1 Ecuaciones con dos incógnitas

Transcripción

1 a las Enseñanzas Aplicadas Ecuaciones con dos incógnitas Página 99. Representa las rectas correspondientes a estas ecuaciones: a) y = b) + y = Cuál es la solución común a ambas ecuaciones? a) y = y = y b) + y = y = + 0 y La solución común a ambas ecuaciones es el punto (, ). y = + (, ) y =

2 a las Enseñanzas Aplicadas Sistemas de ecuaciones Página 00. Tenemos 7 céntimos de euro en veinte monedas de dos y de cinco céntimos. Cuántas monedas de cada clase tenemos? Incógnitas : númerodemonedas de doscéntimos y: númerodemonedas de cincocéntimos En total tengo 0 monedas + y = 0 El valor total es 7 céntimos de euro. Valor de las monedas de dos céntimos: Valor de las monedas de cinco céntimos: y + y = 0 + y = 7 Por tanteo, la solución del sistema es = 8, y =. Por tanto, tenemos 8 monedas de dos céntimos y monedas de cinco céntimos.

3 a las Enseñanzas Aplicadas Número de soluciones de un sistema lineal Página 0. Fijándote bien en las ecuaciones que los forman, di cuál de los siguientes sistemas tiene una solución, cuál es incompatible y cuál indeterminado. Compruébalo representando las rectas: a) + y = + y= y b) c) + y= 0 + y= 0 + = + y= 0 d) + y = y= a) Es un sistema incompatible, porque si + y es igual a, no puede ser, a la vez, igual a 0. b) Es un sistema con una única solución puesto que las dos ecuaciones son distintas. + y = + y = 0 + y = + y = 0 c) Es un sistema indeterminado porque una ecuación es el doble de la otra, es decir, las dos ecuaciones son iguales. + y = 0 + y = + y = 0 d) Es un sistema con una única solución, puesto que las dos ecuaciones son distintas. + y = y =. Completa los siguientes sistemas para que el primero tenga la solución =, y =, el segundo sea incompatible, el tercero sea indeterminado y el cuarto, también: y= + y= + y= + y= a) b) c) d) = + y= = + y = 9 y a) = 7 + y = b) + y = + y = 8 Vale cualquier valor distinto de 8. y c) + = + y = 8 d) + y = + y = 9

4 a las Enseñanzas Aplicadas Método de sustitución Página 0. Resuelve, por el método de sustitución, los siguientes sistemas: + y= + 0y= a) b) y= + y= y= 0 + y= c) d) + y= y= + y = y = a) 8 y = y = ( ) = 0 + = 8 = = = 8 = y = y = Solución: =, y = + 0y = + 0y = b) 8 + y = = y ( y) + 0y = y + 0y = + y = y = y = y = = ( ) = + = Solución: =, y = y = 0 y = 0 c) 8 + y = y = ( ) = = = 0 7 = y = 7 = 8 = Solución: = 7, y = + y = + y = d) 8 y = = y 7 = 9 = 9 = = 8 = 8 = + 8 = 8 = y = = = Solución: =, y =

5 a las Enseñanzas Aplicadas Método de igualación Página 0. Resuelve, por el método de igualación, los siguientes sistemas: + y= + 0y= a) b) y= + y= + y= y= 0 c) d) y= + y= + y = y = a) 8 y = y = = + = + 8 = = 8 = y = y = Solución: =, y = + 0y = 0y = b) [ + y = = y \ 0y = y = ( ) = + = Solución: =, y = + y = y = c) 8 y = y = 0y = ( y) 0y = y 0y + y = + y = y = = + = + 8 = 8 = y = = = Solución: =, y = y = 0 0 = y d) [ + y = y = \ 0 = 0 = ( ) 0 = 9 + = = 9 = 9 = 7 7 y = 7 = 8 = Solución: = 7, y =

6 a las Enseñanzas Aplicadas Método de reducción Página 0. Resuelve, por el método de reducción, los siguientes sistemas: + y= + y= 7 a) b) y= y= y= y= 0 c) d) + 0y= + y= + y = a) y = = 8 = 8 = + y = y = y = Solución: =, y = + y = 7 b) y = = 8 = 8 = + y = 7 y = 7 y = y = Solución: =, y = y = 8 Multiplicamos por 0y = c) + 0y = + 0y = 0 = 0 = 0 = 0 ( ) y = y = y = + y = 0 y = Solución: =, y = 0 y = y = 0 d) + y = 8 Multiplicamos por y = 0 + y = 9 7 = 9 = 9 = y = 0 y = 0 y = 0 y = y = Solución: = 7, y = y =

