Números racionales e irracionales

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1 Números racionales e irracionales. Divisibilidad Calcula mentalmente: a) M.C.D. (, 8) b) M.C.D. (, 8) c) M.C.D. (, 9, ) d) m.c.m. (, ) e) m.c.m. (, 9) f ) m.c.m. (,, ) P I E N S A Y C A L C U L A a) b) c) d) 0 e) 8 f) Completa con las palabras múltiplo o divisor en tu cuaderno: a) es de b) 08 es de c) es de d) es de 8 A P L I C A L A T E O R Í A d) y 0 e) 900 y 00 f) y a) 8 b) 0 c) 90 d) e) 00 f) a) divisor b) múltiplo c) múltiplo d) divisor De los siguientes números:, 9,, 8,,, 8, señala los que son divisibles: a) por b) por c) por Divisibles por : Divisibles por :,,, y 8 Divisibles por : 9, 8, y 8 Calcula mentalmente el m.c.m. de: a) y b) y 0 c) 8 y d) y 0 a) b) 0 c) d) 0 Halla el m.c.m. de: a) y 0 b) 0 y 90 c) 0 y 0 d) 0 y e) 900 y 00 f) y a) 0 b) 80 c) 00 d) 0 e) 00 f) 800 Calcula mentalmente el M.C.D. de: a) 8 y b) y 9 c) 0 y d) 8 y a) b) c) d) 8 Halla el M.C.D. de: a) y 90 b) 80 y 0 c) 0 y 0 Dos barras de acero que miden respectivamente 0 cm y cm de longitud, deben ser cortadas en trozos iguales. Cuál será la mayor longitud que pueden tener dichos trozos? M.C.D.(0,) = La longitud será de cm 8 SOLUCIONARIO

2 8 Una bombilla roja se enciende cada 0 segundos, y otra bombilla azul, cada segundos. Si se encienden a la vez y comenzamos a contar, cuántas veces coincidirán encendidas en una hora? m.c.m.(,0) = 0 0 segundos = 0 : 0 = minutos. En una hora coincidirán: 0 : = 0 veces.. Operaciones con fracciones Calcula mentalmente las siguientes operaciones: a) + b) c) ( 0) a) / b) / c) P I E N S A Y C A L C U L A 9 Calcula mentalmente: a) + b) c) a) 9/ b) / c) 0/ 0 Realiza las siguientes operaciones: a) + b) + 9 c) + d) a) 9/ b) / c) / d) / Multiplica las siguientes fracciones: a) b) c) 9 a) 8/ b) / c) / Haz las siguientes divisiones: 8 a) : b) : 8 c) : 8 a) / b) /0 c) / Realiza las siguientes operaciones combinadas: a) + : b) + : 0 c) ( ) + d) ( ) : + a) / b) /8 c) / d) / Un camión puede cargar 000 kg y lleva / de la carga. Cuántos kilos lleva? 000 = 00 kg De un depósito de 00 litros se sacan / del depósito y 0 litros más. Qué fracción queda? Se sacan: = 000 litros. Quedan: = 00 litros. Fracción que queda: 00/ 00 = / A P L I C A L A T E O R Í A UNIDAD. NÚMEROS RACIONALES E IRRACIONALES 8

3 . Paso entre fracciones y decimales Pasa mentalmente las fracciones a decimales y los decimales a fracciones: a) : b) : c), d) 0, ) P I E N S A Y C A L C U L A a), b), c) d) Calcula mentalmente la expresión decimal de las siguientes fracciones: a) b) c) d) 0 A P L I C A L A T E O R Í A Clasifica en fracción ordinaria o decimal las siguientes fracciones: a) b) c) d) 0 9 a) 0, ) b), c) 0, d) 0, a) Decimal. b) Decimal. c) Ordinaria. d) Ordinaria. Calcula mentalmente la fracción de los siguientes números a) 0, b), ) c) 0, ) d), a) b) c) d) Expresa en forma de fracción los siguientes números a), b),8 ) c), ) a) b) c) 8 9 Halla la expresión decimal de las siguientes fracciones y clasifica el cociente obtenido: a) b) c) d) 0 a), ) decimal periódico puro. b), ) decimal periódico mixto. c) entero. d),9 decimal exacto. Halla el lado de un triángulo equilátero cuyo perímetro mide cm. Cómo es el decimal obtenido? ) Lado: = 8, El decimal que se obtiene es periódico puro. Expresa en forma de fracción los siguientes números a), ) 8 b), c), ) 8 0 a) b) c) 9 8 Expresa en forma de fracción y calcula: a), +, 0, b), ) +, ) a) + = =, b) + = =, 88 SOLUCIONARIO

