2x + 3y = 3x 4y = 2x + 6y = 1 Sustituimos los valores en cada ecuación y vemos si se cumplen: Se cumplen las ecuaciones: 1

Transcripción

1 6 Pág. Página 5 PRACTICA Completa los siguientes sistemas de ecuaciones para que ambos tengan la solución, y. + 7y + y a) 4y Sustituimos en cada ecuación, y y operamos: + y a) 4y 0 Comprueba si, y es solución de los siguientes sistemas de ecuaciones: 7 + 4y + y a) y 7 + 6y Sustituimos los valores en cada ecuación y vemos si se cumplen: a) 7 ( ) ( ) 6 7 Se cumplen las ecuaciones:, y es solución del sistema. + + No se cumple. No es solución. 5 y + 7y 4 5 y Resuelve por sustitución: y + 5 a) y 9 y 5 4 y y 7 c) 6 y y y 6 a) y + 5 y 9 Solución: 7; y (y + 5) y 9 6y + 5 y 9 4y 4 y y + 5 7

2 y 6 9. Solución: ; y Solución: 0; y 8 4 Resuelve por igualación: y a) 5 4y 9 + y 5 c) y 5 + y e) f) + y 9 Solución: ; y Solución: ; y 6 y y 5 7y y y 0 5y y c) + y 5 y 5 y + y 5 y + y y y + y Solución: ; y 6 Pág. y 5 4 y Solución: ; y 5 c) 5 4y 7 6 y 9 y (6 9) y y y y 8 y 6 y y 5y + 7 y 8 5 y a) y 5 4y 9 y 4y 9 y 0y y y y y 6 y 5 7 y 6 y 5 7

3 6 Pág. 4 y 5y + 4 y 4 Solución: ; y 6y 4 5y y y e) f) 5 + y + y 9 9 y 7. Solución: 7 ; y y 8 5 y 8 + y 7 + y y + y y. Solución: ; y y 9 y 5 + y 9 y 5 + y 8 4y 7y y y 7 + y y y 5 Resuelve por reducción: + y a) y 9 0 y c) 0 + y 5y 9 6 y 6 y + 5y 5 a) + y y 9 Sumando: 6 y Solución: 6; y 5y 9 6 y 6 ( ) 6 + 0y 8 6 y 6 Sumando: 8y 4 y y. Solución: ; y

4 6 Pág. 4 c) 0 y 0 + y Sumando: Restando: 6y y 6 Solución: ; y 5 y ( ) + 6y 4 + 5y 5 + 5y 5 Sumando: y 77 y y 0 Solución: 0; y 7 6 Resuelve por el método que consideres más adecuado: 6 a) 4y y 6 c) y 4 y e) 5 5 f) 5 5y 6 y 5 + 6y 5, + 0,7y 7 0,5y,5 5 y 4 0 y a) 6 6 4y Solución: ; y 4y 4y y y 4 6 y 5 + 6y 5 6y 0 + 6y 5 Sumando: 5 5 y 6 5. Solución: ; y

5 6 Pág. 5 c) e) f) y Solución: ; y 4,8 + 0,6y + 0,7y 7,y 5, y 5, 4,,5 + 0,5y,5. Solución:,5; y 4 y 5 + 5y Solución: 9 ; y 5 Sumando: y 5 Sumando: y Solución: ; y 6 7 Resuelve los sistemas: a) c) 5 + y 6 y 4, + 0,7y 7 0,5y,5 y y 5 y 4 0 y ( ) + (y + 4) ( + y) 9 y + 5 y ( y) y 4 + y 0 ( + ) 5 (y + ) y y 6 5 (6 5) 4,5 + 0,5y,(,5 + 0,5y) + 0,7y 7 6y 5 5 5y y 5 5y 5 + 8y 5 5y 0,,7y 6,, + 0,8y,75

6 6 Pág. 6 a) ( ) + ( y + 4) ( + y) 9 y + y y 9 y 8 + y 8 y y Sumando: y 0 y 0 6 Solución: 6; y y ( y) y 6y + 9 5y 9 + 6y 6y 9 + y 5y + y y 6 y + y 7 Solución: 7; y c) ( + ) 5( y + ) y y y 0 5y y y y 5 Sumando: y 5 8 Solución: ; y 0,,7y 6,, + 0,8y,75 0,8,7 Sumando:,5 0,6,6y 4,88,09 +,6y 6,75,55,55 5 y,75,,5 0,8 Solución: 5; y

