I.E.S. Tierra de Ciudad Rodrigo Departamento de Matemáticas TEMA 7. PROBLEMAS

Transcripción

1 TEMA 7. PROBLEMAS 1. En la Antología griega aparece el siguiente problema referido a la edad del matemático Diofanto: "Dios le concedió ser un muchacho durante la sexta parte de su vida, y añadiendo a esto una doceava parte pobló de vello sus mejillas. Le iluminó con la luz del matrimonio después de una séptima parte, y cinco años más tarde le concedió un hijo. Pero éste murió después de alcanzar la mitad de la vida de su padre. Después de consolar sus penas con la ciencia durante cuatro años más, finalizó su vida." Cuántos años vivió Diofanto? 2. Problema del bambú. (Texto indio del siglo IX) Un bambú que mide 30 codos y que se eleva sobre un terreno plano se rompe en un punto por la fuerza del viento. Su extremidad toca el suelo a 16 codos de su pie. A qué altura se ha roto? 3. Problema de las fuentes. (Leonardo de Pisa) Dos torres, una de 30 pasos y otra de 40 pasos de altas, están separada 50 pasos. Entre las dos torres se encuentra una fuente hacia la que se dirigen dos pájaros que están en la almenas de las torres. Yendo con igual velocidad llegan al mismo tiempo. A qué distancia de las torres se encuentra la fuente? 4. Problema del junco. (De un texto indio del siglo IX) Un junco enraizado en el fondo de un estanque se encuentra a 90 cm. de la orilla y su cabeza se eleva 30 cm. sobre el agua. Por la fuerza del viento se ha inclinado de modo que su cabeza toca la orilla a ras del agua. Cuál es la profundidad del estanque y la altura del junco? 5. Preguntado Pitágoras cuál era el número de sus alumnos respondió: "La mitad estudia Matemáticas, la cuarta parte los misterios de la Naturaleza, la séptima parte medita, y además hay tres mujeres". Cuántos alumnos eran? 6. Una mula y un asno cargados de trigo se dirigían al mercado. La mula le dijo al asno: "Si tú me das un saco, yo llevaré el doble de carga que tú; pero si yo te paso una, entonces nuestras cargas serán iguales." Cuántos sacos llevaba cada uno? 7. Por el campo van dos naturalistas y ven una bandada de pájaros. Uno le dice al otro: " Cuántos pájaros van ahí?", y el otro le responde: "Esos y otros tantos como esos y la mitad de esos y la cuarta parte de esos y el gavilán hacen 100." Cuántos pájaros formaban la bandada?

2 Problemas de números 8. Si a la mitad de un número le restamos 32 se obtiene 80. Qué número es? 9. Si un número lo multiplicamos por 5, nos da lo mismo que si a su doble le sumamos 21. Halla el número. 10. Halla dos números consecutivos que sumen Si a un número le sumamos 5, nos da lo mismo que si a su doble le restamos 4. Halla el número. 12. Si al cuádruple de un número se le suman 7, resulta 339. Halla el número. 13. Si a 85 le sumamos las 3 cuartas partes de un número se obtiene como resultado 100. Cuál es el número? 14. Halla un número cuyo doble disminuido en 6 es igual a tres veces su mitad. 15. Calcula un número tal que después de sumarle 52 y multiplicar el resultado por 3, nos de Calcula dos números cuya suma sea 191 y su diferencia Si a un número se le suman cuatro unidades, resulta su triple disminuido en doce unidades. Busca el número. 18. Calcula un número cuya tercera parte sumada con el triple del mismo número dé como resultado Descomponer el número 133 en dos partes tales que al dividir la parte mayor entre la menor de 4 de cociente y 8 de resto. 20. Halla dos números consecutivos cuyo producto sea La suma de un número y su cuadrado es 42. Hállalo. 22. La diferencia de dos números es 1/6. El triple del mayor menos el duplo del menor es 1. Halla dichos números. 23. Calcula dos números que sumen 150 y cuya diferencia sea igual al menor.

