E. P. E. T. N 20 MATEMÁTICA 2 TRABAJO PRÁCTICO: PROPORCIONALIDAD. PROFESORES: Carlos Pavesio. Mauro Candellero. María Angélica Netto.

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1 E. P. E. T. N 0 MATEMÁTICA TRABAJO PRÁCTICO: PROPORCIONALIDAD PROFESORES: Carlos Pavesio Mauro Candellero María Angélica Netto Sergio Garcia

2 Contenidos Conceptuales - Matemática - año - Año 01 Unidad Nº 1: Razones y proporciones. Razones y proporciones: definición, propiedad fundamental. Cálculo de los medios y los extremos. Magnitudes directa e inversamente proporcionales: problemas de aplicación. Función de proporcionalidad directa e inversa: representación gráfica. Teorema de Thales. Aplicaciones referidas al cálculo de perímetros, áreas y volúmenes. SIMELA. Semejanza de triángulos. Ejercicos y problemas de aplicación. Unidad Nº : Trigonometría. Razones entre los lados de un triángulo rectángulos. Funciones trigonométricas. Uso de la calculadora. Teorema de Pitágoras. Características de los irracionales: representación gráfica. Resolución de triángulos rectángulos. Problemas de aplicación. Unidad Nº 3: Sistema de ecuaciones lineales Función lineal: pendiente y ordenada al origen, representación y análisis. Rectas paralelas y perpendiculares. Planteo y resolución de problemas mediante ecuaciones. Planteo y resolución de problemas que requieren de dos incógnitas. Método de resolución gráfico de sistemas: clasificación. Métodos de resolución analíticos: sustitución, igualación y determinantes. Análisis del conjunto solución obtenido. Ejercicios y problemas de aplicación. Unidad Nº : Polinomios. Definición de polinomio. Polinomio en una indeterminada. Grado de un polinomio. Polinomio nulo. Polinomio completo e incompleto. Polinomio ordenado. Valor numérico de un polinomio. Operación con polinomios: sumas, restas, multiplicación y división de polinomios. Regla de Ruffini. Divisibilidad de los polinomios. Unidad N 5: Factoreo Factorización de los polinomios: Factor común, Factor común en grupos, Trinomio cuadrado perfecto, Cuatrinomio cubo perfecto, Diferencia de cuadrados, Suma o diferencia de potencias de igual grado. Ejercicios y problemas de aplicación. Unidad N 6: Expresiones algebraicas racionales Simplificación de fracciones algebraicas. Multiplicación y división. Adición y sustracción. Ecuaciones racionales. Unidad N 7; Vectores Definición. Componentes de un vector. Representación gráfica. Operaciones con vectores. Aplicaciones.

3 ACTIVIDAD INICIAL DEFINICIÓN Hallar el valor de x aplicando la propiedad fundamental: a) = f) = b) = g) = c) = h) = d) = i) = e) = j) = 3

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5 MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES Las siguientes tablas corresponden a distintas relaciones entre dos cantidades de magnitudes diferentes: X: tela Y: precio , ,75 X: volumen en cm 3 Y: peso en g Completa las tablas.. Si las cantidades de la 1 columna aumentan Qué ocurre con las correspondientes a la columna? 3. Efectúa los cocientes correspondientes de la columna y sus correspondientes de la 1 columna.. Qué puedes decir de los resultados obtenidos? 5. Qué representa ese valor? 6. Analiza que tipo de relación existe entre el conjunto de cantidades de la 1 magnitud y el conjunto de las cantidades de la magnitud. 7. Para cada una de las tablas realiza el grafico en un mismo sistema de ejes cartesiano. 8. Qué gráfico obtienes? 9. Qué sucede si x es cero? MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES Imagina que quieres cortar rectángulos de superficie igual a 36. Siendo las medidas de la base y de la altura, números naturales X: base Y: altura 1. Completa la tabla.. Si las cantidades de la 1 columna aumenta, Qué ocurre con las cantidades correspondientes a la columna? 3. Efectúa los productos entre cada cantidad de la columna y su correspondiente de la 1. Analiza que tipo de relación existe entre el conjunto de las cantidades de la magnitud y el conjunto de cantidades de la magnitud. 5. Realiza el gráfico en un sistema de ejes cartesianos. 5

