7 ECUACIONES. SISTEMAS DE ECUACIONES

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1 EJERCICIOS PROPUESTOS 7. Escribe estos enunciados en forma de ecuación. a) La suma de dos números consecutivos es. La suma de tres números pares consecutivos es 0. c) Un número más su quinta parte es. a) x (x ) x (x ) (x 4) 0 c) x 5 x 7. En una academia de idiomas el número de alumnos que estudian francés es la mitad de los que estudian inglés. Calcula el número de alumnos de cada grupo si en total son 40. Sea x el número de alumnos de francés. x x 40 x 80 Hay 80 alumnos que estudian francés y 60 que estudian inglés. 7. Resuelve la siguiente ecuación: 5x 4 9 x 5x 4 9 x 5x 4 x 9 x x x 4 9 x x 5 x 5 x Resuelve esta ecuación: 8x 50 4x 4x 6 8x 50 4x 4x 6 8x 50 0x 50 0x 6 0x 50 8x 56 x Resuelve la ecuación: 6x 4 60 x 6x 4 60 x 6x 4 x 4 60 x x 4 8x 64 x Las edades de tres alumnos son números pares consecutivos. Si la suma de sus edades es 4, cuántos años tiene cada uno? La ecuación es x (x ) (x 4) 4. x (x ) (x 4) 4 6x 6 4 x 6 Tienen, 4 y 6 años respectivamente. 7.7 María ha dibujado un rectángulo cuyo largo es tres veces el ancho. Si el perímetro del rectángulo mide 80 centímetros, cuánto mide el área? Si x es el ancho, x es el largo. Entonces, el perímetro es x x x x. x x x x 80 8x 80 x 0 cm A cm 7.8 Resuelve estas ecuaciones con paréntesis. a) (x ) (x ) x 6 x 0 5(x 0) a) (x ) (x ) x 6 x x 6 x 6 x 8 x 6 x x x 0 5(x 0) x 0 5x x x 0

2 7.9 Resuelve las siguientes ecuaciones con denominadores. a) x x 4 x 5 4 x x 5 x x x x a) x 5x x x 040 x 0 x x 5 x 5 6x x 5x 5 5x 80 x Resuelve las siguientes ecuaciones. a) (x ) 5(x ) 8(x ) 4(x ) 9x 7 a) (x ) 5(x ) x 4 0x 5 8x 6 x 8(x ) 4(x ) 9x 7 8x 4 4x 8 9x 7 x x Resuelve estas ecuaciones. a) 4x 6 x x 46 x 4 x 9 x x 7 5 a) 4x 6 x x x 6x 7(x ) x 658 x 4 7 x 4 x x 9 x 0x 4x 0 9 0x 5x 90 x x Decide cuál de estas ecuaciones es de segundo grado. a) x 9x 8 x x 8 x c) 5x x x x x La ecuación de.º grado es la a. En la ecuación b, al operar desaparecen los términos de grado, y la ecuación c es de grado. Qué ecuación tiene por soluciones y 4? a) x 7x 0 x x 7 0 c) x 7x 0 d) x x 7 0 La ecuación c. 7 0; Escribe la ecuación de segundo grado que tenga estas soluciones. a) y 4 y 5 c) y d) y 7 a) x ( )x 0 x x 0 x (4 5)x (4) 5 0 x x 0 0 c) x [ ()]x () 0 x 9 0 d) x [ (7)]x () (7) 0 x 8x 7 0 Escribe una ecuación de segundo grado que tenga por raíces y. x x () 0 x 5 x 0 x 5x Resuelve las siguientes ecuaciones. a) x x 0 x 5x 0 c) x 6x 0 d) 8x 4x 0 a) x x 0 x(x ) 0. Soluciones: x 0 y x 4 x 5x 0 x(x 5) 0. Soluciones: x 0 y x 5 c) x 6x 0 x(x 6) 0. Soluciones: x 0 y x d) 8x 4x 0 x(8x 4) 0. Soluciones: x 0 y x Resuelve estas ecuaciones. a) 5x 0 0 4x 00 0 a) 5x 0 0 x 4 x, x 4x 00 0 x 5 x 5, x 5

3 Resuelve estas otras ecuaciones. a) x 0 7x 0 a) x 0 x 0 x 0 7x 0 x 0 x 0 Resuelve las ecuaciones. a) x 5x x c) x x x 4 x 75x d) x x x x a) x 5x x x 6x 0 x(x 6) 0 x 0, x x 75x x(x 75) 0 x 0, x 5 c) x x x 4 x(x ) 0 x 0, x d) x x x x x 0 x 0 Resuelve estas ecuaciones. a) x x 0 x 5x 0 () 4 a) x ; x, x 9 5 (5) 4 x 5 ; x, x 4 7. Resuelve las siguientes ecuaciones. a) x 7x 0 0 x x (7) 4 0 a) x 7 ; x 5, x () 4 0 x ; x 6, x 5 7. Sin resolverlas, averigua el número de soluciones de estas ecuaciones. a) x x 0 c) x 5x 8 0 x 6x 9 0 d) x 4x 5 0 Vemos el signo del discriminante. a) 4 0. No tiene soluciones reales. (6) Tiene una única solución. c) (5) 4 (8) 0. Dos soluciones reales. d) (4) 4 () 5 0. Dos soluciones reales. 7. Plantea el sistema de ecuaciones lineales para este enunciado: Una clase tiene 6 alumnos y el número de chicas es el triple que el de chicos. Trata de obtener la solución construyendo una tabla de valores. Sea x el número de chicas e y el número de chicos. x y 6 x y y x y x y En la clase hay 9 chicos y 7 chicas.