7 6 Pág. 7 PIENSA Y RESUELVE 8 Calcula dos números cuya suma sea 9 y su diferencia 67. Llamamos e y a los números que buscamos. Tenemos que: Sumando: y 9 6 Solución: 9; y 6 9 Dos kilos de peras y tres de manzanas cuestan 7,80. Cinco kilos de peras y cuatro de manzanas cuestan,0. A cómo está el kilo de peras? Y el de manzanas? Llamamos al precio del kilo de peras e y al precio del kilo de manzanas. Tenemos que: + y 7, y, Sumando: 7 8,4 8,4,, 7 y 7,8,8 y,8 Solución: El kilo de peras cuesta, y el de manzanas,,8. 0 Para pagar un artículo que costaba, he utilizado nueve monedas, unas de 0 céntimos y otras de 50 céntimos. Cuántas monedas de cada clase he utilizado? Llamamos al número de monedas de 0 céntimos e y al número de monedas de 50 céntimos. Tenemos que: + y y ; y 9 4 Solución: Hemos utilizado 5 monedas de 0 céntimos y 4 monedas de 50 céntimos. Página 6 + y 9 y 67 ( 4) y 9 + 5y 0 8 y, 5 + y 9,6 + 5(9 ) Un fabricante de bombillas obtiene un beneficio de 0, por cada pieza que sale del taller para la venta, pero sufre una pérdida de 0,4 por cada pieza defectuosa que debe retirar. En una jornada ha fabricado 00 bombillas, obteniendo unos beneficios de 484,4. Cuántas bombillas válidas y cuántas defectuosas se han fabricado en ese día?

8 Llamamos al número de bombillas válidas e y al número de bombillas defectuosas. Tenemos que: 4,4 89 y ,7 Solución: Se han fabricado 89 bombillas válidas y 08 defectuosas. 6 Pág. 8 + y 00 0, 0,4y 484,4 y 00 0, 0,4( 00 ) 484,4 0, ,4 484,4 0,7 4,4 Una empresa aceitera ha envasado 000 litros de aceite en 00 botellas de dos y de cinco litros. Cuántas botellas de cada clase se han utilizado? 5 litros l l Llamamos al número de botellas de dos litros e y al número de botellas de cinco litros. Tenemos que: + y y 000 y Solución: Se han utilizado 000 botellas de dos litros y 00 botellas de cinco litros. En un bar se venden bocadillos de jamón a,5 y bocadillos de tortilla a. En una mañana vendieron 5 bocadillos y la recaudación final fue de 49. Cuántos se vendieron de cada clase? Llamamos al número de bocadillos de jamón e y al número de bocadillos de tortilla. Tenemos que: + y 5,5 + y 49 y 5 y 5,5 + (5 ) 49, , /,5 0 Solución: Se vendieron 0 bocadillos de jamón y de tortilla. y ( 00 )

9 6 Pág. 9 4 En un test de 0 preguntas se obtienen 0,75 puntos por cada respuesta correcta y se restan 0,5 puntos por cada error. Si mi nota ha sido 0,5, cuántos aciertos y cuántos errores he tenido? Llamamos al número de aciertos e y al número de errores. Tenemos que: + y 0 0,75 0,5y 0,5 y 0 0,75 0,5(0 ) 0,5 0,75 7,5 + 0,5 0,5 8 y 0 Solución: He tenido 8 aciertos y errores. 5 Una empresa de productos plásticos recibe el encargo de fabricar cierto número de macetas para un día determinado. Al planificar la producción, el gerente advierte que si fabrican 50 macetas diarias, faltarían 50 macetas al concluir el plazo que les han dado. Si fabrican 60 macetas diarias, entonces les sobrarían 80 macetas. Cuántos días de plazo tenían y cuántas macetas les encargaron? Llamamos a los días de plazo que tenían e y al número de macetas que encargaron. Tenemos que: y y y Solución: Tenían días de plazo y les encargaron macetas. 6 Una empresa fabrica dos tipos de bicicletas, A y B. Para fabricar una del modelo A, se necesitan kg de acero y kg de aluminio, y para una del modelo B, kg de cada uno de esos materiales. Si la empresa dispone de 80 kg de acero y 0 kg de aluminio, cuántas bicicletas de cada tipo puede fabricar? Llamamos al número de bicicletas del tipo A e y al número de bicicletas del tipo B. Tenemos que: Acero + y 80 Aluminio + y 0 Restando: y 0 Solución: Puede fabricar 0 bicicletas del tipo A y 0 del tipo B.

10 6 Pág. 0 7 La base mayor de un trapecio es cm más larga que la menor; la altura del trapecio es 8 cm y su área 48 cm. Cuánto miden las bases? Llamamos a la base mayor e y a la base menor: 8 cm y y + ( + y) 8 Área 48 y + ( + y) 4 48 y + + y y + + y y 0 y 5 y + 7 Solución: La base mayor mide 7 cm y la menor, 5 cm. 8 En una parcela rectangular de 44 m de perímetro se hace un jardín rectangular bordeado por un camino de m de ancho. Calcula las dimensiones de la parcela sabiendo que el área del jardín es de 45 m. Llamamos e y a las dimensiones de la parcela: y y 4 4 Perímetro + y 44 + y Área jardín ( 4)(y 4) 45 y ( 4)( 4) 45 ( 4)(8 ) ± ± ± 4 y 9 9 y Solución: Las dimensiones de la parcela son m 9 m. 9 María ha comprado un abrigo que estaba rebajado un 5%. Marta ha comprado otro abrigo 5 más caro, pero ha conseguido una rebaja del 0%, con lo que solo ha pagado 8 más que María. Cuál era el precio de cada abrigo? Llamamos al precio (sin rebajar) del abrigo de María e y al precio (sin rebajar) del abrigo de Marta. Tenemos que:

11 6 Pág. y + 5 0,80y 0, Solución: El abrigo de María costaba 40 y el de Marta, Un capital, colocado en el banco durante un año, ha producido un beneficio de 800. El beneficio habría sido el mismo si el capital se hubiera aumentado en 000 y el interés anual se hubiera disminuido en un punto (en un %). A cuánto asciende el capital y a qué tanto por ciento ha estado colocado? Llamamos al capital (en euros) e y al tanto por ciento al que ha estado colocado. Tenemos que: y y ( + 000) ( ) ( )( ) ± ± 5 77,6 0,80( + 5) 0, , , ,05 40 y ,05 688,58 688,58 (no vale) y ,84% Solución: El capital es de 688,58 y el tanto por ciento, 6,84%. Por un pantalón y unos zapatos he pagado 6. Si el precio del pantalón aumentara en un 4%, entonces sería el 75% del precio de los zapatos. Cuánto pagué por cada uno? y ( + 000)(y ) y Pantalón Aumenta un 4%,4 Zapatos y El 75% de y 0,75y + y 6,4 0,75y y 6,4 0,75(6 ),4 94,5 0,75,89 94,5 94,5/,89 50 y 6 76 Solución: El pantalón costaba 50 y los zapatos, 76.

12 6 Pág. Página 7 He pagado 90,50 por una camisa y un jersey que costaban, entre los dos, 0. En la camisa me han rebajado un 0% y en el jersey, un 5%. Cuál era el precio original de cada artículo? Llamamos al precio original de la camisa e y al precio original del jersey. Tenemos que: + y 0 0,80 + 0,85y 90,5 0,80 + 9,5 0,85 90,5 0,05 60 y 50 0,05 Solución: La camisa costaba 60 y el jersey, 50. En un centro escolar hay matriculados 795 estudiantes entre los dos cursos de Bachillerato. El 45% de primero y el 5% de segundo son mujeres, lo que supone un total de 84 alumnas entre los dos cursos. Cuántos estudiantes hay en cada curso? Llamamos al número de estudiantes de º- de Bachillerato e y al número de estudiantes de º- de Bachillerato. Tenemos que: + y 795 0,45 + 0,5y 84 y 795 0,45 + 0,5(795 ) 84 0,45 + 4,4 0,5 84 9,4 0,07 9,4 40 y ,07 Solución: Hay 40 estudiantes en º- y 75 estudiantes en º-. 4 Dos comerciantes emprenden un negocio para cuya realización fue necesario invertir A la hora de repartir beneficios, el primero cobró 60 y el segundo, 440. Qué cantidad invirtió cada uno? Llamamos a la cantidad que invirtió el primero e y a la cantidad que invirtió el segundo. Total invertido Beneficio total : ,06 de beneficio corresponden a cada euro invertido. Al primero le corresponden 0, Al segundo le corresponden 0,06y 440 y Solución: El primero invirtió y el segundo, y 0 0,80 + 0,85(0 ) 90,5