7 a las Enseñanzas Aplicadas 7 Regla práctica para resolver sistemas lineales Página 0. Resuelve este sistema simplificando previamente: ( ) + ( y+ ) = 9 y = ( ) + ( y + ) = 9 + y + = 9 + y = 9 + [ y 8 [ y 8 = c m= y = 8 \ \ 8 + y = 8 Multiplicamos por + y = 8 y = 8 8 Multiplicamos por 9 y = = = = Sustituyendo: + y = 8 + y = y = 8 y = 9 y = 9 y = La solución del sistema es =, y =. Resuelve este sistema aplicando dos veces el método de reducción: Para despejar : y= 7+ y= 9 y = 8 Multiplicamos por 70 y = y = 9 8 Multiplicamos por 77 + y = 09 Para despejar y : 7 = 7 = y = 8 Multiplicamos por ( 7) y = y = 9 8 Multiplicamos por y = 8 7y = 9 y = 9 y = 7 La solución del sistema es =, y = 7

8 a las Enseñanzas Aplicadas 8 Traducción de enunciados a sistemas de ecuaciones Página 0. Por dos cafés y un cruasán hemos pagado,0. En la mesa de al lado había un grupo de amigos que han pagado,0 por cinco cafés y tres cruasanes. Cuánto cuesta cada café y cada cruasán? Precio del café Precio del cruasán y + y =, 0 8 Multiplicamos por ( ) + y =, 0 y =, 90 + y =, 0 =,0 =,0 Sustituimos en la primera ecuación:,0 + y =,0,0 + y =,0 y =,0,0 y =,70 Un café cuesta,0, y un cruasán,,70.. Calcula dos números cuya suma sea 9, y su diferencia, 7. Un número Otro número y + y = 9 y = 7 = 8 = 8 = 9 Sustituimos en la primera ecuación: 9 + y = 9 y = 9 9 y = Los números son 9 y.. Una empresa aceitera ha envasado 000 litros de aceite en 00 botellas de dos y de cinco litros. Cuántas botellas de cada clase se han utilizado? Número de botellas de litros Número de botellas de litros y + y = 00 = 00 y 8 + y = y = 000 (00 y) + y = y + y = 000 y = 00 y = 00 = = 000 Se han utilizado 000 botellas de dos litros y 00 botellas de cinco litros. 8

9 a las Enseñanzas Aplicadas. En un test de 0 preguntas se obtienen 0,7 puntos por cada respuesta correcta y se restan 0, puntos por cada error. Si mi nota ha sido 0,, cuántos aciertos y cuántos errores he cometido? Número de aciertos Número de errores y 07, + 0, y = 0 8 Multiplicamos por 0, 0, + 0, y = 7, 8 07, 0, y = 0, 07, 0, y = 0, Sustituimos en la primera ecuación: 8 + y = 0 y = 0 8 y = He cometido 8 aciertos y errores. = 8. Para pagar un artículo que costaba, he utilizado nueve monedas, unas de 0 céntimos y otras de 0 céntimos. Cuántas monedas de cada clase he utilizado? Ver el ejercicio resuelto de la página 00. Número de monedas de 0 céntimos Número de monedas de 0 céntimos y 0, + 0, y = 9 = 9 y 8 0, + 0, y = 0, + 0, y = 0,(9 y) + 0,y =,8 0,y + 0,y = 0,y =, y = = 9 = He utilizado monedas de 0 céntimos y monedas de 0 céntimos. 9

