmulas son: Término general para una sucesión aritmética: S n = S 1 + (n - 1)d donde d = diferencia, S 1 = el primer elemento o término de la sucesión, n = 1, 2, 3, 4,.. Suma de "n" términos (cantidad finita) para una sucesión aritmética: Suma = (n /2) (2.S 1 + (n - 1)d) Veamos un ejemplo:

3 Progresión geométrica En matemáticas, una progresión geométrica o sucesión geométrica está constituida por una secuencia de elementos en la que cada uno de ellos se obtiene multiplicando el anterior por una constante denominada razón o factor de la progresión. Se suele reservar el término progresión cuando la secuencia tiene una cantidad finita de términos mientras que se usa sucesión cuando hay una cantidad infinita de términos, si bien, esta separación no es estricta. Así, 5, 15, 45, 135, 405,... es una progresión geométrica con razón igual a 3, porque: 15 = = = = y así sucesivamente Ejemplos de progresiones geométricas La progresión 1, 2, 4, 8, 16, 32 es una progresión geométrica cuya razón vale 2, al igual que 5, 10, 20, 40.

4 La razón no necesariamente tiene que ser un número entero. Así, 12, 3, 0.75, es una progresión geométrica con razón 1/4. La razón tampoco tiene porqué ser positiva. De este modo la progresión 3, -6, 12, -24 tiene razón -2. Este tipo de progresiones es un ejemplo de progresión alternante porque los signos alternan entre positivo y negativo. Cuando la razón es igual a 1 se obtiene una progresión constante: 7, 7, 7, 7 Un caso especial es cuando la razón es igual a cero, por ejemplo: 4, 0, 0, 0. Existen ciertas referencias que no consideran este caso como progresión y piden explícitamente que en la definición. Fórmulas pertinentes a progresiones geométricas Si son los términos de una progresión geométrica con razón entonces se cumple la regla recursiva La razón de una progresión geométrica puede entonces obtenerse dividiendo cualquier término por su inmediato anterior: Todos los términos de la progresión quedan determinados así por el primer término y la razón. Efectuando la sustitución en cada paso, la progresión se convierte en de donde se infiere la fórmula para el término n-ésimo: Ejemplo. La secuencia 3, 6, 12, 24, 48, 96 es una progresión geométrica cuya razón es 2 ya que Dado que, podemos calcular directamente cualquier entrada. Por ejemplo: Suma de términos de una progresión geométrica Suma de los primeros n términos de una progresión geométrica Se denomina como S n a la suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica: S n = a 1 + a a n-1 + a n Si se quiere obtener una fórmula para calcular de una manera rápida dicha suma, se multiplica ambos miembros de la igualdad por la razón de la progresión r.

5 Si se tiene en cuenta que al multiplicar un término de una progresión geométrica por la razón se obtiene el término siguiente de esa progresión, S n r = a 2 + a a n + a n r Si se procede a restar de esta igualdad la primera: S n r = a 2 + a a n + a n r S n = a 1 + a a n-1 + a n S n r - S n = - a 1 + a n r o lo que es lo mismo, S n ( r - 1 ) = a n r - a 1 Si se despeja S n, De esta manera se obtiene la suma de los n términos de una progresión geométrica cuando se conoce el primer y el último término de la misma. Si se quiere simplificar la fórmula, se puede expresar el término general de la progresión a n como a n = a 1 r n-1 Así, al substituirlo en la fórmula1 anterior se tiene lo siguiente: Con lo que se obtiene la siguiente igualdad: Con esta fórmula se puede obtener la suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica con sólo saber el primer término a sumar y la razón de la progresión. Suma de términos infinitos de una progresión geométrica Si el valor absoluto de la razón es menor que la unidad r < 1, la suma de los infinitos términos decrecientes de la progresión geométrica converge hacia un valor finito. En efecto, si r < 1, tiende hacia 0, de modo que:

6 En definitiva, la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica de razón inferior a la unidad se obtiene utilizando la siguiente fórmula: