TEMA 6: Ecuaciones. 6.1 Ecuaciones. Solución de una ecuación. Ejemplo. Ecuación con la x en el denominador. x 2 2x 1 67x 9 Ecuación con radicales

Transcripción

1 TEMA : Ecuaciones.1 Ecuaciones. Solución de una ecuación Ejemplo 1. Determina si las siguientes expresiones son ecuaciones: a. 3 x 15 0 Ecuación con la x en el denominador b. a 5 a 3 Ecuación polinómica c. 3 3 No es una ecuación, es una verdad matemática d. 3x 1 7 Ecuación polinómica e. 5 x x 1 7x 9 Ecuación con radicales f. x3 3x 3x3 5 Ecuación con la x en el exponente. Determina si es solución de alguna de estas ecuaciones: a. x 3 Sustituimos x por el valor 3 3 FALSO Entonces no es solución b. x 1 x x 1 Sustituimos x por el valor CIERTO Entonces es solución Tareas : todos los ejercicios de la página 10 3 Tanteando, halla la solución de las siguientes ecuaciones: a. x 3 Hacemos x no vale Hacemos x no vale Hacemos x no vale Hacemos x si vale Encuentra la solución, aproximando hasta las décimas, de las siguientes ecuaciones. Hazlo por tanteo ayudándote de la calculadora. 1

2 a. x Hacemos x Hacemos x Hacemos x Entonces estará entre 11 y 1 Hacemos x Hacemos x Hacemos x La aproximación hasta las décimas es 1.0 Tareas : todos los ejercicios de la página 105. Ecuaciones de primer grado Ejemplo 1. Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado aplicando las transformaciones propias de esta situación: a. 3x 5x 17 3x 5x 17 3x 5x 17 3x 5x 5x 5x 17 3x 5x 17 x 3 x 3 x 3 b. 3x 5x 17 3x 5x 17 3x 5x x 5x Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado: a. x x x 1 x 1 7 b. 3x 5 9 7x, Solution is: 17 3x x x 3x 17x x 17 c. 3x x 1 x 3x 53 7 x x 53 7 x 1 x 9x 15 x 1 1x 1, Solution is: 39 5 x 1

3 13x 1x 15 5x 39 x 39 5 Tareas : todos los ejercicios de la página Ecuaciones de segundo grado Ejemplo 1. Resuelve las siguientes ecuaciones de º grado calculando por separado el discriminante: a. x 17 x 15 0 x 17 x 15 0 x 17x 15 0 Ecuación de º grado completa con a b 17 c 15 x b b ac a tenemos dos soluciones distintas 59 3 b. 0 x x 19 Ecuación de º grado completa con a 1 b c x b b ac a entonces tenemos una solución única doble c. 0 x x 13 Ecuación de º grado completa con a 1 b c 13 x b b ac a 1 no tiene solución pues no podemos calcular raíces de números negativos entonces no tiene solución Tareas : todos los ejercicios de la página 10 Resuelve las siguientes ecuaciones de º grado incompletas, y calcula su discriminante: a. 5x 5 0 5x 5 x 5 5 x 1 9 x

4 Ecuación de º grado incompleta con a 5 b 0 c 5 b ac tienes dos soluciones distintas b. x 7x 0 x 7x 0 "El producto de dos números es cero si uno de ellos es cero" x 0 7x 0 7x x 7 9 Ecuación de º grado incompleta con a 7 b c 0 b ac tienes dos soluciones distintas Tareas : todos los ejercicios de la página Resuelve las siguientes ecuaciones de º grado: a. x 1 x 1 x x 1 x x 1 x x x x 1 1 x x 1 1 x x x x 1 x x 1 1 x 15 1 x x 1 1 x 15 1 x 0 x x 1 0 x 1 x 1 1 Tareas : todos los ejercicios de las páginas 110 y Resolución de problemas con ecuaciones Tareas : todos los ejercicios de las páginas 11 y EJERCICIOS Y PROBLEMAS f x 7 x 11 pues al restarle 7 nos da cuya raíz es Tareas : todos los ejercicios que faltan del 1

