Tema 3: Expresiones algebraicas

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1 .1 Polinomios Tema : Expresiones algebraicas Determina cuáles de las siguientes expresiones son polinomios. Cuando lo sean, dí cuáles son sus monomios(términos), su grado, término principal, término independiente, coeficientes y variables. a) x 2 x 1 2 NO!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! Los exponentes de las variables sólo pueden ser números naturales. b) x 2x2 1 x 2x 2 1 NO!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! Los exponentes de las variables sólo pueden ser números naturales. c) 5 0x 2 0x 5 5 x 0 Si es un polinomio. Por lo tanto, todos los números reales son un polinomio. Tiene un único monomio: 5 Que da la casualidad que es el término independiente. Su grado es 0 d) x 11x 2 2x 2 Si es un polinomio. Sus monomios son: x,11x 2,2x,2 Sus coeficientes son:, 11, 2, 2 Su término principal: x Su término independiente: 2. La variable es x Su grado es : el grado es el mayor de los grados de los monomios que lo forman. Calcula el valor numérico de Px x 11x 2 2x 2 para los siguientes valores: 0, -1, 2 P P P Halla las raíces del siguiente polinomio Qx x 2x x 1x x x 7x 2 x 2 Los monomios son: x,x,7x 2,x,2 Su término principal es : x Su término independiente: 2 Su grado es. Los coeficientes son 1,,7,,2 Los divisores del término independiente 1, 2,,, 6, 8, 12, 2 Por el Teorema Fundamental del Álgebra nuestro polinomio como tiene grado cuatro tiene cuatro raíces. Calculamos valores numèricos de Q(x) para los divisores del término independiente: Q no es raiz de Qx Q es raiz de Qx Q no es raiz de Qx Q es raiz de Qx Q es raiz de Qx Q es raiz de Qx Y asi con todos los divisores de -2. 1

2 Tareas : todos los ejercicios de la página Suma y diferencia de polinomios Determina cuáles de los siguientes monomios son semejantes: 12x y 2 x 7 7x y 2 11x 7 Son semejantes: 12x y 2 y 7x y 2 Son semejantes: x 7 y 11x 7 Realiza las siguientes sumas, restas y producto por un número: a) 12x y 2 11x 7 Se queda asi, pues los monomios no son semejantes. b) 12x y 2 7x y x y 2 19x y 2 c) x 7 11x 7 11x 7 8x 7 d) 2 11x x 7 22x 7 e) x 7 x 7 9x 7 f) x x 2 11x 5 2x 6x 9x 8 x 6x x 2 2x Otra forma de hacerlo x x 2 11x 5 2x 6x 9x 8 x 6x x 2 2x hemos sumado en columna. g) 5x 6x x 2 2x 2x x 2 11x 5 15x 0x 15x 2 10x 15 2x 6x 2 22x 10 15x 0x 15x 2 10x 15 2x 6x 2 22x 10 1x 0x 9x 2 12x 25 5x 6x x 2 2x 15x 0x 15x 2 10x 15 2x x 2 11x 5 2x 6x 2 22x 10 Otra forma de hacerlo 5x 6x x 2 2x 2x x 2 11x 5 Hemos restado en columna. Otra forma de hacerlo 5x 6x x 2 2x 2x x 2 11x 5 15x 0x 15x 2 10x 15 2x 6x 2 22x 10 1x 0x 9x 2 12x 25 15x 0x 15x 2 10x 15 2x 6x 2 22x 10 Hemos sumado en columna Tareas : todos los ejercicios de la página 51 1x 0x 9x 2 12x 25. Producto de polinomios. Identidades notables. Realiza las siguientes operaciones: a) 9x 2 x 9 x 21 9x b) 6x 2x 6 2 x 12x 7 c) x x 2 11x 52x 2 7x x 2x 2 7x x 2 2x 2 7x 11x2x 2 7x 52x 2 7x 2x 5 7x x 6x 21x 12x 2 22x 77x 2 x 10x 2 5x 20 2