4 . Números reales Dados los catetos de los siguientes triángulos rectángulos, calcula la hipotenusa. Si el resultado es un número entero, calcula mentalmente la raíz; si no lo es, déjalo en forma de raíz cuadrada. a) b = m, c = m b) b = m, c = m a) m b) m P I E N S A Y C A L C U L A Clasifica los siguientes números en racionales o irracionales: /, π,,, /, / Racional. π Irracional. Racional. Irracional. / Racional. Irracional. Representa gráficamente los siguientes números irracionales: a) b) 0 8 Calcula el error absoluto si se redondean los siguientes números a dos cifras a), b) 0, 08 c), 08 d),9 a),, = 0,00 b) 0,08 0,0 = 0,00 c),08, = 0,00 d),9,0 = 0,00 A P L I C A L A T E O R Í A Escribe en notación científica: a) b) 0, c) La centésima parte de una milésima. d) La diezmillonésima parte de unidades. a),89 0 b), 0 0 c) 0 d) 0 0 Redondea a dos cifras decimales y calcula: a), + 0,,08 b),, c), 8 :, d),8 +, : 8, a), + 0,, =,9 b),, = 9, c),88 :, =, d), +, : 8, =,8 9 0 Calcula: a), 0 +, 0 b), 0, 0 0 c), 0 0, 0 d), 0 : (, 0 8 ) a),08 0 b), 0 0 c), 0 9 d) 9, 0 Nuestro sistema solar se encuentra situado a 00 años luz del centro de la galaxia. Expresa en kilómetros y en notación científica esta distancia sabiendo que un año luz es la distancia que recorre la luz en un año a km/s =,0 0 km UNIDAD. NÚMEROS RACIONALES E IRRACIONALES 89

5 Ejercicios y problemas. Divisibilidad Completa en tu cuaderno con la palabra múltiplo o divisor: a) es de 8 b) es de a) Divisor. b) Múltiplo. Indica cuáles de los siguientes números son múltiplos de :, 8, 0, 8 y 0, 8, 0 y 0 Indica cuáles de los siguientes números son divisibles por dos:,,, 8 y Halla el M.C.D. de: a) 0 y 0 b) 0 y 0 c) 8 y 8 d) 0 y 0 a) 0 b) 0 c) d) 0 8 Calcula mentalmente el m.c.m. de: a) y b) y c) y d) y 8 a) 0 b) c) d) 9 Halla el m.c.m. de: a) 0 y 8 b) 8 y c) 0 y 00 d) 80 y 0 a) 0 b) 0 c) 00 d) 0, y 8 Señala cuáles de los siguientes números son divisibles por tres:, 0, 9, 0 y y 0 Indica cuáles de los siguientes números son divisibles por cinco: 0,, 8, 00 y 0 0, 00 y 0 Calcula mentalmente el M.C.D. de: a) y b) y c) 9 y d) y a) b) c) 9 d) 8. Operaciones con fracciones 0 Calcula mentalmente: a) b) + c) + d) 0 9 a) / b) 9/ c) /0 d) /9 Calcula mentalmente: 8 a) + + b) a) / b) /9 Realiza las siguientes operaciones: a) + b) + 8 c) + d) a) / b) /0 c) / d) / SOLUCIONARIO

6 Calcula: 9 a) + b) + 8 a) 0/ b) 9/8 Multiplica las siguientes fracciones: a) b) c) d) 8 8 a) / b) /9 c) 8/ d) / Haz las siguientes divisiones: 8 a) : b) : c) : 8 d) : 9 0 a) / b) 8/ c) /0 d) / Realiza las siguientes operaciones combinadas: 0 a) + : b) + : 8 0 c) + ( ) d) ( ) : 9 a) / b) /0 c) / d) 0/ 8 Una finca de 0 ha tiene sembrados / de trigo y / de cebada. Cuántas hectáreas se han dedicado a cada cereal? / 0 = ha de trigo. / 0 = ha de cebada. Un dependiente ha vendido / partes de una pieza de lona para toldos, y otro dependiente ha vendido / del resto. Qué fracción de la pieza se ha vendido y qué fracción queda sin vender? Se ha vendido: + = Queda sin vender:. Paso entre fracciones y decimales 9 0 Calcula mentalmente la expresión decimal de las siguientes fracciones: a) b) c) d) ) a) 0, b), c) 0, d) 0,8 Calcula mentalmente la fracción de los siguientes números ) a) 0, b), c) 0, d) 0, d) Halla la expresión decimal de las siguientes fracciones y clasifica el cociente obtenido: a) b) c) d) a), ) decimal periódico mixto. b) entero. c), decimal exacto. d), ) 8 decimal periódico puro. Clasifica en fracción ordinaria o decimal las siguientes fracciones: 9 a) b) c) d) a) Ordinaria. b) Ordinaria. c) Decimal. d) Ordinaria. Expresa en forma de fracción los siguientes números a), ) b) 0, ) 8 c), UNIDAD. NÚMEROS RACIONALES E IRRACIONALES 9