4 7.4 Comprueba si los valores x e y 7 son soluciones de los siguientes sistemas. a) 4x y 5 x y 5 a) x y 5x y x e y 7 no son solución del sistema. x e y 7 sí son solución del sistema Resuelve estos sistemas, sumando o restando ecuaciones. x y x y 5 a) Sumando: Restando: a) x y 50 x y 0 x y 50 x y 0 x y 60 x 0 y 0 Resuelve los siguientes sistemas, sumando o restando ecuaciones. a) x y 00 x y 60 x y x y 5 x y x y x y x y a) Sumando: Restando: x y 00 x y x y 60 x y x y 60 x y 0 x 80 y 0 x 0 y Utiliza la regla de la suma de ecuaciones para resolver los siguientes sistemas. a) x y 0 x y 0 a) x y 0 x y 0 x 0 x 5 y 5 x y x y 0 x y x y 0 0 No tiene solución. 7.8 La suma de dos números es 0 años y su diferencia 60. Cuáles son? Utiliza la regla de la suma de ecuaciones para resolver el problema. Sean los números x e y. x y 0 x y 60 x 80 x 90, y 0 Los números son 0 y Resuelve por sustitución estos sistemas. a) x y 6 x y 0 a) x y 6 x y 6 y y 6 y 6 y x y 0 x y x y x y x y x y 0 x y 9 y 0 x y 0 x y 0 x y x (0 x) 9 x 40 4x 9 x y 0 x y 9 y x 4 x x 7

5 7.0 Resuelve los siguientes sistemas por sustitución. a) x y x y 44 a) x y x y x y x y x y 44 ( y) y 44 9 y y 44 5y 5 5x y 46 5(y ) y 46 7y 56 x y x y x y 5x y 46 x y y 8 x 6 x 7 0 y Plantea para este enunciado un sistema de ecuaciones y resuélvelo por sustitución: En un corral hay conejos y patos. El número de animales es 0 y el de patas 00. Cuántos conejos y patos hay en el corral? Sea x el número de conejos e y el de patos x y 0 x 0 y x 0 y 4x y 00 4(0 y) y 00 y 0 Hay 0 conejos y 0 patos. La base de un rectángulo es centímetros mayor que la altura y su perímetro es 64 centímetros. Halla sus dimensiones. Para ello, plantea un sistema y resuélvelo por sustitución. Sea x la longitud de la base e y la de la altura. x y x y x y x y 64 ( y) y 64 4y 40 La base del rectángulo mide centímetros, y la altura, 0. x y 0 x 0 y 0 7. Resuelve por reducción estos sistemas. a) 4x 5y 5x y x 5y 8 7x 8y 5 4x 5y x 5y 6 a) 5 5x y 5x 5y 05 4x 5y 5x y 5 4 7x x 0x 5y 0 0x y 84 7y 74 y x 5y 8 7x 8y x 5y 8 7 7x 8y 5 x 5 8x 40y 64 5x 40y 5 4x 89 x x 5y 6 7x 8y 5 4y 9 x Resuelve por el método de reducción los siguientes sistemas. a) 6x 5y 6 5x y 9 6x 5y 6 7x 60y 9 a) 5x y 9 5 5x 60y 95 x 5y 9 8x 8y 7 x 5y 9 8x 5y x 5y 8 98x 75y 78 6x 5y 6 5x y 9 5 (6) 97x 97 x 0x 5y 80 0x 7y 4 x 5y 9 8x 5y y 700 y 5 0x 75y 45 54x 75y 97y 94 y 56x 68 x

6 7.5 Resuelve los sistemas por reducción. a) x 5y 6 x 6y 6 x 5y 6 6x 0y a) x 6y 6 6x 8y 48 x 7y 5x 4y x 7y 5x 4y 5 5x 5y 5 5x y 69 8y 6 y y 46 y x 5y 6 x 6y x 0y 96 0x 0y 80 x 7y 4 5x 4y x 7 5 x 8y 9 5x 8y 6 8x 6 x x 69 x 7.6 Halla dos números naturales tales que su suma aumentada en sea igual a dos veces el mayor, y que la diferencia de los dos números menos sea igual al menor. Sean x e y los números. x y x x y x y y x y Los números son 4 y. x y 44 x y y x Resuelve gráficamente los siguientes sistemas de ecuaciones. a) x y 8 0 y 0 x y 0 6x y 0 a) Se despeja y en las ecuaciones: Se despeja y en las ecuaciones: y x 8 ; y y x; y 6x x y x x y 0 x y x 0 0 x y 6x 0 0 O O Solución: x, y Solución: x 0, y 0

7 7.8 Resuelve gráficamente los siguientes sistemas de ecuaciones. a) x y 8 x 4x y 0 y x 5y 4 y 7x 4y x a) Se despeja y en las ecuaciones: a) Se despeja y en las ecuaciones: y x 8 ; y 4x 0 4 y x 4 ; y 9x 4 x y x 8 x y 4x x y x x y 9x O 0 Solución: x, y Solución: x, y 4