Ecuaciones de 1er y 2º grado

Transcripción

1 Ecuaciones de er y º grado. Ecuaciones de er grado Resuelve mentalmente: a) + = b) = c) = d) = P I E N S A Y C A L C U L A a) = b) = c) = d) = Carné calculista, : C =,; R = 0, Resuelve las siguientes ecuaciones: + = = = = + = = 0 + = = + ( ) = = ( + ) = ( ) = A P L I C A L A T E O R Í A = 0 = + = = ( + ) ( + ) = ( ) = / 0 ( + ) ( + ) = ( + ) = 0 SOLUCIONARIO

2 + = + = + + = = 0/ + = = + = / = + + = = = = / = + ( ) + 0 = = / = / + = 0 0 = + = / =. Ecuaciones de º grado Resuelve mentalmente, si es posible: a) = 0 b) = c) = d) ( ) = 0 P I E N S A Y C A L C U L A a) = = 0 b) =, = c) No tiene solución. d) = 0, = Carné calculista : + = TEMA. ECUACIONES DE er Y º GRADO 0

3 Resuelve las siguientes ecuaciones: 0 + = 0 A P L I C A L A T E O R Í A = 0 = = 0 = 0 =, = + = 0 =, = = 0 =, = + = 0 =, = = 0 =, = 0 = 0 =, = = /, = = 0 = 0, = / + = 0 = /, = / = 0 = /, = / + = 0 = /, = + = 0 = 0, = / + = 0 = /, = = 0 = 0, = 00 = 0 = 0, = 0 = 0 = /, = / = 0 =, = / 0 SOLUCIONARIO

4 = 0 = 0 = 0, = / =, = / 0 = 0 ( )( ) = = 0, = / =, = = 0 ( + )( ) = 0 =, = / =, = = = + + = 0, = / =, =. Número de soluciones y factorización Calcula mentalmente las siguientes raíces cuadradas y da todas las soluciones: a) + b) c) P I E N S A Y C A L C U L A a) ± b) 0 c) No tiene raíz real. Carné calculista :, C =,; R = 0,0 A P L I C A L A T E O R Í A Sin resolver las siguientes ecuaciones, determina cuántas soluciones tienen: Halla la descomposición factorial de los siguientes polinomios de segundo grado: a) + = 0 b) + = 0 a) b) c) + + = 0 d) + = 0 c) + d) a) = > 0 ò Tiene dos soluciones. b) = < 0 ò No tiene soluciones. c) = 0 ò Tiene una solución doble. d) = 0 ò Tiene una solución doble. a) ( )( + ) b) ( /)( + ) c) ( /)( + ) d) ( /) TEMA. ECUACIONES DE er Y º GRADO 0

5 Escribe en cada caso una ecuación de segundo grado cuyas soluciones sean: a) =, = b) =, = c) =, = / d) = /, = / 0 Sin resolver las siguientes ecuaciones, calcula la suma y el producto de sus soluciones: a) = 0 b) + = 0 c) + = 0 d) + = 0 a) + = 0 b) + = 0 c) + + = 0 d) 0 = 0 a) S =, P = / b) S =, P = c) S = /, P = d) S = /, P =. Problemas de ecuaciones Calcula mentalmente: a) Un número cuya mitad más uno es tres. b) El lado de un cuadrado cuya área es m a) = b) = m P I E N S A Y C A L C U L A Carné calculista Encuentra un número tal que el cuádruple de dicho número más 0 unidades sea igual a Número = + 0 = ò = El número es ( + ) = La base de un rectángulo mide cm más que la altura. Si su perímetro mide cm, cuáles serán las dimensiones del rectángulo? A P L I C A L A T E O R Í A Halla tres números enteros consecutivos cuya suma sea Primer número: Segundo número: + Tercer número: = ò = Los números son:, y ( + + ) = ò = La altura mide: cm La base mide: cm + Se desea mezclar un jabón líquido normal de, /litro con jabón etra de /litro, para hacer 00 litros de mezcla a, /litro. Calcula la cantidad de litros que se debe mezclar de cada tipo de jabón. 0 SOLUCIONARIO