3 24. La suma de dos números es 8 y la suma de sus cuadrados es 34. Cuáles son dichos números? 25. Si a un número le restas 12, se reduce a su tercera parte. Qué número es? 26. La suma de tres números naturales consecutivos es igual al cuádruple del menor. Cuáles son los números? 27. Si al cuadrado de un número le quitas su doble, obtienes su quíntuplo. Cuál es el número? 28. La suma de un número par, el que le sigue (par también) y el anterior es 282. Halla los números. 29. El producto de un número natural por su siguiente es 31 unidades mayor que el quíntuplo de la suma de ambos. Qué números son? Problemas muy fáciles 30. Pepito ha sacado 7 puntos en un examen que constaba de 6 preguntas. En la primera pregunta obtuvo 2,5 puntos y en la última 1,5 puntos. En el resto de las cuestiones tuvo la misma puntuación, cuál fue esta? 31. Manolito dedica todos los días las 4 onceavas partes de su tiempo de estudio a repasar matemáticas, y los 70 minutos restantes a las demás materias. Cuánto tiempo estudia cada día Manolito? 32. Al comprar 17 bolígrafos Luisa ha pagado con un billete de 5 y le han devuelto 75 céntimos. Cuánto cuesta cada bolígrafo? 33. Juan, Pedro y Rosa reúnen 900 para realizar una excursión. Pedro aporta el doble que Juan, y Rosa el triple que Pedro. Cuánto dinero pone cada uno? 34. Pepe reparte 210 entre sus tres sobrinos de manera que el segundo recibe 35 menos que el primero y 20 más que el tercero. A cuánto toca cada uno? 35. Un viajero ha recorrido las dos quintas partes de su camino y aún le faltan 2 km para llegar a la mitad. Cuántos kilómetros tiene el camino? 36. Halla un número cuyo triple disminuido en 6 es igual a cinco veces su mitad. 37. Cada entrada infantil a un espectáculo cuesta 3 menos que cada entrada de adulto. Si una pareja y sus tres hijas pagan 36 Cuánto cuesta cada entrada?

4 38. Reparte 1200 entre dos personas, de modo que lo que corresponda a la primera supere en 70 a la segunda. 39. En un corral hay conejos y gallinas. En total hay 53 cabezas y 176 patas. Cuántos conejos y gallinas hay? 40. Qué número hay que añadir a los dos términos de la fracción para obtener otra fracción equivalente a 7 10? 41. Un hotel tiene habitaciones dobles y sencillas. En total hay 50 habitaciones y 87 camas. Cuántas habitaciones hay de cada tipo? 42. Cada vez que un jugador gana una partida recibe 700, y cada vez que pierde paga 300. Al cabo de 15 partidas ha ganado Halla el número de veces que ganó. 43. Un grupo de amigos están jugando a los chinos con monedas de 5 y 20 céntimos. Al abrir las manos cuentan 8 monedas con un valor de 1,30. Cuántas monedas hay de cada clase? 44. Halla tres números pares consecutivos que sumen Reparte entre tres personas de modo que el segundo tenga 5000 más que el primero, y el tercero 5000 más que el segundo. 46. Por un videojuego, un cómic y un helado Luis ha pagado 14,30. El videojuego es cinco veces más caro que el cómic, y éste cuesta el doble que el helado. Cuál es el precio de cada uno? 47. Dos kilos de peras y tres de manzanas cuestas 7,80. Cinco kilos de peras y cuatro de manzanas cuestas 13,20. A cómo están el kilo de peras y el de manzanas? 48. En un bar se venden bocadillos de jamón a 3,50 y de tortilla a 2. En una mañana se vendieron 52 bocadillos y la recaudación fue de 149. Cuántos se vendieron de cada clase? Problemas de edades 49. Un padre tiene 42 años y sus hijos 7 y 5, respectivamente. Cuántos años han de pasar para que la edad del padre sea igual a la suma de las edades de los hijos? 50. Ernesto tiene 3 años más que Mercedes, y ésta 5 años más que Luis. Calcula la edad de cada uno si entre los tres suman 58 años.