13 6 Pág. 5 Tres socios han obtenido un beneficio de 900. Qué cantidad corresponde a cada uno si para iniciar el negocio el primero aportó / de lo que aportó el segundo y este, 5/6 de lo que aportó el tercero? Primero aportó Segundo aportó 5 6 Tercero aportó Suma aportaron entre los tres : de beneficio corresponden por cada euro invertido. 8 Primero le corresponden Segundo le corresponden Tercero le corresponden Solución: Al primero le corresponden 000, al segundo, 4 500, y al tercero, Un bodeguero ha mezclado dos cubas de vino: la primera, de mejor calidad, a /litro y la segunda, de calidad inferior, a, /litro. De esta forma ha obtenido 6 hl de un vino de calidad intermedia que sale a,5 /litro. Cuál era el contenido de cada cuba? MEJOR CALIDAD CALIDAD INFERIOR MEZCLA CANTIDAD (l ) PRECIO/l COSTE TOTAL ( ) y,,y + y 600,5 +,y, y 600 +,y y 600 +,( 600 ) , , ,8 y Solución: La de mejor calidad contenía 600 litros y la de calidad inferior contenía 000 litros. 7 El aceite de oliva cuesta el doble que el de orujo, y si se mezclan en una proporción de 5 a (en litros), resulta un aceite de calidad intermedia que cuesta,6 /litro Cuál es el precio de cada clase de aceite?

14 6 Pág. 4 OLIVA ORUJO MEZCLA CANTIDAD (l ) PRECIO/l COSTE TOTAL ( ) 5 y 5 y y 8,6 5 + y 8,6 y 5 + y 0,8 5 y + y 0,8 0y + y 0,8 0,8 y 0,8 y,6, Solución: El de oliva cuesta, /l y el de orujo,,6 /l. 8 Juntando el agua de una cazuela que está a 5 C con la de otra cazuela, a 60 C, se ha llenado una olla de 9 litros que ha resultado a una temperatura de 45 C. Cuántos litros había en cada cazuela? ª- CAZUELA ª- CAZUELA MEZCLA CANTIDAD (l ) TEMPERATURA ( C) 5 C 5 y 60 C 60y + y 9 45 C y y y y 405 y (9 ) y 9 6 Solución: En la ª- cazuela había litros y en la segunda, 6 litros. 9 Se ha fundido una cadena de oro del 80% de pureza junto con un anillo del 64% de pureza. Así se han obtenido gramos de oro de una pureza del 76%. Cuántos gramos pesaba la cadena y cuántos el anillo? CADENA ANILLO MEZCLA CANTIDAD (g) PUREZA CANTIDAD DE ORO (g) 80% 0,8 y 64% 0,64y + y 76% 0,8 + 0,64y 0,76 + y 0,8 + 0,64y 9, y 0,8 + 0,64( ) 9, 0,8 + 7,68 0,64 9, 0,6,44,44 9 0,6 y Solución: La cadena pesaba 9 gramos y el anillo, gramos.

15 6 Pág. 5 0 Un tren de cercanías sale de una estación a 90 km/h. Media hora más tarde, sale otro más rápido en la misma dirección a 0 km/h. Cuánto tardará en alcanzar al primero? El primer tren ha recorrido 45 km en / hora. (e v t ) 90 km/h h; 45 km km/h er TREN -º TREN ESPACIO VELOCIDAD TIEMPO 90 t t 90t t 45 90t t 45 0t t,5 h h 5 min 0 90,5 0,5 km Solución: Tardará,5 h, es decir, h 5 min, en alcanzarlo. Un tren que avanza a 70 km/h lleva una ventaja de 90 km a otro tren que avanza por una vía paralela a 0 km/h. Calcula el tiempo que tarda el segundo tren en alcanzar al primero y la distancia recorrida hasta lograrlo. 90 km 0 km/h 70 km/h er TREN -º TREN ESPACIO VELOCIDAD TIEMPO 70 t t 70t t 70t t 90 40t t,5 h 70t 57, ,5 Solución: Tarda,5 h, es decir, h 5 min, en alcanzarlo. Hasta ese momento recorre 47,5 km. Dos ciclistas avanzan por la misma carretera en el mismo sentido y les separa una distancia de 7,5 km. Si sus velocidades están en relación de a 4, y el segundo tarda 45 minutos en alcanzar al primero, cuál era la velocidad de cada uno? t 45 min h 0,75 h 7,5 km 4 4 v v er CICLISTA -º CICLISTA ESPACIO VELOCIDAD TIEMPO (km) (km/h) (h) v 0,75 + 7,5 4v 0,75