6 Una madre tiene años más que su hijo, y dentro de años su edad será el doble de la del hijo. Cuántos años tienen en la actualidad? Precio ( /litro) Volumen (litros) Dinero ( ), + (00 ) =, 00 ò = 0 Jabón normal: 0 litros. Jabón etra: 0 litros. Edad del hijo Edad de la madre Normal, + + = ( + ) ò = 0 La edad del hijo: 0 años. La edad de la madre: años. Un grifo A llena un depósito de agua en h y otro grifo B lo hace en h. El depósito tiene un desagüe que lo vacía en h estando los grifos cerrados. Cuánto tiempo tardarán los dos grifos en llenar a la vez el depósito estando el desagüe abierto? Tiempo que tarda en llenarse el depósito: ( + ) = ò = =, horas. Etra Irene sale en moto desde su pueblo hacia el este a una velocidad de 0 km/h. Dos horas más tarde, María sale en moto tras ella, a una velocidad de 0 km/h. Cuánto tiempo tardará María en alcanzar a Irene? 00 Mezcla, 00, + (00 ) =, 00 Hoy + Dentro de años Tiempo que tarda en alcanzar María a Irene desde la salida de Irene: 0 = 0( ) ò = Tardará horas. 0 A qué hora estarán por primera vez en línea recta las manecillas del reloj después de las doce? 0 Recorrido en minutos de la aguja horaria: 0 + = = 0 =, = min s La hora será: h min s Halla dos números enteros consecutivos tales que la suma de sus cuadrados sea Primer número: Segundo número: + + ( + ) = ò =, = Los números son: y o bien y Calcula las dimensiones de una finca rectangular que tiene dam más de largo que de ancho, y una superficie de 0 dam 0 0 min 0 + A María: 0 km/h Irene: 0 km/h + ( + ) = 0 ò = 0, = La solución negativa no es válida. La finca tiene dam por 0 dam TEMA. ECUACIONES DE er Y º GRADO

7 Ejercicios y problemas. Ecuaciones de er grado Resuelve las siguientes ecuaciones: + = 0 = = + 0 ( ) ( ) + ( ) = = ( ) = ( + ) = = (0 ) = ( ) ( + ) + = + = = = ( ) = ( ) = = ( ) + ( ) = ( + ) + = ( ) (0 ) = ( ) = ( ) = ( ) + ( ) ( ) + ( ) = ( + ) = ( ) ( + ) = ( ) = ( ) = ( + ) ( ) = ( ) ( + ) = ( ) = = = = = + = 0 + = = SOLUCIONARIO

8 = 0 = = + + = 0 + = = = / + = = = = 0 + = = + = / = / + + = + = = / = = = = = + + = + + = + = = / + = = / = + + = + = / + = = TEMA. ECUACIONES DE er Y º GRADO

9 Ejercicios y problemas = / + = 0 = 0 =, = = + = /0 + = = = ( + ) + = ( + ) 0 = 0 =, = 0 = 0 = 0, = 0 + = 0 =, = 0 = 0 00 = + = + 0 =, = 0 + = 0. Ecuaciones de º grado Resuelve las siguientes ecuaciones: 0 = 0 = = 0 = /, = 0 + = 0 =, = / 0 = 0 = 0 =, = = 0 =, = =, = + = 0 = /, = SOLUCIONARIO

10 = 0 + = 0 = 0, = / = 0, = / = + 0 = 0 = 0, = =, = + = 0 + = 0 = /, = / = /, = = 0 = 0 = /, = / = /, = / + 0 = 0 = 0 = /, = = /, = / + = 0 + = 0 = 0, = / = /, = 0 = 0 + = 0 =, = / = 0, = / 0 = 0 + = 0 = /, = / + = 0 = /, = / = /, = 0 = 0 = /, = TEMA. ECUACIONES DE er Y º GRADO