5 51. La edad de Pepe más la que tendrá dentro de 10 años es 38. Qué edad tiene ahora? 52. Un padre tiene 53 años y su hija 13. Cuántos años tendrán que pasar para que la edad del padre sea el doble que la de la hija? 53. Nuria tienen 9 años más que Marta. Cuando pasen 9 años más entre las dos sumarán 41 años. Cuál es la edad actual de cada una? 54. Un padre tiene 50 años y su hija 22. Cuántos años hace que la edad del padre era el triple que la de la hija? 55. Juan tienen 30 años más que Luis, y la edad de Juan es a la de Luis como 8 es a 3. Halla sus edades. 56. Una madre tiene el triple de la edad de su hijo. Si la madre tuviera 15 años menos y el hijo 5 años más, los dos tendrían la misma edad. Qué edad tienen cada uno? 57. Una madre le dice a su hijo: Hace 7 años mi edad era cuatro veces la tuya, pero ahora solo es el triple. Qué edad tiene cada uno? 58. La edad de José es 5 veces la de su hermana. Dentro de 2 años será 4 veces mayor que ella. Cuáles son sus edades? 59. Luis tiene 30 años menos que su tío Juan, y éste tienen 4 veces la edad de Luis. Qué edad tiene cada uno? 60. Dos niños tienen 8 y 2 años, respectivamente. Al cabo de cuánto tiempo la edad del primero será el doble de la del segundo? 61. La edad de un señor es de 60 años y la de su sobrino de 24. Cuántos años hace que la edad del tío era el cuádruplo de la del sobrino? 62. Dentro de 11 años la edad de Julio será la mitad del cuadrado de la edad que tenía hace 13 años. Halla la edad de Julio. 63. La suma de las edades de tres personas es 100 años. Halla la edad de cada una sabiendo que la mediana tiene 10 años más que la menor, y que la mayor tiene tantos años como las otras dos juntas. 64. Halla las edades de dos personas sabiendo que hace 10 años la edad de la primera era cuatro veces la de la segunda, y que dentro de 20 años será solo el doble.

6 65. Un abuelo le dice a su nieto: Hoy tu edad es 1 5 de la mía, y hace 7 años no era más que 1 9. Halla sus edades. 66. Antonio tiene 15 años, su hermano Roberto 13 y su padre 43. Cuántos años han de pasar para que entre los dos hijos igualen la edad del padre? 67. La suma de las edades de los cuatro miembros de una familia es 104 años. El padre tiene 6 años más que la madre, que tuvo a los dos hijos gemelos con 27 años. Halla la edad de cada uno de los miembros de la familia. Problemas de móviles 68. Dos coches salen simultáneamente de dos ciudades que distan entre sí 600 km. Si uno lleva una velocidad de 56 km/h y el otro de 64 km/h, y van en la misma dirección y sentidos opuestos, después de cuanto tiempo y a qué distancia de las ciudades se encontrarán? 69. Dos puntos A y B distan 70 km. Simultáneamente salen de A y B dos coches a 80 km/h y 60 km/h, respectivamente A qué distancia de A se encontrarán? 70. Una furgoneta sale de un punto A a 80 km/h. Hora y media más tarde del mismo punto y en la misma dirección un coche a 100 km/h. Cuánto tiempo tardará en alcanzarlo y a qué distancia del punto de partida? 71. Un móvil sale de Madrid a una velocidad de 65 km/h. Después de una hora sale otro en su misma dirección y sentido, y lo alcanza 5 horas después. Cuál es la velocidad del segundo vehículo? 72. Un ciclista hace un recorrido en bicicleta. A la ida va a 36 km/h y vuelve a 24 km/h. Si tarda una hora y media más en la vuelta que en la ida. Qué distancia recorrió? 73. Dos coches salen simultáneamente del mismo punto en la misma dirección. A los 20 minutos el primero le lleva una ventaja de 10 km al segundo. Si éste va a 90 km/h, cuál es la velocidad del primero? 74. Un ciclista que va a 18 km/h tarda 45 minutos en alcanzar a otro que le lleva una ventaja de 6 km. Qué velocidad lleva el que iba delante? 75. Un ciclista sale a una velocidad de 15 km/h. Qué velocidad deberá llevar otro ciclista que sale media hora después si pretende alcanzar al primero en hora y media? 76. Un coche sale de una ciudad A, hacia otra ciudad B distante 315 km, a una velocidad de 105 km/h. Simultáneamente sale de B hacia a un camión que tarda en