3 2x 5 1x 9x 75x 2 9x 20 Otra forma de hacerlo: Ponemos uno encima de otro, de forma que el que tiene menos términos va debajo. x x 2 11x 5 x 2x 2 7x x 12x 2 x 20 7x 21x 77x 2 5x 2x 5 6x 22x 10x 2 2x 5 1x 9x 75x 2 9x 20 Se cumple que: gradox x 2 11x 5 grad o2x 2 7x grad o2x 5 1x 9x 75x 2 9x 20 Es decir: 2 5 Aplica las identidades notables en las siguientes expresiones: a) 1 x x x 2 x 2 2x 1 Hemos aplicado el cuadrado de una diferencia que es igual al cuadrado del primero menos el doble del primero por el segundo más el cuadrado del segundo. b) x 1 2 x 2 2 x x 2 6x 1 Hemos aplicado el cuadrado de una suma que es igual al cuadrado del primero más el doble del primero por el segundo más el cuadrado del segundo. c) 5x 2 5x 2 2 5x x Hemos aplicado suma por diferencia igual a diferencia de cuadrados. d) x 6 12x 9 2x 2 2 2x 2 2x 2 Hemos aplicado la igualdad a 2 2ab b 2 a b 2 e) 11x 8 25x x x x 5x 6 11 x 5x 6 Hemos aplicado la igualdad a 2 b 2 a ba b f) x x x x 2 1 x 2 Hemos aplicado la igualdad a 2 2ab b 2 a b 2 NOTA: Tenemos las siguientes fórmulas para la potencia de exponente : a b a a 2 b ab 2 b a b a a 2 b ab 2 b a b a a b 6a 2 b 2 ab b a b a a b 6a 2 b 2 ab b Tareas : todos los ejercicios de la página 52. División de polinomios Realiza las siguientes divisiones con expresiones algebraicas: a) 12x x 5 12x x 5 x 2 x 2 Como el resultado no es monomio, esta división de monomios no se puede hacer. b) x 5 12x 12 x 5 1 x2 c) 26x 6 1x 26 1 x 6 2x d) 1x 2x x 2 1 2x 2 1x 2x 2 2x 2x 2 x 2 2x 2 1 2x 2 No se puede hacer dado que en la última división el dividendo tiene menor grado que el divisor. e) 1x 2x x 2 2x 2 1x 2x 2 2x 2x 2 x 2 2x 2 7x 2 12x 17

4 f) 15x 5 5x 75x 5x x 7x 2 15 g) 1x 16x 8x 2 6x 10 2x 2 x 1 1x 16x 8x 2 6x 10 2x 2 x 1 1x 21x 7x 2 7x x x x 2 6x 7x x2 7 2 x x x x2 27 x x 69 Se cumple que: 1x 16x 8x 2 6x 10 2x 2 x x x 109 Tareas : todos los ejercicios de la página 5.5 Regla de Ruffini : Realiza las siguientes divisiones: a) 16x 8x 2 6x 10 x 5 16x 8x 2 6x 10 x 5 16x 80x 2 16x 2 88x x 2 6x 88x 2 0x 0 6x 10 6x Otra forma de hacerlo: resto De esta tabla sacamos: cociente 16x 2 88x 6 resto b) 2x 6x 7x 2 10x 5 x x 69 2x 2 x 1