11 Ejercicios y problemas ( ) = 0 = = / 0 + = = /, = ( ) = 0 = 0, = ( ) = 0 + = /, = = + = 0, = / ( + )( ) = ( + ) + + = /, = + = + 0 =, = = + ( + ) ( + ) = ( + )( ) =, = =, = + = 0 = /, = / = 0 = /, = / = = /, = 0 = 0 = /, =. Números de soluciones y factorización Sin resolver las siguientes ecuaciones, determina cuántas soluciones tienen: a) + = 0 b) + 0 = 0 c) + + = 0 d) = 0 a) = > 0 ò Tiene dos soluciones reales. b) = < 0 ò No tiene soluciones reales. c) = 0 ò Tiene una solución doble. d) = 0 > 0 ò Tiene dos soluciones reales. Halla la descomposición factorial de los siguientes polinomios de segundo grado: a) + b) c) + d) + a) ( /)( ) b) ( + /)( ) c) ( /)( ) d) ( /)( + ) SOLUCIONARIO

12 Escribe en cada caso una ecuación de segundo grado cuyas soluciones sean: a) =, = b) =, = c) =, = / d) = /, = / a) + = 0 b) = 0 c) + + = 0 d) + = 0 Sin resolver las siguientes ecuaciones, calcula la suma y el producto de sus soluciones: a) = 0 b) + = 0 c) + = 0 d) + = 0 a) S =, P = / b) S = /, P = c) S =, P = / d) S =, P =. Problemas de ecuaciones Calcula un número cuya cuarta parte más la seta parte sumen unidades. Número: + = ò = El número es 0 En un triángulo isósceles, cada uno de los lados iguales es cm más largo que el lado desigual. Si el perímetro del triángulo mide cm, cuál es la longitud de cada lado? + ( + ) = ò = Los lados miden: Lado desigual: cm Lados iguales: cm Se mezclan café natural de, el kilo y café torrefacto de, el kilo, y se obtienen 0 kg a,0 el kilo. Cuántos kilos de cada tipo de café se han mezclado? Precio ( /kg) Peso (kg) Dinero ( ) +, +,(0 ) =,0 0 ò = 0 Se mezclan: Café natural = 0 kg Café torrefacto = 0 kg Natural, Torrefacto, 0 Mezcla,0 0, +,(0 ) =,0 0 La edad de un padre es cinco veces la del hijo. Si dentro de dos años la edad del padre será cuatro veces la del hijo, cuál es la edad actual de cada uno? De un depósito lleno de agua se saca primero la mitad del agua que contiene, y después, un quinto del resto. Si en el depósito quedan aún 00 litros, cuál es la capacidad del depósito? Capacidad del depósito: ( ) + = 00 ò = 00 La capacidad del depósito es 00 litros. Hoy Edad de hijo Edad del padre + = ( +) ò = La edad del hijo es años. La edad del padre es 0 años. Dentro de años + + TEMA. ECUACIONES DE er Y º GRADO

13 Ejercicios y problemas Un grifo A llena un depósito de agua en h, otro grifo B lo llena en h y otro C lo llena en h. El depósito tiene un desagüe que lo vacía en 0 h estando los grifos cerrados. Cuánto tiempo tardarán los tres grifos en llenar a la vez el depósito estando el desagüe abierto? 0 0 Tiempo que tarda en llenarse: ( + + ) = ò = / =, horas. 0 Un coche sale de una ciudad A hacia otra ciudad B, que se encuentra a 00 km de distancia, con una velocidad de 0 km/h.a la misma hora, otro coche sale de B hacia A con una velocidad de 0 km/h a) Cuánto tiempo tardarán en encontrarse los coches? b) A qué distancia de A se encontrarán? coche: 0 km/h A 00 km B coche: 0 km/h Tiempo que tardan en encontrarse: El espacio que recorren los dos suma 00 km = 00 ò = a) Tardan en encontrarse horas. b) Se encuentran a 0 = 0 km de A A qué hora se volverán a superponer por primera vez las manecillas del reloj después de las doce? Recorrido en minutos de la aguja horaria: 0 + = ò = 0/ =, Se vuelven a superponer a la h min s Calcula dos números enteros consecutivos cuyo producto sea 0 Primer número: Segundo número: + ( + ) = 0 ò = 0, = Los números son: 0 y o bien y 0 La diagonal de un cuadrado mide cm. Calcula la longitud del lado del cuadrado. Lado del cuadrado: + = ò =, = La solución negativa no tiene sentido. El lado del cuadrado es cm cm SOLUCIONARIO