5 d x 3 x x 15 Vamos dando valores a la x hasta acertar: x 3 x x La solución es x 3 Tareas : todos los ejercicios que faltan del 3 f x Vamos dando valores a la x hasta quedarnos muy próximos a la solución: x x x x x x x Tareas : todos los ejercicios que faltan del 3 d x 7 33x 1 7 x x 9x 3 7 x x 31 5 x 5 31 x x x x 13 Comprobación: Tareas : todos los ejercicios que faltan del 5 e x 3 3 x m. c. m.3, 5

6 3 x 1 3 x Como tenemos una igualdad entre fracciones que tienen todas el mismo denominador se pueden suprimir los denominadores: x 3 3x x 1 3x 1 x 3x 7x 1 x 1 7 Tareas : todos los ejercicios que faltan del 5 d x 1 1 3x 3 5 x 1 3 x m. c. m., 5, 0 0 x x 3 x x 0x 10 30x 1x 15 5x x x x 5x x 1 x 1 3 Comprobación: Tareas : todos los ejercicios que faltan del 7 c xx 1 x 1 3x 1 1 m. c. m.,, xx 1 x x 1 1 3x 1 1 x x x x 1 x 1 x x x x x x 1 Advertencia: los deberes se entregarán a las 1:50 de la clase del día Tareas : todos los ejercicios que faltan del 7

7 d x x 7 x x 1 m. c. m., x x 7 x x x 7 x 7 x x 5 x x 5 Comprobación: Tareas 1-0-1: todos los ejercicios que faltan del d x 1 1 x x 1 1 x m. c. m.1,, 1 x 1 1 x x 1 x x x 1 x x x 1 x x x 0 0 Como la igualdad es cierta para cualquier valor de la x, la ecuación tiene infinitas soluciónes (cualquier valor que le des a la x la cumple) Tareas 1-0-1: todos los ejercicios que faltan del 9 10 d xx 1 3x x7 x x x x 3x 3x 7x x x x x 9x x 1 5x x x x 9x x 5x x 1 1x x 1 3 Tareas 1-0-1: todos los ejercicios que faltan del 10 7

8 11 a. 3x 1x 0 Ecuación de º grado incompleta pues c 0 3xx 0 Un producto es igual a cero si uno de los multiplicandos es cero. x 0 Ó x 0 x Tenemos dos soluciones distintas h 3x 0 Ecuación de º grado incompleta pues b 0 3x x 3 x Tareas : todos los ejercicios que faltan del 11 Tareas -01-1: 1, 13 1 d 5x 7x 3x 0 5x x 7x 1x 3x 0 5x 0x 0 7x 17x 0 x 3x 1 0 Ecuación de º grado completa con a b 3 c 1 x b b ac a Tareas -01-1: todos los ejercicios que faltan del d x x 1 x

9 x x 1 x x 1 x x 1 x x 1 0 3x x 15 0 Ecuación de º grado completa con a 3 b c 15 x b b ac a Tareas -01-1: todos los ejercicios que faltan del e x 1 x 1 x 3 x 1 m. c. m.,, 3, 1 x 1 3x x 1 x x x x 3x x 3 x x x x 3 0 x 1 0 Ecuación de º grado incompleta pues b 0 1 x x 1 1 Tareas -01-1: todos los ejercicios que faltan del 1 17 d x x 3 7x 10 m. c. m.3,, 1 1 x 3x x 7x 10 x 3 1x x 1 1x 0 0x 1x x x x 0 Ecuación de º grado incompleta pues c 0 xx 0 El producto de dos números es cero si uno de ellos es cero. x 0 Ó x 0 9

10 x Tareas -01-1: todos los ejercicios que faltan del 17 1 d 15 x 7 x m. c. mx, x x x x x 15 x x 7 x x 1 x x x 30x 7 x x 0 7 x 30x x 0 7 3x x 0 1 9x x 0 1 9x x Ecuación de º grado completa con a 1 b 9 c 1 x b b ac a Tareas -01-1: todos los ejercicios que faltan del 1 Tareas : 19, El primer número impar es x 1, el siguiente número impar es x 3 y el tercer número impar es x 5 "tres números impares consecutivos cuya suma es 117" x 1 x 3 x Hay que resolver la ecuación planteada: x x Entonces los números impares son Comprobación: Tareas :, Llamamos x al precio inicial. 10