5 resto De esta tabla sacamos: cociente 2x x 2 27x 125 resto 60 Tareas : todos los ejercicios de la página 5.6 Teoremas del resto y del factor a) Dado el polinomio Px 16x 8x 2 6x 10 Se pide: a.1) P5 220 basta aplicar el teorema del resto y consultar el ejemplo a del apartado anterior. P En efecto, el teorema del resto no miente! a.2) Cuál es el resto de la siguiente división Px x 2, sin aplicar la Regla de Ruffini o realizar la división? Aplicando el teorema del resto calculamos P sería el resto. Hagamos la regla de Ruffini: resto En efecto, el teorema del resto no miente! b) Dado el polinomio Qx x 10x 5x 2 50x 2 Se pide: b.1) Cuál es el resto de la siguiente división Qx x 1? Por el teorema del resto será Q b.2) La anterior división es exacta o entera? La división es entera dado que el resto es distinto de cero. b.) Cuál es el resto de la siguiente división Qx x 1? Por el teorema del resto será Q Se trata de una división exacta; es decir, 1 es raiz de Qx. Esto nos dice tambien que Qx x 1 Hx Como encontramos Hx : aplicando la Regla de Ruffini resto De esta tabla sacamos: cociente x 9x 2 26x 2 resto 0 Por lo tanto como D d c r tendremos que: Qx x 1 x 9x 2 26x 2 0 x 1x 9x 2 26x 2 Así Hx x 9x 2 26x 2 Tarea para casa : todos los ejercicios de la página 55.7 Factorización de polinomios Factoriza los polinomios siguientes: a) Wx x 2 12x 6 x 6 2 5

6 Esto esconde a 2 2ab b 2 a b 2 Tenemos una raiz, 6, doble Cuál es el grado de Wx? Tiene grado 2. Según el Teorema fundamental del álgebra, cuántas raíces tendrá. Tendrá dos, que son las que hemos encontrado. b) Tx 2x 2 7x 15 Trabajamos con la ecuación de 2º grado completa 2x 2 7x 15 0 con coeficientes a 2 b 7 c 15 Para resolverla aplicamos: x b b2 ac 2a Tenemos dos raíces simples: 5 y 2 La factorización es: Tx 2x 2 7x 15 2x 5 x 2 Cuál es el grado de Tx? Tiene grado 2. Según el Teorema fundamental del álgebra, cuántas raíces tendrá. Tendrá dos, que son las que hemos encontrado. c) Qx x 10x 5x 2 50x 2 Cuál es el grado de Qx? Tiene grado Según el Teorema fundamental del álgebra, cuántas raíces tendrá. Tendrá cuatro raíces. Cuál es el término independiente? 2 Cuáles son los divisores del término independiente? 1, 2,,, 6, 12, 8, 2 Si el polinomio "está bien diseñado" las cuatro raíces han de estar entre estos números. Por el teorema del resto y el teorema del factor vamos a buscar valores que hagan cero el valor numérico del polinomio en ese número para luego aplicar la Regla de Ruffini Ya sabemos por el apartado anterior que: Qx x 1x 9x 2 26x 2 pues 1 era raiz Ahora trabajamos con Q 1 x x 9x 2 26x 2 Calculamos los valores numéricos para Q 1 x siguientes: Q no es raiz de Q 1 x Q es raiz de Q 1 x Aplicamos la Regla de Ruffini para x resto De esta tabla sacamos: cociente x 2 7x 12 resto 0 Además tenemos que Q 1 x x 2x 2 7x 12 Por lo tanto Qx x 1x 2x 2 7x 12 Aplicando la fórmula de una ecuación de 2º grado sacaríamos que: x 2 7x 12 x x Finalmente: Qx x 1x 2x x 6

7 Tenemos cuatro raíces distintas: 1, 2,, Los factores primos de Qx son: x 1,x 2,x,x Esta forma de hacerlo es muy larga, vamos a atajar: Qx x 10x 5x 2 50x 2 Cuál es el grado de Qx? Tiene grado Según el Teorema fundamental del álgebra, cuántas raíces tendrá. Tendrá cuatro raíces. Cuál es el término independiente? 2 Cuáles son los divisores del término independiente? 1, 2,,, 6, 12, 8, 2 Vamos a aplicar la regla de Ruffini para estos divisores del término independiente, quedándonos sólo con aquellas raíces que hacen cero el resto resto resto resto Entonces las raíces son: 1,2,, Y la descomposición en factores primos nos queda: Qx x 1x 2x x d) Calcula el m. c. d y el m. c. m. de los siguientes polinomios: Px 2 x x 2 Qx x 2 x x 9x 0x 2 x 2 Rx x 1x 2 x 2 x 7x 1x 2 x 18 Tendremos que: m. c. d.px, Qx, Rx x 2 pues son los factores primos comunes con el menor exponente. m. c. m.px, Qx, Rx 2 x 2 x 7 10x 6 x 5 2x 55x 106x 2 12x 72 pues son los factores primos, comunes y no comunes, con el mayor exponente. Tareas : todos los ejercicios de la página 57: Apoyo ejercicio 19 página 57 a) Px x 5 x 2x 6x 2 x x 1 2 Qx x x 2 x x x 1x 1 b) Px x Qx x 2 x xx 1 Rx x 2x 2 x xx 1 2 c) Px x 2 1 x 1x 1 Qx x 2 2x 1 x 1 2 Rx x.8 Fracciones algebraicas Comprueba si son equivalentes las siguientes fracciones algebraicas: a) 6 y Hemos de calcular: como son iguales las fracciones son equivalentes