14 Para ampliar Resuelve las siguientes ecuaciones: a) = + b) = c) = d) = + a) = b) = c) = d) = Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado e interpreta el resultado. Indica si tienen solución, si no tienen o si tienen más de una solución. a) + ( ) = ( ) + b) = + + c) + = + a) Es una identidad.tiene infinitas soluciones. b) = 0 Tiene una solución. c) No tiene solución. 0 Resuelve las siguientes ecuaciones: a) + = b) = a) = b) = /, = Sin resolver las siguientes ecuaciones, determina cuántas soluciones tienen: a) + + = 0 b) + + = 0 c) = 0 d) + = 0 a) D = < 0 ò No tiene solución real. b) D = > 0 ò Tiene dos soluciones reales. c) D = 0 ò Tiene una solución doble. d) D = < 0 ò No tiene solución real. Factoriza los siguientes polinomios: a) b) + c) + d) + a) ( )( + ) b) ( /)( ) c) ( /)( /) d) ( ) Escribe en cada caso una ecuación de segundo grado cuyas soluciones sean: a) =, = b) =, = c) =, = / d) = /, = / a) + = 0 b) 0 = 0 c) + + = 0 d) + = 0 Sin resolver las siguientes ecuaciones, calcula la suma y el producto de sus soluciones: a) + + = 0 b) + = 0 c) = 0 d) + = 0 a) S = /, P = b) S =, P = c) S =, P = / d) S = /, P = / TEMA. ECUACIONES DE er Y º GRADO

15 Ejercicios y problemas Problemas La suma de tres números pares consecutivos es 0. Calcula dichos números. Primer número: Segundo número: + Tercer número: = 0 ò = Los números son:, 0 y De una pieza de tela se vende la mitad, y después, la tercera parte de la longitud inicial. Si quedan m de tela, cuál era la longitud inicial de la pieza? Longitud de la tela: La tela tenía m ( + ) = ò = Reparte 00 entre tres personas, de forma que a cada uno le correspondan 00 más que al anterior. Primera persona: 00 Segunda persona: Tercera persona: = 00 ò = 00 Primera persona: 00 Segunda persona: 00 Tercera persona: 00 0 Un padre reparte 0 entre dos hijos, de forma que el menor recibe los / de lo que recibe el mayor. Cuánto ha recibido cada uno? Parte del hijo mayor: Parte del hijo menor: / + = 0 ò = 00 Parte del hijo mayor: 00 Parte del hijo menor: 0 Se han comprado por unos zapatos y unos pantalones que costaban 0. Si en los zapatos han rebajado el 0%, y en los pantalones, el 0%, cuál era el precio inicial de cada producto? Precio de los zapatos: Precio de los pantalones: 0 0, + 0,(0 ) = ò = 0 Precio de los zapatos: 0 Precio de los pantalones: 0 En un triángulo isósceles, el ángulo desigual mide la cuarta parte del valor de los ángulos iguales. Calcula el valor de los tres ángulos. Con 000 se han hecho dos inversiones, de forma que una de ellas da unos intereses del %, y el resto, del %. Si la primera parte produce 00 más que la segunda, qué cantidad de dinero corresponde a cada parte? Parte al %: Parte al %: 000 0,0 = 0,0( 000 ) + 00 ò = 0 Parte al %: 0 Parte al %: 0 Amplitud del ángulo igual: + = 0 ò = 0 Ángulos iguales = 0 Ángulo desigual = 0 0 SOLUCIONARIO