7 cruzarse con el coche una hora y cuarenta y cinco minutos. Cuál era la velocidad del camión? 77. Un tren que va a 70 km/h lleva una ventaja de 90 km a otro tren que avanza por una vía paralela a 110 km/h. Calcula el tiempo que tarda el segundo tren en alcanzar al primero y la distancia recorrida hasta lograrlo. 78. Dos ciudades, A y B, distan 350 km. Salen al mismo tiempo desde A y B, respectivamente, un coche y un camión. Se cruzan después de 1 hora y 45 minutos. Cuál es la velocidad de cada uno sabiendo que la del coche supera a la del camión en 20 km/h? 79. Para hacer un viaje entre dos ciudades, A y B, si vamos a 80 km/h tardamos 3 horas más que si vamos a 100 km/h. Cuál es la distancia entre las dos ciudades? Problemas de mezclas. 80. Se desea mezclar un producto de 55 con otro de 40 para que la mezcla resulte a 45 /litro. Cuántos litros hay que usar de cada clase para obtener 300 litros de mezcla? 81. Con dos tipos de barniz, de 3 /kg y de 1,60 /kg, respectivamente, se quiere obtener un barniz de 2,16 /kg. Cuántos kg de cada tipo se tendrán que poner para obtener 50 kg de mezcla? 82. Se ha mezclado cierta cantidad de café de 8 /kg con otra cantidad de una segunda clase de café de 12 /kg, con lo que se han obtenido 8 kilos de mezcla a 10,50 /kg. Cuántos kilos de cada clase se han mezclado? 83. Cuánta agua debe añadirse a una garrafa que contiene 5 litros de alcohol del 96% para rebajarlo a 80%? 84. Se ha vertido un bidón de aceite de orujo de 1,6 /litro, en una tinaja que contenía 400 litros de aceite de oliva de 3,2 /litro. Sabiendo que el litro de la mezcla cuesta 2,60 /litro, cuántos litros había en el bidón? 85. Cuántos litros de agua del grifo, a 15 C, hay que añadir a una olla que contenía 6 litros de agua a 60 C, para que la mezcla quede a 45 C? 86. Mezclando 15 kg de arroz de 1 /kg con 25 kg de arroz de otra clase, se obtiene una mezcla que sale a 1,30 /kg. Cuál será es precio de la segunda clase de arroz?

8 87. Se han mezclado 30 litros de aceite barato con 25 litros de aceite caro, resultando la mezcla a 3,20 /litro. Halla el precio de cada tipo de aceite sabiendo que el de más calidad es el doble de caro que el otro. 88. Un bodeguero ha mezclado dos tipos de vino, uno de 3 /litro y otro de 2,2 /litro. De esta forma ha obtenido 16 hl de un vino de 2,5 /litro. Cuántos litros usó de cada tipo de vino? 89. Juntando el agua de una cazuela que está a 15 C con la de otra cazuela que está a 60 C, se ha llenado una olla de 9 litros que ha resultado a una temperatura de 45 C. Cuántos litros había en cada cazuela? Problemas geométricos. 90. Halla el área de un rombo sabiendo que la suma de sus diagonales es 170 cm y que la diferencia es 70 cm. 91. Un lado de un rectángulo es 3 8 del otro, y su perímetro es 132 cm. Halla su área. 92. La base mayor de un trapecio es 2 cm más larga que la menor. Su altura es 8 cm y su área 48 cm 2. Cuánto miden las bases? 93. Para vallar una finca rectangular de 750 m 2 se han utilizado 110 metros de cerca. Halla sus dimensiones. 94. Un campo rectangular tiene 20 metros más de largo que de ancho, y su área es de 2400 m 2. Halla sus dimensiones. 95. Halla las medidas de los ángulos de un triángulo sabiendo que uno es la mitad del otro y que el tercero es la cuarta parte de la suma de los dos primeros. 96. Los lados de un triángulo rectángulo tienen por medidas tres números consecutivos. Hállalos. 97. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 13 cm. Averigua las medidas de los catetos sabiendo que su diferencia es de 7 cm. 98. El perímetro de un triángulo isósceles mide 16 cm, y la altura mide 4 cm. Halla sus lados. 99. El cateto menor de un triángulo rectángulo mide 11 cm, y la hipotenusa mide un cm más que el otro cateto. Halla sus medidas.