8 Es decir, b) x2 2x 1 y x 6x2 x 5 2x 2 1 x 2 2x 1 2x 2 1 Hemos de calcular: x 6x 2 x 5 Es imposible que salgan iguales dado que el primero va a tener grado (2 2 ) y el de abajo grado (2 1 ). Por lo tanto no son equivalentes. Es decir, x2 2x 1 x 6x2 x 5 2x 2 1 c) x2 8x y x 2 x 1 2 x 2 8x 1 Hemos de calcular: Imposible pues el primero tendrá un x 2 mientras que el segundo x 2 x 2 sólo tendrá x 2 Es decir, x2 8x x 2 x 2 1 Simplifica las siguientes fracciones algebraicas: a) hemos dividido numerador y denominador entre 8 b) c) d) x 2x x x 2x 2x x 1 x 2 e) x 12 x x x 2 x 2 x 12 x x Apoyo al ejercicio 21 de la página 58 a) 2x x 11x 2 11x x 2x 1x 1 2 2x x 2 8x x x 12x 1 b) x 2x 2 9x 18 x 2x x x 7x 2 16x 12 x x 2 2 Tareas : todos los ejercicios de la página 58.9 Operaciones con fracciones algebraicas Realiza las siguientes operaciones con fracciones algebraicas: a) m. c. m.6, 5, pues b) x 5 x 2 x 5 x 1 2x 7 x 2 2x 1 x 1 x 5 x 1x 5 x2 8x 5 5x 2 5x 2x 2 7x 8 2 x 2x x2 8x 5 5x 2 5x 2x 2 7x 6x2 20x 5 Tenemos que hacer la descomposición en factores primos de los denominadores: 8

9 x 2 x xx 1 x 0x 1 x 1 x 1 x 2 2x 1 x 1 2 x 5 x 2 x x 2 x x 5 5 x 1 x 1 5 m. c. m. x 1 2 x x 1x 5 2x 7 x 2 2x 1 x 2 2x 1 2x 7 x 1 x 5 x 2 5x x 5 x 2 8x 5 x 1x 5 5x 2 x 5x 2 5x x 2x 7 2x 2 7x c) d) x x 5 x2 16x 9 x 1 x 5 2x 6x 9 2x 2x 5 x2 1 x2 2x 5 2x 5 Recordad que 6x 9 2x e) f) x2 12x 9 2x x 1 x2 12x 92x 2 x x x 2 2x 2 x x x 2 2x x 1 2x 2 x2x 1 2x 2x 1 x 2 x 12x x 1 xx 1x 1 Tareas : todos los ejercicios de la página 59 Tareas : todos los ejercicios de la página 61 x 2x 7 Ejercicios finales de la unidad 27 Identifica el número de variables, el grado, los coeficientes y el término independiente de los siguientes polinomios d ab cd 2 2d 7 Las variables a, b, c, d El grado Hay que darse cuenta de cd 2 Los coeficientes,, 2, 7 El término independiente 7 Tareas : todos los ejercicios que faltan del Calcula el valor numérico en x 2 y x de los siguientes polinomios. a. Px x 2x 2 P P Tareas : todos los ejercicios que faltan del Halla los coeficientes de un polinomio de segundo grado Px tal que P1 6, P2 1, P 2 Como se trata de un polinomio de segundo grado será Px ax 2 bx c donde a, b y c son números. Sustituimos los valores conocidos: P1 6 P2 1 P 2 a 1 2 b 1 c 6 a 2 2 b 2 c 1 a 2 b c 2 a b c 6 a 2b c 1 9a b c 2 Hay que resolver este sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas. Despejamos c en la primera ecuación y la sustituimos en las otras dos: 9