11 Los datos que nos dan son: el precio ha subido un 15% en diciembre: Cuánto costaban los zapatos en diciembre? x x x 0. 15x 1. 15x el precio ha bajado un 0% en enero: Cuánto costaban los zapatos en enero? 1. 15x x 1. 15x 3. 0x 1. 15x 0. 3x 0. 9x el precio inicial ha disminuido en. 9 euros: 0. 9x x. 9 Resolver la ecuación: x 0. 9x x. 9 x El precio inicial era 7 euros Tareas : 5, 7 El primer entero es x, su siguiente es x 1 Tenemos que: "la suma de sus cuadrados es 15" x x 1 15 Resolver la ecuación: x x x 1 15 x x 1 0 x x 7 0 "El producto de números es cero si uno de ellos es cero" x x 7 0 Ecuación de º grado completa con a 1 b 1 c 7 x b b ac a Las soluciones son :, 9,9, Comprobación: Tareas :, Llamamos x a los años que tienen que transcurrir: Tenemos la tabla siguiente: 11

12 edad actual edad después de x años padre 3 3 x hijo mayor x hijo menor 9 9 x Los datos son: "entre los dos hijos igualen la edad del padre" 3 x 11 x 9 x Resolver la ecuación: 3 0 x x 3 Tienen que pasar 3 años Tareas : 31,3 33 Consideramos la tabla siguiente: aceite de orujo aceite de oliva mezcla cantidad (l) x 0 0 x precio (euros/l) coste x x El coste de la mezcla tiene que ser igual al coste de los ingredientes: 1. x x, Solution is: x x x 1. x x x Se necesitan 0 l de aceite de orujo Tareas -01-1: 3,35 3 x son las plazas del autobus Los datos que te dan son: con todas las plazas ocupadas el precio del billete es 1 euros 1 x cuesta utilizar el autobus plazas libres el viaje cuesta 13.5 euros x cuesta utilizar el autobus En ambos casos el coste es el mismo: 1x x 13. 5, Solution is: x 13. 5x x 1x x El autobus tiene 3 plazas Tareas -01-1: 37,3 39 1

13 Llamamos x a la cantidad ingresada en el banco primero. Tenemos los siguientes datos: x va a la cuenta que le dan un % % de x 100 x me dan anualmente 000-x va a la cuenta que le dan 3.5% 3. 5% de 000 x anualmente la primera parte produce anualmente 0 euros más que la segunda 100 x x Resolvemos la ecuación: x x 0, Solution is: x x x 3. 5x x Colocamos en un banco 1000 euros y 1000 euros en el otro. Tareas -01-1: 37, x 100 me dan El tiempo que conduce a 0 km/h es x Los datos que tenemos es que: se para 15 min conduce un buen rato a 100 km/h recorre una distancia de x recorre 50 km 50 x x tarda 3 horas contando la parada está en movimiento horas y 5 minutos (se para 15 minutos) e v t Resolvemos la ecuación: 50 x x 50 x x, Solution is: 1. 5 Esta conduciendo a 0 km/h una hora y quince minutos. Tareas -01-1: 0,1 Tareas : 3, 5 Realizamos un dibujo de la situación: 13

14 Sabemos que el área de un rectángulo es base por la altura: 0 x 5x, Solution is: 7,10 0 x x x 5 x 5 Los lados del rectángulo son 7 y en cm Tareas :,7 El resto es 101 en vez de 75. Se cumple que: D d c r Llamamos x al número menor Los datos que tenemos son: dos números naturales que suma 5 el número mayor será 5 x al dividir el cuadrado del mayor entre el cuadrado del menor se obtiene 5 de cociente y 101 de resto 5 x x Resolvemos la ecuación: 5 x x 5 101, Solution is:, x x x Sòlo nos vale el. Los números naturales pedidos son y 5 59 Tareas : 9,50,5 51 El grifo uno (rápido) tarda x horas en llenar el depósito. El grifo dos (lento) tarda x horas en llenar el depósito. Los datos adicionales son: abriendo los dos a la vez, tardan ocho horas en una hora 1 del depósito se llenará 1 1 x x 1 en una hora el grifo uno llena 1 x del depósito. en una hora el grifo dos llena 1 x del depósito. Resolvemos la ecuación: 1 1 x x 1, Solution is: x x 1 m. c. m., x, x x x 1 x x 1 x x 1 x x x Como a ambos lados de la igualdad tenemos el mismo denominador, los puedo suprimir. x x 1 1