6 6. Qué gráfico obtienes? EJERCITACIÓN: 1) En cuáles de los siguientes cuadros las magnitudes relacionadas corresponden a magnitudes directamente proporcionales x y x y x y 10 1/ 1/3 0,6 5 3/ 1/ 1, 0, ,5 0,15 /3 10/3 1 3/ 7,1 6/5 3 3/ 1,5 0,75 3) ) Completa la tabla: ) La tabla corresponde a una función directamente proporcional. Completa con los x y números que faltan 1 6,3 1,6 3 3,675 5 Peso en Precio kg x en $ y 1 1,5 3 8,5 10 a) Completar la tabla b) Graficar c) Hallar la constante de proporcionalidad d) Hallar en el gráfico el precio correspondiente a 3,5 kg e) Hallar en el gráfico el peso correspondiente a $ 5 X: velocidad (km/h) Y: tiempo (hs)

7 6 1,5 a) Qué clase de magnitudes representan? b) Halla la constante de proporcionalidad 5) Completen cada una de las siguientes tablas que relacionan magnitudes directamente proporcionales, escriban la constante de proporcionalidad y grafiquen. a) x y b) x y c) x y ) Completen las siguientes tablas que relacionan magnitudes inversamente proporcionales, hallen la constante de proporcionalidad y grafiquen: a) x y b) x y c) x y , Plantear y resolver los siguientes problemas: a) En un taller 8 obreros producen 8piezas diarias. Trabajando al mismo ritmo, cuántos obreros deberán agregar para triplicar la producción? b) Para alfombrar un piso se utilizaron 15 rollos de 0,90m de ancho. Cuántos rollos se necesitarán, para alfombrar la misma superficie, con rollos de 0,75m de ancho? 7

8 c) 7 máquinas envasadoras tardan 1 horas para llenar un stock de botellas. Cuánto se tardará, para efectuar el mismo trabajo, si solo funcionan máquinas? d) Una rueda de 18cm de diámetro tarda 5segundos en recorrer cierta distancia. Cuánto tardará una rueda de cm de diámetro? e) El equipo de handball de mi escuela ganó el 75% de los 8 partidos jugados. Cuántos partidos perdieron? f) El precio de un producto es de $ 15. Cuánto se pagará por el mismo luego de aplicarle el 1% del IVA? g) Se hizo una fotocopia reducida en un 75% de una página de 0cm de ancho por 8cm de largo. Cuáles son las dimensiones de la página obtenida? h) El precio de un producto en enero fue de $76,50 y en marzo es de $83,60. Qué porcentaje de aumento sufrió? PROPORCIONALIDAD GEOMÉTRICA TEOREMA DE THALES Thales de Mileto, filósofo, comerciante y matemático griego del siglo VI antes de Cristo, contribuyó al desarrollo de la geometría como ciencia deductiva al preguntarse el porqué de ciertas relaciones. En un viaje a Egipto midió, en forma indirecta la altura de la pirámide de Keops. Con solo medir la longitud de un bastón, la sombra de este proporción que le permitió calcular la altura de dicha pirámide. y la sombra de la pirámide, planteó una 8

9 altura de la pirámide sombra de la pirámide altura del bastón sombra del bastón T L A a m B b p C c q Si tres o más paralelas son cortadas por dos transversales, la razón de las longitudes de los segmentos determinados en una de ellas, es igual a la razón de los segmentos correspondientes determinados en la otra transversal ab mp bc pq EJERCICIOS 1. Hallar el valor de ab y bc en cada una de las siguientes figuras: 9

10 . Para medir el ancho de un río, un topógrafo fijó puntos ab y bc son perpendiculares y sobre el terreno como indica la figura, en la misma cd son paralelas; también del río. cd y ab y bc son perpendiculares. Calculen el ancho 10

11 3. Un alumno está parado junto al mástil izando la bandera. Si la sombra que proyecta el mástil es de 1, m y la del alumno 50 cm. Cuál es la altura del mástil si el alumno mide 1,60 m? 7) Resuelve los siguientes problemas aplicando el Teorema de Thales. a) Cuál es la altura de un edificio que a determinada hora del día proyecta una sombra de 7,5 m, si un poste muy cercano de 1,5 m produce en el mismo momento 98 cm de sombra? b) Una sierra tiene una altura de 00 m sobre el nivel del mar y su ladera, desde el pie hasta la cumbre, 560m. A qué altura, sobre el nivel del mar, se encuentra un andinista que ya recorrió 350 m por la ladera? c) Una torre proyecta una sombra de 3 m en el mimo momento que un bastón de 1,30 m de altura proyecta una sombra de 1,50 m. Cuál es la altura de la torre? d) Las longitudes de los lados de un triángulo son 9, 1 y 15 cm. Se traza una paralela a uno de sus lados y se obtiene un triángulo cuyo perímetro es de 1 cm. Calculen las longitudes de los lados del segundo triángulo. 11