10 c 6 a b a 2b 6 a b 1 9a b 6 a b 2 c 6 a b a b 7 8a 2b 18 Tomamos sólo las dos últimas ecuaciones: a b 7 a b 9 c 6 a b a b 7 a b 9 Se trata de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas que se resuelve por el método de reducción: se resta en columna. a 2 a 2 Sustituimos este valor de a para hallar b: 2 b 7 b 1 Finalmente c Por lo tanto Px 2x 2 x 0 Simplifica los siguientes polinomios: d 2x 1x 2 2 2x 2x 2 2 x x 2x 2 x 2x 8x 2 8x 2x 2 8x 8 2x 10x 2 16x 8 Tareas : todos los ejercicios que faltan del 0 1 Dados los polinomios: Px 2x x 2 x Qx x x 2 2 Rx x 2 2x 5 b 2Px Qx Rx 2Px Qx Rx x 6x 2 2x 6 x x 2 6 9x 2 6x 15 x 18x 2 x hemos sumado en columna Tareas : todos los ejercicios que faltan del 1 2 Simplifica las siguientes expresiones algebraicas: e 2 x 5 2 x x 10 9 x2 15 x x 10 9 x2 15 x Tareas : todos los ejercicios que faltan del 2 Desarrolla estas potencias empleando las identidades notables. c 2zxyxy 2z xy 2zxy 2z xy 2 2z 2 9x 2 y 2 z 2 Hemos aplicado a ba b a 2 b 2 e x 6y 2 x 2 2 x 6y 6y 2 9x 2 6xy 6y 2 Hemos aplicado a b 2 a 2 2ab b 2 f 5x 7zt 2 5x 2 2 5x 7zt 7zt 2 25x 2 70xzt 9z 2 t 2 Hemos aplicado a b 2 a 2 2ab b 2 Tareas : todos los ejercicios que faltan del Emplea las identidades notables para escribir estas expresiones en forma de producto c 9x 2 12xy y 2 x 2 2 x 2y 2y 2 x 2y 2 Hemos aplicado a 2 2ab b 2 a b 2 e 2x 6 1zt 2 2 x 2 12 z t 2 2 x 12 z t 2 x 12 z t Hemos aplicado a 2 b 2 a ba b f 9x 56 x y 2 16y 7 x x y 2 y x y 2 2 Hemos aplicado a 2 2ab b 2 a b 2 10

11 Tareas : todos los ejercicios que faltan del. 5 Realiza las siguientes divisiones de polinomios 2x 11 2 x 11 x2 19 x x 2 x 1 d 2x 6x 2x 2 2x x x x2 19 x 1 2 x 2 x2 1 2 x 0 x2 17 x Cociente: 2x x x2 9 x 0 8 x 6 Resto: 8 x 6 Tareas : todos los ejercicios que faltan del 5 6 Utiliza la regla de Ruffini para hacer las siguientes divisiones: b 2x 2 x resto La división es exacta. Además, 1 raíz del polinomio dividendo. Entonces tenemos que: cociente 2x 2x 2 2x 2 resto 0 Tareas : todos los ejercicios que faltan del 6 7 Realiza las siguientes divisiones por Ruffini: d 2x 2x 2x 2 2 x 2x 2x 2x 2 2 x 2x 2x 2x 2 2 x Ahora estamos en condiciones de aplicar la regla de Ruffini: resto Entonces tenemos que: cociente 2x 8x 2 26x 78 resto Tareas : todos los ejercicios que faltan del 7 9 Sin realizar las divisiones, calcula el resto. a. x 7 x 2x 1 x Calculamos el valor numérico del polinomio dividendo para x. Estamos aplicando el teorema del resto es el resto de la división. Tareas : todos los ejercicios que faltan del 9 Tareas :0,1,2 Escribe un polinomio de segundo grado que verifique las tres condiciones siguientes: Es divisible por x 11