7 Ejercicios y problemas Expresa en forma de fracción los siguientes números a), ) 8 b),8 c), ) 9 9 Expresa en forma de fracción y calcula: a), +, 0, b), ) +, ) 8 + = + = ) =, 9 9. Números reales Clasifica como racionales o irracionales los siguientes números: /, π,, 9, /, / Racional. π Irracional. Racional. 9 = ± Racional. / Racional. Irracional. Representa gráficamente los siguientes números irracionales: a) b) 8 Redondea a dos cifras decimales y calcula: a), + 0,,08 b) 0,,8 c), : 8, d) 8,08 +, :,9 a), + 0,,09 =,89 b) 0,, = 0,89 c),8 : 8, = 0, d) 8, +, :,0 =,9 9 Calcula el error absoluto si se redondean a dos cifras decimales los siguientes números: a), b) 0,08 c),908 d),098 a),, = 0,00 b) 0,08 0,08 = 0,00 c),908,9 = 0,00 d),098, = 0,00 0 Escribe en notación científica: a) Tres billones de euros. b) 8 8 millones de toneladas. a) 0 euros. b),88 0 toneladas SOLUCIONARIO

8 Para ampliar De los siguientes números:, 9, 8,, 0, 0 y 80, señala los que son divisibles: a) por y por b) por y por a) 8, 0, 0 y 80 b) 0, 0 y 80 Escribe un número que sea divisible por tres y por cinco. Por ejemplo, 0 Halla el M.C.D. de: a) 8 y 0 b) 0 y 8 c) 0, 0 y 0 d), 0 y 0 a) b) c) d) Calcula el m.c.m. de: a) 0, 0 b) 80 y c), y 80 d) 8, 0 y 00 a) 00 b) 90 c) 80 d) 00 Realiza las siguientes operaciones: a) + b) c) ( + ) d) ( ) + a) 9/ b) /0 c) / d) Opera y simplifica: 9 a) + b) 8 c) ( ) d) ( + 8 ) : a) 9/8 b) / c) /8 d) / 8 Calcula: 0 a) ( ) ( ) b) ( ) ( : ) a) / b) / 9 Haz las operaciones siguientes: a) : ( ) + 0 b) ( ) + a) / b) /8 Tenemos 0 sacos de harina de 8 kg cada uno y gastamos /. Cuántos kilos quedan? Quedan: 0 8 = 0 kg Se vendieron las / partes de un solar y, posteriormente, / partes de lo que quedaba. Qué fracción queda sin vender? Realiza las siguientes operaciones: a) b) 9 c) : d) : 8 a) / b) / c) /9 d) 0/9 Se vende: + = Queda: / UNIDAD. NÚMEROS RACIONALES E IRRACIONALES 9

