Ficha 1. Ecuaciones de primer y segundo grado

Transcripción

1 Ficha 1. Ecuaciones de primer y segundo grado Una ecuación de primer grado es una igualdad que puede epresarse de la forma a + b = 0, donde a y b son números reales y a 0. Las ecuaciones de segundo grado se resuelven aplicando la fórmula: a b b 4ac b c 0 Si a b 4ac 0 hay soluciones diferentes b 4ac 0 hay soluciones iguales b 4ac 0 no hay soluciones reales 1. Resuelve las siguientes ecuaciones de primer y segundo grado: () ( 4) ( ) 48 (4) (5) 16( 4) (6) ( 1) 3( 1) 0 (7) ( 1)( 5) (8) Calcula tres números pares consecutivos, tales que si se suma al cuadrado del menor el producto de los otros dos, da como resultado En un triángulo rectángulo, el lado de mayor longitud es 3 unidades mayor que el lado mediano, el cual es a su vez 3 unidades más grande que el lado más pequeño. Calcular la longitud de los tres lados de dicho triángulo. 4. En clase de Itziar han organizado una salida a un parque de atracciones. A los alumnos que tienen abono del parque sólo les cobran el autobús: 4,50. El resto tiene que pagar, además, la entrada, que son 1,75. Si por cada alumno con abono hay dos que no lo tienen, cuántos alumnos van a la ecursión si hay que pagar 67? 5. Dadas las ecuaciones de segundo grado: a Determina un valor de a para que cada ecuación: a) Tenga una solución a 4 0 b) Tenga dos soluciones c) No tenga soluciones 1

2 Ficha. Ecuaciones de grado mayor que dos Para resolver algunas ecuaciones polinómicas de grado superior a dos, se descompone dicho polinomio en producto de factores, aplicando la regla de Ruffini. 3 Por ejemplo: ( 1)( 3)( 4) Resuelve las siguientes ecuaciones polinómicas de grado superior a dos: () (4) (5) (6) Se quiere vallar una finca rectangular que tiene 5 m más de largo que de ancho, y cuya diagonal mide 15 m. Cuántos metros de valla se necesitan? 3. Se tienen tres tiras de 10 cm, 17 cm y 18 cm de longitud, respectivamente. Se quiere cortar a cada tira un trozo de igual longitud, de manera que las tiras resultantes formen un triángulo rectángulo. Cuál debe ser la longitud de ese trozo? Las ecuaciones bicuadradas son un caso particular de ecuaciones de grados superior a. Se resuelven haciendo el cambio de variable t, con lo que se transforman en ecuaciones de segundo grado. a 4 b c 0 t 4 t at b t c 0 4. Resuelve las siguientes ecuaciones bicuadradas: ()

3 Ficha 3. Ecuaciones racionales Las ecuaciones racionales son aquellas en las que aparecen fracciones algebraicas y se resuelven de la siguiente manera: 1. Se multiplican los dos miembros de la ecuación por el mínimo común múltiplo.. Se resulte la ecuación resultante. 3. Se descartan los valores de la incógnita que hacen cero los denominadores, ya que no pueden ser soluciones de la ecuación. 1. Resuelve las siguientes ecuaciones racionales: () (4) (5) (6) 0 1. Halla el lado de un cuadrado de manera que la suma de los números que representan a su área y a su perímetro, es igual Un depósito tiene dos grifos de llenado. Juntos llenan el depósito en 40 minutos. Si sólo se abre uno de los dos, uno tardaría 1 h menos que el otro. Cuánto necesita cada grifo por separado? 4. Un centro escolar ha organizado una visita cultural para los alumnos de 4ESO, que han pagado 440 en total por la salida. A última hora se apuntan otras 11 personas, pero esto no supone más gasto, por lo tanto se recalcula el precio por alumno y se devuelven a los que ya habían pagado. Cuántos alumnos van a la ecursión? 3

4 Ficha 4. Ecuaciones irracionales Las ecuaciones irracionales son aquellas en las que la incógnita está bajo el signo radical. Estas ecuaciones se resuelven dando los siguientes pasos: 1. Se aísla el radical o uno de los radicales en uno de los dos miembros de la ecuación.. Se elevan al cuadrado los dos miembros de la ecuación, operando y juntando los términos semejantes. 3. Si la ecuación resultante sigue conteniendo radicales, se repite nuevamente la operación, hasta que desaparezcan todos los radicales. 4. Se resuelve la ecuación resultante y se sustituyen los valores hallados en la ecuación inicial, para determinar cuáles de las soluciones son válidas. 1. Resuelve las siguientes ecuaciones irracionales: () (4) (5) (6) Calcula el área de un triángulo equilátero de 8 cm de lado. 3. Descompón el número 30 en dos sumandos de manera, que la diferencia de sus cuadrados sea La raíz cuadrada de tres números pares consecutivos coincide con la mitad del segundo número. De qué números se trata? Ficha 5. Ecuaciones eponenciales y logarítmicas Las ecuaciones eponenciales y las ecuaciones logarítmicas son aquellas en las que la incógnita aparece como eponente de una potencia o como parte de un logaritmo, respectivamente. Se resuelven aplicando las propiedades y definiciones de potencia y logaritmo. 1. Resuelve las siguientes ecuaciones eponenciales: () ,04 5 (4) (5) 3 3. Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas: 1 log3 9 5 () log6 log log 3 log 5 (4) log5 1 log53 (5) log log 1 log 6 (6) log log 3 1 log 4