16 Cada uno de los lados iguales de un triángulo isósceles mide el triple que el lado desigual. Si su perímetro mide cm, calcula la longitud de los lados del triángulo. + + = ò = cm Lado desigual = cm Lados iguales: cm En un rectángulo la base es el doble que la altura. Calcula la longitud de sus lados si su perímetro mide cm ( + ) = ò = La altura mide cm La base mide cm Pablo tiene años, y su madre,. Cuántos años deben transcurrir para que la edad de la madre sea el doble de la de Pablo? Un padre tiene 0 años, y sus hijos, y. Cuántos años han de transcurrir para que la edad del padre sea igual a la suma de las edades de los hijos? + 0 = ò = Deben transcurrir años. Las edades de una madre y un hijo suman 0 años, y dentro de años la edad de la madre será el triple de la del hijo. Calcula la edad actual de cada uno. Hijo Hijo Padre Hijo Madre Hoy 0 + = ( + ) ò = La edad del hijo es años. La edad de la madre es años. Dentro de años Hoy 0 Dentro de años = ( + ) ò = Tienen que transcurrir años. Un padre tiene el triple de la edad de su hijo. Si el padre tuviera 0 años menos y el hijo años más, los dos tendrían la misma edad. Calcula la edad actual de cada uno. Hijo Padre Pablo Madre Hoy Hoy Hace 0 años 0 Dentro de años + + Dentro de años + + = 0 ò = El hijo tiene años. El padre tiene años. Se ha mezclado aceite de girasol de 0, el litro con aceite de oliva de, el litro. Si se han obtenido 000 litros de mezcla a, el litro, cuántos litros se han utilizado de cada clase de aceite? Girasol Precio ( /litro) 0, Volumen (litros) 0, +,( 000 ) =, 000 ò = 00 Aceite de girasol: 00 litros. Aceite de oliva: 00 litros. Oliva Se mezclan avena de 0, /kg y centeno de 0, /kg para hacer pienso para vacas. Si se hacen 000 kg de pienso a 0, /kg, cuántos kilos de avena y de centeno se han utilizado?, 000 Mezcla, 000 Dinero ( ) 0, +,( 000 ) =, 000 TEMA. ECUACIONES DE er Y º GRADO

17 Ejercicios y problemas 0 Avena Precio ( /kg) 0, Masa (kg) Centeno 0, 000 Mezcla 0, 000 Dinero ( ) 0, + 0,( 000 ) = 0, 000 0, + 0,( 000 ) = 0, 000 ò = 00 Avena: 00 kg Centeno: 00 kg Se funde plata de ley 0, con plata de ley 0, para conseguir una aleación de 0 gramos de una ley 0,. Calcula la cantidad de cada tipo de plata que se ha usado. Ángulo de la aguja horaria: 0 = ò = / =, El ángulo es: A qué hora forman por primera vez las agujas de un reloj un ángulo de 0 después de las doce? 0 0, + 0,(0 ) = 0, 0 ò = 0 Plata de 0,: 0 g Plata de 0,: 0 g Se alean dos lingotes de oro. Uno de ellos con una ley 0,, y otro, con una ley 0,. Si se han conseguido 00 g de aleación con una ley 0,, cuántos gramos pesaba cada lingote de oro? Plata Ley 0, Masa (g) Plata 0, 0 Aleación 0, 0, + 0,(00 ) = 0, 00 ò = 00 Oro de 0,: 00 g Oro de 0,: 00 g Calcula el ángulo que forman las agujas de un reloj a las tres y cuarto. 0 0, + 0,(0 ) = 0, 0 Oro Ley 0, Masa (g) Oro 0, 00 Aleación 0, 00 0, + 0,(00 ) = 0, 00 Espacio en minutos de la aguja horaria: = + 0 ò = 0/ =, A las h min s 0 Un grifo A llena un depósito de agua en h y otro grifo B lo hace en h. El depósito tiene un desagüe que lo vacía en h estando los grifos cerrados. Cuánto tiempo tardarán los dos grifos en llenar a la vez el depósito estando el desagüe abierto? Tiempo que tarda en llenarse el depósito: ( + ) = ò = / =, horas. Tardará: h min Un grifo A llena un depósito de agua en h. Si se abren el grifo A y el grifo B, llenan el depósito en h. Cuánto tiempo tardará solo el grifo B en llenar el depósito? 0 0 min SOLUCIONARIO