10 a las Enseñanzas Aplicadas Página 07. Dos poblaciones están a 0 km. En el mismo instante, salen un peatón de A hacia B a km/h y un ciclista de B hacia A a 0 km/h. Cuánto tardan en encontrarse? Qué distancia recorre el peatón? Distancia (km) Tiempo (h) Velocidad (km/h) Peatón t Ciclista 0 t 0 Espacio = velocidad tiempo = t ) 0 = 0t Resolvemos por sustitución: 0 t = 0t 0 = 0t + t 0 = t t = 0 t = horas Sustituimos en la primera ecuación: = = 0 km Se encuentran horas después de salir. El peatón recorre 0 km. 7. Un jardín rectangular de 0 m es m más largo que ancho. Cuáles son sus dimensiones? Llamamos al ancho e y al largo del jardín. y 0 m y = + y = 0 Resolvemos por sustitución: ( + ) = 0 + = = 0 = ± ( 0) ± + 00 ± = = = ± = + 8 = 0 8 = 0 = 8 = 0 8 = 8 Novale porque esnegativo Sustituimos en la primera ecuación: y = 0 + = m El jardín mide 0 metros de ancho y metros de largo. 0

11 a las Enseñanzas Aplicadas 8. Dos ciudades, A y B, distan 7 km. Un autobús sale de A hacia B a 0 km/h. Simultáneamente, sale de B hacia A una moto a 0 km/h. Calcula la distancia que recorre cada uno hasta que se encuentran. Distancia (km) Tiempo (h) Velocidad (km/h) Autobús t 0 Moto 7 t 0 Espacio = velocidad tiempo = 0t ) 7 = 0t Resolvemos por sustitución: 7 0t = 0t 7 = 0t + 0t 7 = t t = 7 t = horas Sustituimos en la primera ecuación: = 0 = km 7 = 0 km Hasta que se encuentran, el autobús recorre km y la moto, 0 km. 9. Los lados de un rectángulo están en relación de a y la diagonal mide m. Cuánto miden los lados? Llamamos al ancho e y al largo del rectángulo. y m Utilizamos el Teorema de Pitágoras: + y = y = [ + y= \ Resolvemos por sustitución: + c m = + 9 = c+ 9 m = + 9 = 9 00 = 9 00 = = 78 = 8 m Sustituimos en la primera ecuación: y = 8 = 7 = m El rectángulo mide 8 metros de ancho y metros de largo. 9 00

12 a las Enseñanzas Aplicadas Ejercicios y problemas Página 08 Practica. Completa los siguientes sistemas de ecuaciones para que ambos tengan la solución =, y = : + y= + 7y= a) b) y= y= + y = + 7y = a) b) y = 0 y =. Comprueba si =, y = es solución de los siguientes sistemas de ecuaciones: 7+ y= 0 + y= 0 a) b) y= 8 + y= Veamos si se cumplen las igualdades: 7 ( ) + = 0 a) Se cumplen las igualdades, es solución. ( ) = 8 + = 0 b) ) La segunda igualdad no se cumple. No es solución. ( ) + =. a) Busca dos soluciones de la siguiente ecuación: + y =. b) Representa gráficamente la recta + y =. c) Qué relación hay entre los puntos de la recta y las soluciones de la ecuación? a) Por ejemplo: =, y = ó = 0, y =. b) + y = y = 0 y 0 c) Los puntos de la recta son las soluciones de la ecuación + y =.

13 a las Enseñanzas Aplicadas. a) Representa gráficamente, y en los mismos ejes, estas dos rectas: + y = + y = b) Di cuál es la solución del sistema siguiente: + y= + y= a) Calculamos varios puntos de cada recta: + y = y = 0 y 0 + y = y = 0 y 0 y = y = b) La solución es (, ) porque es el punto que pertenece a ambas rectas.. Resuelve estos sistemas representando gráficamente las rectas que los forman: y a) + = y= b) + y = c) y = y = 8= y d) + y = y= + y = y = a) 8 y = y = 0 y = 0 y = 0 y = (, ) y = La solución de este sistema es el punto (, ). + y = y = b) 8 = y y = + 0 y = 0 y = + 0 y = + 0 y = Las rectas son paralelas. El sistema no tiene solución.