12 Es divisible por x El valor numérico en el punto x 1 es 12. Será de la forma ax 2 bx c donde a, b, c son números reales con a 0 Vamos a ver en que se traducen cada una de las condiciones. Es divisible por x significa que ax 2 bx c x es exacta. Es decir, x es un factor de la descomposición de ax 2 bx c Es divisible por x significa que ax 2 bx c x es exacta. Es decir, x es un factor de la descomposición de ax 2 bx c Por el teorema fundamental del álgebra nuestro polinomio tendrá dos raíces, dado que es de grado 2. Como ya las hemos encontrado será: x x x 2 x 12 Vamos a comprobar si este polinomio cumple la última condición: calculando su valor numérico para x no se cumple Entonces viendo el resultado último obtenido, habrá de ser x 2 x 12 Veámoslo: Entonces el polinomio pedido es x 2 x 12 Todos los polinomios que tienen por raíces y - son de la forma ax x donde a es un número real no nulo. Por lo tanto, otra forma de determinar cual cumple que si x 1 el valor numérico es 12, sería sustituir x 1 en esta expresión y despejar a: a a 12 a Tareas :,5 6 Halla un polinomio de segundo grado Px, sabiendo que una de sus raíces es x 1 y que P 10 Será de la forma Px ax 2 bx c donde a, b, c son números reales con a 0. Vamos a aplicar nuestras condiciones a esa expresión algebraica. una de sus raíces es x 1 P1 a 1 2 b 1 c a b c 0 P 10 a 2 b c 10 9a b c 10 Tenemos un sistema de dos ecuaciones lineales con tres incógnitas: a b c 0 9a b c 10 Despejamos a en la primera ecuación: a b c Y sustituimos este valor de a en la otra ecuación: 9b c b c 10 9b 9c b c 10 6b 8c 10 b c 5 b c 5 b c 5 Sustituimos este valor de b en la expresión anterior de a: a c 5 Recapitulamos: c c 5 c a c 5 b c 5 c 5 c c R c 5 Finalmente Px c 5 x 2 c 5 x c c R Esto implica que el problema tiene infinitas soluciones. Vamos a comprobarlo: P1 0 c c 5 1 c 0 c 5 c 5 c 0 c 5 c 5 c CIERTO 12

13 P 10 c 5 2 c 5 c 10 c 5 c 5 c 10 c 15 c 5 c Tareas : 7,8 50 Encuentra las raíces del siguiente polinomio, teniendo en cuenta que todas ellas son números enteros. Px x x 2 10x 2, Solution is:,, 2 El término independiente es 2 Sus divisores son 1,2,,,6,12,2 Como Px tiene grado, por el teorema fundamental del álgebra tendrá raíces: que vamos a calcular aplicando la Regla de Ruffini. Esto es así, por aplicación de la Teorema del resto que me relaciona los restos de la regla de Ruffini con los valores numéricos de los polinomios resto resto resto 1 no es raiz 2,, son las raíces Además, la descomposición en "factores primos" de Px x 2x x Tareas : Factoriza los siguientes polinomios utilizando la regla de Ruffini: d Sx x x 6x 2 x 1 El término independiente es 1 Sus divisores son 1 Como Sx tiene grado, por el teorema fundamental del álgebra tendrá raíces: "método fast factorización" resto resto resto Por lo tanto la factorización del polinomio es x 1 Tareas : todos los ejercicios que faltan del Descompón en factores el siguiente polinomio. Px 2x 10x 2 1x 6 El término independiente es 6 Sus divisores son 1,2,,6 Como Px tiene grado, por el teorema fundamental del álgebra tendrá raíces: "método fast factorización" 1