9 Ejercicios y problemas Expresa como decimal las siguientes fraccio-nes y clasifica los decimales en exactos, periódicos puros o periódicos mixtos: 8 a) b) c) 0 d) e) f) 0 a) 0, Decimal exacto. b) 0, Decimal exacto. c) Número entero. d), ) 8 Decimal periódico puro. e) 0, ) Decimal periódico mixto. f) 0, Decimal exacto. Calcula redondeando previamente a dos cifras a) +, (,,) + b) 0,9 +, : ( ), c), +,(,9,00) d) 8, :,8 a) 0, +,(,,) + 0, = 0, b) 0, 0, +, : (, 0,) = 0, c), +,(,,0) =,9 d) 8, :, =,0 Calcula el error absoluto si se redondean a dos cifras decimales los siguientes números: a) 8, b) 0,8 c),908 d) 9,09 Escribe en notación científica: a) Nueve billones de kilómetros. b) 8 millones de kilogramos. a) 9 0 km b),8 0 9 kg Efectúa las siguientes sumas y restas: a) + b) + c) d) c) 9 d) 8 Efectúa las siguientes operaciones: a) ( ) b) ( + )( ) c) ( ) ( : d) )( ) a) c) 0 d) 9 8 Calcula: a) : b) : + 0 c) : d) + : 0 0 a) 9 d) 0 a) 8, 8, = 0,00 b) 0,8 0, = 0,00 c),908,9 = 0,00 d) 9,09 9, = 0,00 9 Efectúa: 0 9 c) ( ) ( ) ( : d) : + 0 ) b) c) d) 8 a) ( ) : b) ( ) : ( ) 9 SOLUCIONARIO

10 80 Efectúa las siguientes operaciones: 9 c) : d) ( 9 ) : a) ( ) b) ( ) b) c) d) 0 8 Calcula: a) : ( ) b) ( + ) 9 c) ( )( + ) d) ( )( + ) c) d) 8 Efectúa: a) ( + ) ( : ) b) ( ) ( : ) c) ( ) : d) ( ) ( ) : 0 a) 0 8 d) 8 Efectúa las siguientes operaciones: a) : ( ) b) ( ) ( : ) c) ( )( ) d) : ( 9 ) d) Efectúa las siguientes operaciones: 9 a) : b) ( ) ( : + ) c) : ( ) ( 9 ) d) : + : ( + ) a) 0 b) c) d) 9 8 Calcula: a) ( ) + : b) ( )( ) : c) : ( ) ( : ) d) + : ( + ) c) 8 d) 0 8 Calcula: 9 a) : ( + )( + ) b) ( ) ( : + ) c) ( )( + ) d) ( + ) : 8 9 a) d) 9 9 UNIDAD. NÚMEROS RACIONALES E IRRACIONALES 9

11 Ejercicios y problemas 8 Halla la expresión decimal de las siguientes fracciones: 9 a) b) c) a), ) b),8 c), ) 88 Expresa en forma de fracción los siguientes números a),8 ) b), c), ) 9 89 Halla la expresión decimal de las siguientes fracciones: a) b) c) a), b),8 ) c), ) Expresa en forma de fracción los siguientes números a) 9, ) 90 b),9 ) c), 8 Halla la expresión decimal de las siguientes fracciones: a) b) c) a),8 b), ) c), ) Con calculadora 9 Calcula: a) b) 9 0 d) ( ) : 9 8 c) ( ) 0 a) / b) /8 c) / d) 8/ Calcula las siguientes raíces con la calculadora y represéntalas por aproximación en la recta real: a) b) a), b), 9 Calcula: a), 0 +, 0 b), 0, 0 c), 0 8, 0 9 d),8 0 : (, 0 9 ) 0 a),0 0 b),8 0 c),0 0 0 d), 0 9 Expresa en forma de fracción los siguientes números a), ) 8 b), c),9 ) 9 SOLUCIONARIO