14 a las Enseñanzas Aplicadas y = c) 8 8= y = = 0 y = 0 y y Las ecuaciones son equivalentes. Por tanto, las dos rectas coinciden. El sistema tiene infinitas soluciones. d) y y = + = [ y = y = = y \ 0 (, 0) 0 y = 0 y = 0 La solución es (, 0). y =. Resuelve por sustitución. a) = y + b) y = y= 7 c) y= 9 + y= + y= d) + 8 = y y= = y e) f ) y = y+ = + y= = y + a) y = 9 (y + ) y = 9 y + y = 9 y + = 9 y = 9 y = y = = + = 7 Solución: = 7, y = y = b) + y = + = + 0 = = 0 = = = Solución: =, y = y = 7 y = 7 c) 8 + y = y = ( ) = 7 + = 7 9 = 7 9 = = 9 = y = = = Solución: =, y =

15 a las Enseñanzas Aplicadas d) + 8 = y y = ( + 8) = + = + = = = 0 y = = 8 Solución: = 0, y = 8 y = e) y + = (y + ) y = y + y = y + = y = = ( ) + = + = Solución: =, y = = y f) + y = y = y = y + y = y = y = + y = y = = = = 0 = 0. Solución: = 0, y = 7. Resuelve por igualación. a) = y = y 8 b) y = + y= 7 c) + y = y= y = + y= y= d) [ y = + e) f) + y= y= 0 \ = y a) = y 8 y = y 8 8 = y y 8 = y y = 8 y = = = 8 Solución: = 8, y = y = y = b) 8 + y = 7 y = 7 = 7 + = 7 7 = 7 = y = y = Solución: =, y =

16 a las Enseñanzas Aplicadas + y = = y c) 8 y = = + y y = + y = y + y = y y = = + = Solución: =, y = y = d) [ y = + \ = + = + = = y = = Solución: =, y = + y = = + y e) 8 + y = = y + y = y y + y = y = y = = + ( ) = = Solución: =, y = y = = y f) 8 y = 0 = y y = y y y = y = y = y = = = = = Solución: =, y = 8. Resuelve por reducción. a) + y = y= 9 0 y= b) c) y= 9 y= 0+ y= y= + y= 8+ y= d) e) f ) + y= 7y= + y= + y = a) y = 9 = = = + y = y = y = Solución: =, y =

17 a las Enseñanzas Aplicadas y = 9 8 Multiplicamos por ( ) + 0y = 8 b) 8 y = y = 8y = y = y = 8 ( ) = 9 + = 9 = 9 = = = Solución: =, y = 0 y = c) 0 + y = 0 = = 0 = 0 y = y = = y y = y = Solución: =, y = y = 8 Multiplicamos por ( ) + y = d) 8 + y = + y = y = 77 y = 7 ( 7) = + = = = 0 Solución: = 0, y = 7 + y = 8 Multiplicamos por ( ) y = 8 e) 8 7y = 8 Multiplicamos por y = 7y = 7 y = + ( ) = = = + = 0 = 0 = Solución: =, y = 8 + y = 8 Multiplicamos por + y = 0 f) 8 + y = 8 Multiplicamos por ( ) y = 7 = 7 = 8 + y = y = 8 y = y = Solución: =, y = 7

18 a las Enseñanzas Aplicadas 9. Resuelve estos sistemas por el método que consideres más adecuado e interpreta gráficamente la solución (no es necesario que representes las rectas): + y= y= = y y= 8 a) b) c) d) + y= + y= 0 y= 0 y= + a) Vamos a resolverlo por reducción: + y = + y = 8 + y = 8 Multiplicamos por ( ) 8 y = = = + y = y = y = Solución: =, y =. Gráficamente, son dos rectas que se cortan en el punto (, ). b) Vamos a resolverlo por sustitución: y = 8 y = + y = 0 + ( ) = = = 0 = 0 0 = 0 No tiene solución. Gráficamente, son dos rectas paralelas. c) Vamos a resolverlo por sustitución: = y y = 0 8 y = = = 0 = = 0 y = 0 = 0 Soluicón: = 0, y = 0. Gráficamente, son dos rectas que se cortan en el punto (0, 0). d) Vamos a resolverlo por igualación: y = 8 + 8= y 8 y = + y = = + 8 = = 0 Infinitas soluciones. Gráficamente son la misma recta. 8