14 resto resto Por lo tanto la factorización del polinomio es x 1 2 2x 6 2 Las raíces son 1 (doble) y. 5 Escribe un polinomio de cuarto grado que tenga por raíces: c -1 y 1 (las dos dobles) 1 2 x 2 2x 1x 2 2x 1 x 2x 2 1 Otra forma sería: 1 2 x 1x 1 2 x x 2x 2 1 Tareas : todos los ejercicios que faltan del 5 Tareas : Factoriza los siguientes polinomios utilizando las identidades notables. d y 2 25x 6 25x 6 y 2 5x 2y5x 2y Tareas : todos los ejercicios que faltan del Factoriza los siguientes polinomios: d 12 x 2 x 2 2 x2 x x 2x 2 Tareas : todos los ejercicios que faltan del Factoriza los siguientes polinomios. f x 6 x x 2 El término independiente es Sus divisores son 1,2, Como Px tiene grado 6, por el teorema fundamental del álgebra tendrá 6 raíces: "método fast factorización" resto resto resto resto Por lo tanto será: x 6 x x 2 x 1x 1x 2x 2x 2 1 x 1x 1x 2x 2x 2 1 Se queda así dado que x para cualquier valor de x; recordemos que todo número elevado al cuadrado es positivo o cero Tareas : todos los ejercicios que faltan del 58 menos el e) 59 Calcula el m.c.d. y el m.c.m. de los siguientes polinomios: a. Px x 2 x 2 x 2x 1 Qx x 2 2x x x 1 b. Px 2x 2 2 2x 1x 1 Qx x x 1 c. Px x 1 1

15 Qx 2x 2 2x 1 Rx x 2 x 1x 1 d. Px x 2 x 2 Qx x x 2 xx 2x 2 Rx x 2x 2 x 2 x 2 e. Px x 2 5x 6 x x 2 Qx x 2 x 2x 2 Rx x 2 e.1 m. c. m.px, Qx, Rx x 2x 2x x 2 x x x 2 x 12 Recordamos, se toman los factores "primos", comunes y no comunes, con el mayor exponente. e.2 m. c. d.px, Qx, Rx x 2 Recordamos, se toman los factores "primos" comunes con el menor exponente. Tareas : todos los que faltan del Simplifica las siguientes fracciones algebraicas: d x 2 12 x2 x 2x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 OJO: hemos tachado entero el "x 2" de arriba y de abajo: se anulan mutuamente. Tareas : todos los que faltan del Simplifica las siguientes fracciones algebraicas: f x 10x 21x 2 0x 100 x 2x 2x 5 2 x x 10 x 2x 2x 2 x 5 x 2x 52 x 2x 2 x 5 x 10x 21x 2 0x 100 x 2x 2x 5 2 x x 10 x 2x 2x 2 x 5 Apoyo ejercicio 62: Factorizaciones de los polinomios: x 2 x 2 x 2x 1 x 2 2x x x 1 x x 2 8x 12 x x 2 2 x 2 x 6 x x 2 x 5x 2 8x x 1x 2 2 2x 5x 5x 2 x 1x 22x 1x 1 2x 7x x 2 8x 2x 1x 1x 2 2 x 2x 2x 2 2x 1 x 2 1x 1 2 Tareas : todos los ejercicios que faltan del 62 6 Halla, simplificando el resultado: b 2x 2x2 1 2x2 x 2x2 1 x 2x2 2x 2 1 x 1 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x Tareas : todos los ejercicios que faltan del 6 6 Halla en cada caso el polinomio P(x) para que las fracciones sean equivalentes: a. x 2 2x 5 x Px Px x 2x 5 x 2 2x2 5x 6x 15 x 2 2x2 x 15 x 2 Tareas : todos los ejercicios que faltan del 6 65 Realiza las siguientes sumas y restas de fracciones algebraicas y simplifica todo lo posible los resultados. d t t2 t 1 1 t 1 tt2 1 t t 2 t 1 t 1t 1 tt 1t 1 t 1t 1 t 2 t 1 t 1t 1 t 1 t 1t 1 t t t t 2 t 1 t 1t 1 t 2 1 t 1t 1 15

