ECUACIONES Y SISTEMAS 3º E.S.O. x = 8. 5x 20 = 0 x = 4. Son equivalentes. Las tres tienen como solución x = 2 ECUACIONES

Transcripción

1 ECUACIONES ECUACIONES Y SISTEMAS º E.S.O. Una ecuación es una igualdad entre números y variables, llamadas incógnitas, relacionadas por operaciones aritméticas. 5 0 = 0 = Resolver una ecuación es encontrar el valor, o los valores, que deben tomar las incógnitas para que la igualdad sea cierta. = = = 0 = ECUACIONES. ELEMENTOS Y NOMENCLATURA ECUACIONES EQUIVALENTES Primer miembro Segundo miembro Dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen las mismas incógnitas y las mismas soluciones. Segundo grado + 1 = 9 Términos Incógnita + 1 = = 9 = 8 Son equivalentes. Las tres tienen como solución =

2 ECUACIONES. REGLA DE LA SUMA Primer caso: + a = b Lo que está sumando en un miembro pasa restando al otro miembro. Segundo caso: a = b + = = Lo que está restando en un miembro pasa sumando al otro miembro. = = + Tercer caso: a = b Lo que está multiplicando en un miembro pasa dividiendo al otro. 6 = a = b Lo que está dividiendo en un miembro pasa multiplicando al otro. = = Cuarto caso: ECUACIONES. REGLA DEL PRODUCTO. ECUACIONES DE PRIMER GRADO. ECUACIONES DE PRIMER GRADO. 1 5 = = = = 6 = ( ) ( ) 5 = = = 8 = 1 = 1

3 ECUACIONES DE PRIMER GRADO. ECUACIONES DE PRIMER GRADO. 5 1 = = = 9 10 = = 1 = = 6 1 = 8 + = = = = = 8 = 8 9 Son ecuaciones del tipo a + b + c = 0 con a 0 Cuando b = 0 ó c = 0, la ecuación se llama incompleta y se puede resolver de forma sencilla sin necesidad de aplicar la fórmula anterior. Son ecuaciones del tipo a + b + c = 0 con a 0 Cuando b = 0 ó c = 0, la ecuación se llama incompleta y se puede resolver de forma sencilla sin necesidad de aplicar la fórmula anterior. a + c = 0 se despeja. Resuelve la ecuación de º grado: 178 = 0 Las soluciones de la ecuación de º grado son: = y = 178 = 0 = 178 = = = = ± a + b = 0 (a + b) = 0. Sus soluciones son = 0, = b/a. Resuelve la ecuación de º grado: 1 = 0 = 1 0 ( ) Las soluciones de la ecuación de º grado son: = 0 y = 1 = 0 = 0, 1 = 0 = 0, =

4 Son ecuaciones del tipo a + b + c = 0 con a 0 Sus soluciones se obtienen aplicando la siguiente fórmula: = b ± b ac a a = 1 Resuelve la ecuación de º grado = 0 b = 5 c ± ( 5) 1 6 = = 5 ± 5 5 ± 1 5 ± 1 = = = = = = = Sus soluciones son: = y = Son ecuaciones del tipo a + b + c = 0 con a 0 Sus soluciones se obtienen aplicando la siguiente fórmula: = b ± b ac a Resuelve la ecuación de º grado a = b c = = 0 = = = 5 ± 5 ( 6) 5 ± ± 11 5 ± = = = = = = = 8 8 Sus soluciones son: = y = Son ecuaciones del tipo a + b + c = 0 con a 0 La epresión b ac indica el número de soluciones. Se llama discriminante. Si b ac > 0, la ecuación tiene dos soluciones reales. Si b ac = 0, la ecuación tiene una solución reales. Si b ac < 0, la ecuación no tiene soluciones reales. Halla el número de soluciones sin resolver la ecuación de º grado: a = b b ac c = 6 ( ( )) = 0 = 5 = 5 6 = = 11 > 0 Tiene dos soluciones ECUACIONES DE GRADO MAYOR QUE DOS Son ecuaciones con un polinomio de grado mayor que dos igualado a cero. Resuelve la ecuación 7 + = a = 1 1 = 0 b = c = ± ( 1) 1 ( 1) 1± = = = = 1± 9 1± 7 = = = = = Solución: = 1, =, =, =

5 PROBLEMAS DE ECUACIONES La suma de tres números naturales consecutivos es igual al cuádruple del menor. De qué números se trata? 1º Número menor Siguiente + 1 Siguiente + º º ( ) ( ) = + = = = = = Solución: Los números son, y 5 º PROBLEMAS DE ECUACIONES Calcula las dimensiones de un rectángulo en el que la base mide cm menos que la altura y la diagonal mide 10 cm. º + = 10 ( ) ( ) + = = = º ± = ± 8 = 8 = = = 6 no vale Solución: Mide 8cm de alto y 6cm de base º SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES SISTEMAS. MÉTODO DE SUSTITUCIÓN. Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas está formado por dos ecuaciones lineales donde las incógnitas representan los mismos valores. y = y = y = y = = Una solución de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas es un par de números que verifican las dos ecuaciones. y = 5 + y = 16 y = 5 + y = 16 Solución: = 7 ; y = ( ) = = 6 = 6 5 = = 5 = Solución : = y =

6 SISTEMAS. MÉTODO DE SUSTITUCIÓN. 10 9y = 8 + y = 1 y = 1 + ( ) = = = = = 8 = y = 1 + ( ) = Solución : y SISTEMAS. MÉTODO DE REDUCCIÓN. y = y = y = + 6y = 1 5y = 15 y = = + y = + = = + 6 Solución : y = = SISTEMAS. MÉTODO DE REDUCCIÓN. 10 9y = y = 8 + y = y 0 y = = 1 y y = 1 y = 1 6 = = Solución : y 6 = = SISTEMAS. MÉTODO GRÁFICO. Resolver gráficamente el sistema: + y = y = 1 Paso : Dibujar las líneas. Paso 1: Darle valores. + y = y = 1 y = 1 1+ y = = y y Solución = 1 ; y = 1

7 PROBLEMAS DE SISTEMAS DE ECUACIONES Pepa tiene 5 años más que su hermano Enrique, y entre los dos suman 1 años. Cuál es la edad de cada uno? 1º º Edad de Pepa = y + 5 Edad de Enrique y + y = 1 Solución: Pepa tiene 1 años y su hermano 8 años. º ( y ) y = 1 y + y = 1 5 y = 16 y = 8 = y + 5 = = 1 º PROBLEMAS DE SISTEMAS DE ECUACIONES La semana pasada, dos entradas para el cine y una caja de palomitas nos costaron 10. Hoy por cuatro entradas y tres cajas de palomitas hemos pagado. Cuánto cuesta una entrada? Y una caja de palomitas? 1º º Precio Entrada Precio caja Palomitas y º + y = 10 + y = Solución: Una entrada cuesta y una caja de palomitas. y = 0 + y = y = + y = 10 + = 10 = 10 = 8 = = 8 º