19 a las Enseñanzas Aplicadas 0. Resuelve por el método que consideres más ade cuado. = y= + y=, + 07, y= a) y b) c) d) + = + y= 9 y= 0, y= 0 y e) ( ) + y= 8 = [ f ) + g) y = h) y = = y + y= + y= 8 ( + y) = \ a) Vamos a resolverlo por sustitución: = = [ y 8 [ y + = + = \ \ y + = e y 0 + o = 0 + y = y = 0 y = y = y = Solución: =, y = b) Vamos a resolverlo por reducción: y = 8 Multiplicamos por y = 8 + y = 9 + y = 9 = = + y = 9 y = 9 y = y = Solución: =, y = c) Vamos a resolverlo por reducción: + y = 8 Multiplicamos por 0 + y = 8 y = y = + y = 0 + y = y = 0 y = Solución: =, y = d) Vamos a resolverlo por sustitución:, + 07, y =, + 07, y = 8 0, y = 0 = 0, y = = =, 0,y + 0,7y = 0,y + 0,7y =,y = y = = 0, 0 = Solución: =, y = 0 y = 0, 9

20 a las Enseñanzas Aplicadas e) Vamos a simplificarlo y resolverlo por reducción: y y = e o= y = [ 8 [ + y = ( + y) = + y = \ \ + y = + y = 8 + y = 8 Multiplicamos por ( ) y = 8 = = = + y = + y = y = y = 0 y = 0 y = Solución: =, y = f) Vamos a simplificarlo y resolverlo por igualación: ( ) + y = 8 + y = 8 y = 8+ y = = y + = y + = y + = y + = + ( + ) = c + m + = + = + = 7 = = 7 y = + = 9 + y = Solución: =, y = g) Vamos a resolverlo por sustitución: y = y = [ + y = y = \ y y = e y yo = y( y) = y y = y y + = 0 y = ( )± ( ) ± 80 ± = = = ± y = y 0 = 8 y = 8 = 0 0 [ y 8 8 y 8 y = = = 8 = 0 \ 0 0 = Solución: y y = = 0 y = 0

21 a las Enseñanzas Aplicadas h) Vamos a resolverlo por igualación: y = = y 8 + y = 8 y = 8 = = 0 + = 0 = ± ( ) ± + 8 ± 9 = = = ± 7 = = 8 = 8 y = [ = = 8 = 8 y = 8 \ Solución: = y y = y = = 8

22 a las Enseñanzas Aplicadas Página 09 Piensa y resuelve. En un bar se venden bocadillos de jamón a,0 y bocadillos de tortilla a. En una mañana vendieron bocadillos y la recaudación final fue de 9. Cuántos se vendieron de cada clase? Número de bocadillos de jamón Número de bocadillos de tortilla y + y = 8 Multiplicamos por ( ) y = 0 8 0, + y = 9 0, + y = 9 Sustituimos en la primera ecuación: 0 + y = y = 0 y = Se vendieron 0 bocadillos de jamón y de tortilla.,0 = = 0, = 0. Un fabricante de bombillas obtiene un beneficio de 0,0 por cada pieza que sale del taller para la venta, pero sufre una pérdida de 0,0 por cada pieza defectuosa que debe retirar. En una jornada ha fabricado 00 bombillas, obteniendo unos beneficios de 8,0. Cuántas bombillas válidas y cuántas defectuosas se han fabricado en ese día? Número de bombillas válidas Número de bombillas defectuosas y + y = 00 y = , 0 0, 0y = 8, 0 0, 0 0, 0y = 8, 0 0,0 0, ( 00 ) = 8,0 0, ,0 = 8,0 Sustituimos en la primera ecuación: 0,70 = 8, ,70 =,0 = 89 + y = 00 y = y = 08, 0 = , Se han fabricado 89 bombillas válidas y 08 defectuosas.. La diferencia entre los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo es de. Halla sus medidas. Recuerda cuál es la suma de los ángulos del triángulo. Primer ángulo agudo Segundo ángulo agudo y y

23 a las Enseñanzas Aplicadas y = 80 + y = 90 8 y = y = = = = 77, 88, + y = 90 y = 90 77, y =, Los ángulos miden 77, y,.. El perímetro de este trapecio es de cm. La base mayor mide lo mismo que la suma de los dos lados iguales. Halla las longitudes de todos los lados del trapecio. cm y Medida de un lado Medida de la base mayor y + y + = y = + + = + = = = 0 = 0 = y = = 0 Los lados iguales miden cm y la base mayor 0 cm.. María ha comprado un abrigo que estaba rebajado un %. Marta ha comprado otro abrigo más caro, pero ha conseguido una rebaja del 0 %, con lo que solo ha pagado 8 más que María. Cuál era el precio de cada abrigo? Abrigo de María. Rebajado un % 0,8 Abrigo de Marta y. Rebajado un 0 % 0,80y y = + 08, + 8= 08, y 0,8 + 8 = 0,8( + ) 0,8 + 8 = 0, ,8 0,8 = 0 8 0,0 = = = 0 00, y = 0 + y = El abrigo de María costaba 0 y el de Marta.