18 Tiempo que tarda en llenar el depósito el grifo B: ( + ) = ò = El grifo B tardará horas. Número: = + ò =, = / Como el número es natural, la solución fraccionaria no es válida. El número es A las de la mañana un coche y una moto salen de dos ciudades, y van uno hacia otro por la misma carretera. La velocidad del coche es de 0 km/h y la velocidad de la moto es de 0 km/h. Si la distancia entre las ciudades es de 0 km, a qué hora se encuentran el coche y la moto? A 0 km/h 0 km 0 km/h Tiempo que tardan en encontrarse: = 0 ò = / =, horas. Tardarán h 0 min, luego se encuentran a las 0 h 0 min B 0 Encuentra dos números enteros cuya diferencia sea y la suma de sus cuadrados sea Número menor: Número mayor: + + ( + ) = ò =, = 0 Los números son: y 0, o bien 0 y Las medidas, en centímetros, de los tres lados de un triángulo rectángulo son tres números naturales consecutivos. Calcula el perímetro del triángulo. + A las de la mañana, Marta sale en bicicleta de una población A a una velocidad de 0 km/h. Dos horas y media después, Irene sale en su búsqueda con una moto a 0 km/h. A qué hora alcanzará Irene a Marta? Tiempo que tarda en alcanzar Irene a Marta desde la salida de Marta: 0 = 0(,) ò = / =, Tardará en alcanzarla h min Luego se encontrarán a las h min Para profundizar A Irene: 0 km/h Marta: 0 km/h El triple del cuadrado de un número natural es el doble del número más. Calcula dicho número. B + Cateto menor: Cateto mayor: + Hipotenusa: + + ( + ) = ( + ) ò =, = La solución negativa no tiene sentido. Cateto menor: cm Cateto mayor: cm Hipotenusa: cm Perímetro: + + = cm Un rectángulo mide cm más de alto que de ancho, y su área mide 0 cm. Cuánto miden sus lados? ( + ) = 0 ò = 0, = La solución negativa no tiene sentido. Las dimensiones son 0 cm por cm + TEMA. ECUACIONES DE er Y º GRADO

19 Ejercicios y problemas En una cartulina rectangular de 0, m de superficie, recortamos dos cuadrados, de forma que uno tiene cm de lado más que el otro. Si sobran cm de cartulina, calcula la longitud de los lados de los cuadrados recortados. + + Longitud del lado del cuadrado menor: + ( + ) + = 000 ò =, = 0 La solución negativa no tiene sentido. El cuadrado menor tiene 0 cm de lado, y el mayor, cm Para vallar una parcela de 00 m se han utilizado 00 m de cerca. Calcula las dimensiones de la finca. (0 ) = 00 ò = 0, = 0 La dimensiones de la finca son 0 m por 0 m Calcula la longitud de los catetos de un triángulo rectángulo sabiendo que uno de ellos es cm más largo que el otro y que su superficie es de cm 0 Si se aumenta en tres centímetros el lado de un cuadrado, el área aumentará en cm. Calcula la longitud del lado del cuadrado inicial. + ( + ) = ò = 0, = La solución negativa no tiene sentido. Los catetos son cm y 0 cm + = ( + ) ò = El cuadrado tendrá cm de lado. Escribe una ecuación de segundo grado sabiendo que la suma de las soluciones es y que el producto de las mismas es S + P = 0 ò = 0 cm SOLUCIONARIO