16 t 2 1 t 1t 1 Tareas : todos los ejercicios que faltan del Realiza los siguientes productosy cocientes de fracciones algebraicas y simplifica todo lo posible los resultados. d 1 x 1 x x x x 1 x x x 1 1 x2 x 1 2 x 1 x 1 x 1 x 1 x2 x x x 1 1 x 1 x x x 1 1 x x 1 x 2 x x 1 x 1 x x x 2 x 1 x 2x 2 x 1 x 1 x 2 1 x 1 2x x 2 1 x 1 2x x 2 x 2x 2 x x x 2 x 1 x 2 2x 1x x 2x 2 x 67 Simplifica las siguientes fracciones algebraicas. d 1 x 1 2 y 2 1 x 1 y x yx y xyx y y 2 x 2 x 2 y 2 y x xy x y xy y2 x 2 x 2 y 2 y x xy y xy xxy x 2 y 2 x y Tareas : todos los ejercicios que faltan del 67 Tareas : 68, Se consideran todos los triángulos rectángulos tales que las medidas de sus catetos son dos números que se diferencian en dos unidades. Escribe una expresión que permita calcular el perímetro de dichos triángulos si b es el cateto mayor. Se cumple que a b 2 Y el perímetro viene dado por P a b c b 2 b c Por el Teorema de Pitágoras, la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. c 2 a 2 b 2 c 2 b 2 2 b 2 c b 2 2 b 2 Por lo tanto el perímetro vendrá dado por: Pb b b 2 b 2 b 2 2 2b b 2 2 b 2 2 donde b es el cateto mayor Tareas : Halla las expresiones algebraicas que dan el producto de: a. Tres números naturales consecutivos: 16

17 xx 1x 2 x 2 xx 2 x 2x 2 x 2 2x x x 2 2x b Tres números pares consecutivos: 2x2x 22x x 2 x2x 8x 2x 2 16x c Tres múltiplos de cinco consecutivos: 5x5x 55x 10 25x 2 25x5x x 75x 2 250x Tareas : 7 7 En un cuadrado de lado 5 unidades de longitud se marcan cuatro puntos, uno en cada lado, de forma que su distancia al vértice más próximo es de x unidades. Estos cuatro puntos forman un nuevo cuadrado tal y como muestra la figura. 1. a. Escribe una expresión algebraica que determine el perímetro del nuevo cuadrado. Podemos aplicar el teorema de Pitágoras en el triángulo DFG: h 2 x 2 5 x 2 h x 2 5 x 2 x x x 2 2x x El perímetro será h 2x x H Escribe una expresión algebraica que determine el área del nuevo cuadrado. El área es h 2 2x x 2x x Tareas :75,76,78 77 Los costes, en euros, de fabricar x pares de zapatillas deportivas vienen dados por la siguiente expresión: Cx 25 x2 70x 600 a. Calcular el coste total que supone fabricar 50 pares de zapatillas. C euros cuesta fabricar 50 pares de zapatillas b Indica cuáles son los costes fijos. Los costes fijos serán cuando no haces ninguna zapatilla, es decir: C euros de costes fijos c Indica cuáles son los costes variables. Los costes variables serán los coeficientes de la x: 25, 70 d Indica cuáles son los costes totales para cada par de zapatillas cuando se fabrican x pares. 25 x2 70x 600 e Indica cuáles son los costes variables para cada par de zapatillas cuando se fabrican x pares. 25 x2 70x f Indica cuáles son los costes totales para cada par de zapatillas cuando se fabrican 75 17

18 pares. C euros cuesta fabricar 75 pares de zapatillas 79 La altura en metros de un cohete dada por la expresión ht 60t 5t 2, en la que t mide el tiempo en segundos. a. Qué altura alcanza el cohete al cabo de 1,, 6 y 8 segundos? Y al cabo de 12? h m h m h m h m h m b. Interpreta los resultados. El cohete sube hasta alcanzar la máxima altura para luego caer, se trata de un recorrido parábolico, con las ramas de la parábola hacia abajo, dado que el coeficiente de t 2 es negativo. La representación de los puntos es: Que al unirlos da lugar a la siguiente gráfica. y x 18