24 a las Enseñanzas Aplicadas. Un bodeguero ha mezclado dos cubas de vino, la primera de mejor calidad, a /litro, y la segunda, de calidad inferior, a,0 /litro. De esta forma ha obtenido hl de un vino de calidad intermedia que sale a,0 /litro. Cuál era el contenido de cada cuba? cantidad (l ) precio ( /l) coste ( ). er tipo. o tipo y,,y mezcla + y = 00, +,y =, 00 + y = 00 8 Multiplicamos por ( ), y = , y = 000 +, y = 000 0,8y = 800 y = = 00 = = 00 La cuba de mejor calidad contenía 00 litros y la de menor calidad 000 litros. 800 y = , 7. Un tren de cercanías sale de una estación a 90 km/h. Cuando lleva 0 km recorridos, sale otro más rápido en la misma dirección a 0 km/h. Cuánto tardará en alcanzar al primero? 90 km/h 0 km km/h espacio velocidad tiempo. er tren 90 t. o tren t Espacio = velocidad tiempo = 90t ) + 0 = 0t 90t + 0 = 0t 0 = 0t 90t 0 = 0t t = 0 t = 0 El segundo tren tardará horas en alcanzar al primer tren.

25 a las Enseñanzas Aplicadas 8. La suma de dos números es, y su producto, 7. Qué números son? Un número Otro número y + y = y = 8 y = 7 y = 7 ( ) = 7 = = 0 = ( ) ± ( ) = ± = ± = ± = y 7 = = = = [ = 8 = 8 = 8 y = 7 = \ Los números buscados son y. 9. El perímetro de una parcela rectangular mide 0 m, y el área, 000 m. Cuáles son las dimensiones de la parcela? y 000 m Perímetro = 0 m + y = 0 + y = y = 8 8 y = 000 y = 000 y = 000 ( ) = 000 = = 0 = ( )± ( ) 000 ± 000 ± = = = ± = y 000 = = = = 0 [ = 8 = 0 8 = 8 y = 000 = 0 \ La parcela mide m de largo y 0 m de ancho.

26 a las Enseñanzas Aplicadas 0. El perímetro de este trapecio mide cm. Calcula el área. y + 8 Aplicamos el Teorema de Pitágoras en el triángulo oscuro: y = y Las ecuaciones resultantes son: y = + y = y = 8 8 y 8 y = + = + = y + = ( ) + = = = 0 = ( )± ( ) 8 0 ± 0 ± = = = ± 8 = = 8 = 7 8 y = 7= 8 No vale [ 8 0 = = 8 = 0 8 y = 0= \ Descartamos la primera solución porque una medida no puede ser negativa. Calculamos el área del trapecio: 0 + ( 0 + 8) Área = = 8 = 8 cm El área del trapecio es 8 cm. Curiosidades matemáticas Cuál es la altura de la mesa? 80 cm 70 cm A + silla tumbada = silla de pie + 80 A + silla de pie = silla tumbada + 70 A = silla tumbada + silla de pie + 80 A = silla tumbada silla de pie + 70 Sumando las dos epresiones: A = A = La altura de la mesa es 7 cm = 0 = 7

27 a las Enseñanzas Aplicadas Cosas de peso Un caballo y un mulo, cargados con sacos, iban juntos. El caballo se quejaba de su carga, y el mulo le dijo: De qué te quejas? Si yo cargara con uno de tus sacos, mi carga sería el doble de la tuya. En cambio, si tú cargaras con uno de los míos, tu carga sería igual que la mía. Cuántos sacos lleva cada uno? El caballo carga sacos El mulo carga y sacos ( ) = y + + = y = y + y = y = + y = Multiplicamos por ( ) y = + y = = + y = y = 7 El caballo carga con sacos y el mulo con 7. 7