12 Problemas 9 Se desea cubrir con baldosas cuadradas una superficie rectangular de 90 cm de ancho y 00 cm de largo. Cuál será la mayor longitud que debe tener el lado de las baldosas para cubrir toda la superficie? 0 Rubén dispone de 000 y decide hacer un donativo de /0 para una organización de ayuda al Tercer Mundo y de / de lo que le queda a otra organización. Cuánto dinero le queda? M.C.D.(90, 00) = 0 cm 9 Un comerciante quiere hacer lotes de igual tamaño de tres tipos de aceite, para agotar las existencias de tres depósitos que tienen 80 litros, 00 litros y 8 litros. Cuál es el mayor número de litros que puede envasar en cada lote? Cuántos lotes hará? M.C.D.(80, 00, 8) = 8 litros. Nº de lotes: ( ) : 8 = 98 En una carrera de obstáculos se quiere colocar una valla cada 0 m y una rampa cada 0 m. Qué longitud mínima debe tener la pista de la carrera para que en la meta coincidan los dos obstáculos? m.c.m.(0, 0) = 80 m 99 Dos cometas se pueden observar cada 0 años y cada 90 años, respectivamente. Si se han observado juntos en el año 00, cuándo se volverán a ver juntos? m.c.m.(0, 90) = 0 años. Se observarán en el año Fracción que le queda: ( + ) = Dinero que le queda: 000 = En una ciudad hay 00 trabajadores de los que /0 trabajan en el sector primario, /0 en sector secundario y el resto en el sector terciario. Cuántos trabajadores hay en cada sector? Sector primario: 00 = 0 Sector secundario: 00 = 0 0 Sector terciario: 00 ( + 0) = Un depósito lleno contiene 00 litros. Se extrae / de su capacidad y, posteriormente, se gastan litros. Qué fracción de la capacidad del depósito queda en él? Se extrae: 00 = 0 litros 0 + = 0 litros Fracción que gasta: 0 = 00 8 Fracción que queda: /8 00 En el cumpleaños de Alba se comieron / de una caja de bombones; al día siguiente, / de lo que quedaba, y aún quedan bombones. Cuántos bombones tenía la caja? 8 Se han comido: + = 9 Quedan: bombones que son 9 La caja tenía : = 9 = bombones. 9 0 Un almacén de pinturas utiliza / de la superficie para almacenar pinturas, / del resto para disolventes y los 00 m restantes para utensilios de pintura. Cuántos metros cuadrados tiene el almacén? Pinturas más disolventes: + = Utensilios: 00 m que corresponden a Total: 00 : = 00 = 00 m UNIDAD. NÚMEROS RACIONALES E IRRACIONALES 9

13 Ejercicios y problemas 0 En una caseta de la fiesta del centro escolar, los / del dinero que se ha cobrado en un día corresponden a la venta de refrescos. De este dinero, los / corresponden a la venta de refrescos de cola. Si la venta de refrescos de cola ha sido de 90, cuál habrá sido la recaudación de la caseta ese día? 0 Fracción de la venta de cola: = Recaudación de refrescos: 90 : 0 = 90 = De un terreno se han vendido / de su superficie, y después / del resto, quedando ha sin vender. Cuál era la superficie del terreno? Fracción que queda sin vender: ( + ) = Superficie total: : = = ha 0 Halla de forma exacta la longitud de una circunferencia de cm de radio. Clasifica el resultado como número racional o irracional y exprésalo redondeando a dos decimales. L = πr L = π = 0π cm Es un número irracional. L =, cm Para profundizar 09 0 Una tela, después de lavada, se reduce en / de su longitud y en / de su anchura. Qué longitud debe comprarse de una pieza de tela de 0,8 m de ancho para que, después de lavada, se tengan 8 m? Anchura después de lavada: 0,8 = 0, m Longitud después de lavada: 8 : 0, = m Longitud que ha de comprarse: : = 0 m Se sabe que una determinada carne contiene / de hueso y que, una vez deshuesada, pierde / de su peso al ser guisada. Calcula la cantidad de carne con hueso que es necesario comprar para que, al preparar una comida para personas, le corresponda a cada una 0 g de carne. Fracción de la carne que queda: ( + ) = Hay que comprar: 0 : = 00 g =, kg Un ordenador y una impresora cuestan conjuntamente 00. Si la impresora es / del precio del ordenador, cuáles son los precios de cada uno de los dos artículos? Fracción del precio conjunto: + = Precio del ordenador: 00 : = 000 Precio de la impresora: = Una pelota rebota cada vez a una altura igual a los / de la altura de la que cae. Si después de botes se eleva a 0, m, cuál es la altura desde la que cae? Altura: 0, : ( ) = 0, = m 8 98 SOLUCIONARIO

14 Halla de forma exacta la altura de un triángulo equilátero de cm de lado. Indica si el resultado es un número irracional o racional y exprésalo redondeando a dos decimales. La masa de la Tierra es,98 0 kg y la masa de Neptuno es veces la de la Tierra. Calcula la masa de Neptuno.,98 0 =,0 0 kg h Calcula el menor número x que cumpla: M.C.D. (x, 8) = / h = ( ) = = = cm Es un número irracional. h = 0,8 cm Un año luz es el espacio que recorre la luz en un año. Sabiendo que la velocidad de la luz es de km/s, expresa en kilómetros y en notación científica un año luz = 9,08 0 km El número Demuestra que la suma de tres números enteros consecutivos es múltiplo de tres. Sean los tres números enteros consecutivos: x x + x + Se tiene: x + x + + x + = x + = (x + ) Por tanto, la suma es múltiplo de UNIDAD. NÚMEROS RACIONALES E IRRACIONALES 99