9 100. Cuánto miden los lados de un rectángulo de 160 cm de perímetro, sabiendo que la longitud de uno de sus lados es dos tercios de la longitud del otro? 101. Las diagonales de un rombo están en la proporción de 2 a 5. El área de dicho rombo 245 cm 2. Calcula la longitud de las diagonales y el lado del rombo Un rectángulo tiene 300 cm 2 de área y su diagonal mide 25 cm. Cuánto miden sus lados? 103. Calcula las dimensiones de un rectángulo en el que la base mide 2 cm menos que la altura y cuya diagonal mide 10 cm. Más problemillas Halla un número cuya mitad es 63 unidades menor que su doble Calcula un número sabiendo que sus tres cuartos superan en 22 unidades a su mitad Un número impar, su anterior y su siguiente suman 213. Hállalos Antonio tiene 15 años y su madre tiene 42. Cuántos años han de pasar para que la edad del hijo sea la mitad de la de la madre? 108. Una TV y un DVD cuestan Si el televisor se rebajara en un 20 %, entonces ambos costarían lo mismo. Halla sus precios Hemos pagado una factura de 435 con billetes de 5 y de 10. En total hemos dado 60 billetes. Cuántos de cada clase? 110. Dos números se diferencian en 53 unidades. Si dividimos el mayor entre el menor, el cociente es 2 y el resto 21. Halla dichos números La base de un rectángulo es 15 cm mayor que la altura, y su perímetro es de 70 cm. Halla sus dimensiones Calcula dos números impares consecutivos cuyo producto sea Si multiplicas la tercera parte de cierto número por sus tres quintas partes, obtienes 405. Cuál es ese número?

10 114. Un embalse contiene 2200 hectolitros y otro embalse 1900 hectolitros. Si el primero recibe 2 hl diarios y el segundo 8, cuánto tiempo tardarán en igualar sus reservas? 115. En un examen de 30 preguntas dan dos puntos por cada pregunta acertada, pero quitan uno por cada fallo. Si un alumno obtiene 18 puntos, cuántas falló? 116. Dos poblaciones, A y B, están a 50 km. En el mismo instante salen un peatón de A hacia B a 5 km/h y un ciclista de B hacia A a 20 km/h. Cuánto tardarán en encontrarse? Qué distancia recorren? 117. La distancia entre dos ciudades es de 300 km. Un autobús sale de a hacia B a 105 km/h. simultáneamente sale de B hacia a una moto a 120 km/h. Halla la distancia que recorren hasta encontrarse En un triángulo rectángulo, un cateto mide 2 cm menos que la hipotenusa y 2 cm más que el otro cateto. Halla las longitudes de sus lados Un pastelero ha mezclado 12 kg de azúcar de 1,1 /kg, con cierta cantidad de miel de 4,2 /kg, resultando una mezcla que sale a 2,34 /kg. Cuánta miel usó? 120. Me faltan 1,8 para comprar mi revista de informática. Si tuviera el doble de lo que tengo ahora, me sobrarían 2. Cuánto tengo? Cuánto cuesta la revista? 121. Con 12 que tengo podría ir 2 días a la piscina, un día al cine y me sobrarían 4,5. La entrada a la piscina cuesta 1,5 menos que la del cine. Cuánto cuesta la entrada del cine? 122. Si un número aumenta en un 10%, resulta 42 unidades mayor que si disminuye en un 5%. Cuál es el número? 123. Varios amigos se reparten un premio y les toca 15 a cada uno. Si hubieran sido 4 amigos más, hubieran tocado a 3 menos. Cuántos eran para repartir? 124. Una peña contrató un autobús. Si este se hubiera llenado cada persona hubiera pagado 8,50, pero quedaron 3 plazas vacías y el viaje costó 9 por personas. Cuántas plazas tenía el autobús? 125. En un test de 30 preguntas se obtienen 0,75 puntos por cada respuesta correcta y se restan 0,25 puntos por cada fallo. Si la nota de Julián ha sido 10,5, cuántos aciertos y errores tuvo? 126. Halla dos números sabiendo que su suma es 100 y su diferencia 20.

11 127. Reparte 120 entre dos personas, de modo que lo que corresponda a la primera supere en 70 a la segunda Halla dos números tales que al dividir el primero entre el segundo se obtenga de cociente 5 y de resto 2, y tales que su suma sea Un hijo tiene 30 años menos que su padre y éste tiene cuatro veces la edad del hijo. Qué edad tiene cada uno? 130. En un corral hay ovejas y patos. En total hay 72 cabezas y 224 patas. Cuántas ovejas y patos hay? 131. La suma de un número y el cuadrado de su siguiente es 89. Hállalos Un padre tiene triple edad que su hija. Si el padre tuviera 20 años menos y la hija 10 más, los dos tendrían la misma edad. Averigua la edad de cada uno Un grupo de amigos están jugando a los chinos con monedas de 50 y 20 céntimos. Al abrir las manos cuentan 12 monedas con un valor de 4,50. Cuántas monedas hay de cada clase?