5 1. Resuelve gráficamente los siguientes sistemas: Ficha 6. Sistemas de ecuaciones y 3 3y 5 () y 3 y 3 y 1 4 y. Relaciona cada sistema con su gráfica: a) y 1 3y 0 b) y 1 y 4 c) 4 y 5 3 y 1 d) y 1 3y 0 3. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones de primer grado por los procedimientos indicados: SUSTITUCIÓN ( 1) 3(y ) y () 3 8 5y ( 5) (y 3) 10 IGUALACIÓN y y y 3 6 5y 6 (4) 4 y 3y y REDUCCIÓN (5) 4( 3y) ( 5y) (y 5) ( y) 1 (6) y y ( y) y Resuelve por el método de REDUCCIÓN los sistemas de ecuaciones siguientes: y z 9 3 y z y z 11 () 3( 1) y 5(z 3) 0 4(y 1) z 13 y 4(z 3) 36 y 4z 7 4 y 3z 8 3y z 1 5. Pedro mezcla café de dos clases diferentes. La clase A es de 5 5 /kg, mientras que la clase B es de 8 /kg. Teniendo en cuenta que hace una mezcla de 5 kilos y que el precio del café mezclado es de 7 1 /kg, calcula cuántos kilos de café de cada clase ha mezclado. 5

6 6. Entre dos urnas diferentes A y B hay un total de 80 papeletas. Si pasamos 10 papeletas de la urna B a la urna A, el número de papeletas de la urna A es ahora el triple de las papeletas que han quedado en la urna B. Cuántas papeletas había inicialmente en cada urna? 7. Un padre tiene el triple de la edad de su hijo. Si el padre tuviera 30 años menos y el hijo tuviera 8 años más, los dos tendrían la misma edad. Cuáles son las edades de padre e hijo? 8. La suma de las edades de un padre y sus dos hijos es de 73 años. Dentro de 10 años, la edad del padre será el doble que la del hijo menor, mientras que hace 1 años la edad del hijo mayor era el doble de la de su hermano. Calcula las edades actuales del padre y de sus dos hijos. 9. En una granja avícola se ha envasado hoy una producción de 1380 huevos en 140 hueveras de una docena y media docena. Cuántas hueveras se han utilizado de cada tipo? 10. Elena recibió el mes pasado un pedido de 7 paquetes de bolígrafos azules y 6 rojos que hacían un total de 60 unidades. Este mes han llegado 5 paquetes de azules y 3 de rojos, con un total de 39 unidades. Cuántos bolígrafos contiene cada paquete? Ficha 7. Sistemas de ecuaciones no lineales Para resolver sistemas de ecuaciones en los que una de las ecuaciones es de primer grado y la otra de segundo, se despeja una de las incógnitas de la ecuación de primer grado y se sustituye en la de segundo. 1. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones de segundo grado: 3y 1 y 1 () y 5 y 1 y 31 y 1 (4) y y 0. En una clase hay 45 alumnos entre chicos y chicas. Practican natación el 3% de los chicos y el 60% de las chicas. Si el número total de alumnos que practican natación es de 0, cuántos chicos y chicas hay en la clase? 3. En un almacén hay dos tipos de lámparas: La lámpara tipo A lleva incorporada 3 bombillas, mientras que la lámpara tipo B, lleva 4 bombillas. En el almacén hay un total de 60 lámparas y 0 bombillas. Cuántas lámparas de cada tipo hay en el almacén? 6

7 4. Calcula las dimensiones de un rectángulo de perímetro 34 cm y área 66 cm. 5. Calcula el perímetro de un triángulo rectángulo, sabiendo que su área es de 480 cm, mientras que la longitud de la hipotenusa es de 5 cm. 6. Una persona que juega a los chinos tiene monedas en ambas manos. Si pasa monedas de la mano derecha a la izquierda, tendrá en mismo número de monedas en ambas manos, mientras que si pasa 3 monedas de la izquierda a la derecha, tendrá ahora en la derecha el doble que en la izquierda. Cuántas monedas tiene en cada mano? 7. Uno de los catetos de un triángulo rectángulo es cm más largo que el otro. Averigua su perímetro sabiendo que mide 4 cm de superficie. 8. Un grupo de amigos ha comprado un regalo para un cumpleaños por 60. Al final se unen dos amigos más y así cada uno tiene que poner 5 menos para el regalo. Cuántos amigos eran al principio? Cuánto pusieron finalmente? 7