SUCESIONES. Se llama sucesión a un conjunto de números dados ordenadamente de modo que se puedan numerar: primero, segundo, tercero,...

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1 SUCESIONES DEFINICIÓN DE SUCESIÓN Se llama sucesión a un conjunto de números dados ordenadamente de modo que se puedan numerar: primero, segundo, tercero,... Los elementos de la sucesión se llaman términos y se suelen designar mediante una letra con los subíndices correspondientes a los lugares que ocupan en la sucesión: a1, a2, a3,... Una sucesión de denota como {a n } donde n es la posición y a es el valor según su posición de la sucesión TÉRMINO GENERAL DE UNA SUCESIÓN Se llama término general de una sucesión, y se simboliza con an, al término que representa uno cualquiera de ella. - Hay sucesiones cuyo término general puede expresarse mediante una fórmula: a n = f(n). Dándole a n un cierto valor natural, se obtiene el término correspondiente. - En otras sucesiones, para hallar un término es necesario operar con dos o más de los anteriores y se llaman sucesiones recurrentes. Para hallar un término concreto hay que obtener, previamente, todos los anteriores. Ejemplos: 1,2,3,4,5,, n 2,4,6,8,,2n TIPOS DE SUCESIONES PROGRESIONES ARITMÉTICAS Definición: Una progresión aritmética es una sucesión en la que se pasa de cada término al siguiente sumando una cantidad fija, llamada diferencia de la progresión.

2 Término general, a n, de una progresión aritmética cuyo primer término es a1 y cuya diferencia es d se obtiene así: a n = a 1 + (n-1)d Suma de los n-primeros términos de una progresión aritmética es: S n = a 1 + a a n = ( ) Ejemplo 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, donde d=3, y an=8+(n-1)3=5+3n La serie es Sn=(8+5+3n)n/2=(13+3n)n/2 Ejercicios 13, 19, 25, 31, 43, 49, 55, Sea la sucesión aritmética: 7, 1, 5, 11, 17, 23, 29, 1) Encontrar el término 24. 2) Encontrar la suma de los primeros 32 términos. Sea la sucesión aritmética: 3.5, 7.5, 11.5, 15.5, 19.5, 23.5, 27.5, 3) Encontrar el término 33. 4) Encontrar la suma de los primeros 32 términos. PROGRESIONES GEOMÉTRICAS Definición: Una progresión geométrica es una sucesión en la que se pasa de cada término al siguiente multiplicando por una cantidad fija, llamada razón de la progresión. Término general, a n, de una progresión geométrica cuyo primer término es a1 y cuya razón es r se obtiene así: a n = a 1. La suma de los n-primeros términos de una progresión geométrica con r 1 es: Sn = a1 + a an = =a 1 ( )

3 Ejemplos La progresión 1, 2,4,8,16, es una progresión geométrica cuya razón vale 2, al igual que 5, 10, 20, 40. La razón no necesariamente tiene que ser un número entero. Así, 12, 3, 0.75, es una progresión geométrica con razón 1/4. La razón tampoco tiene por qué ser positiva. De este modo la progresión 3, -6, 12, -24 tiene razón -2. Este tipo de progresiones es un ejemplo de progresión alternante porque los signos alternan entre positivo y negativo. Cuando la razón es igual a 1 se obtiene una progresión constante: 7, 7, 7, 7 Un caso especial es cuando la razón es igual a cero, por ejemplo: 4, 0, 0, 0. Existen ciertas referencias que no consideran este caso como progresión y piden explícitamente que en la definición. SUCESIÓN DE FIBONACCI La sucesión de Fibonacci es una sucesión recurrente donde cada término se obtiene sumando los dos anteriores: a1 = 1; a2 = 1; an = an-2 + an-1 Sucesiones especiales: - Números pares: 2, 4, 6, 8, 10,... an = 2n - Números impares: 1, 3, 5, 7, 9,... an = 2n Los cuadrados: 1, 4, 9, 16, 25,... an = n 2 - Los cubos: 1, 8, 27, 81, 125,... an = n 3 - Potencias: 2, 4, 8, 16,... an = 2 n - Sucesiones que cambian de signo: -1, 1, -1, 1, -1,... an = (-1) n 1, -1, 1, -1, 1,... an = (-1) n+1 = (-1) n-1

4 Acotada Una sucesión es acotada superiormente si existe un numero M talque para cualquier elemento de la sucesión cumple que a n <M Una sucesión es acotada inferiormente si existe un numero L talque para cualquier elemento de la sucesión cumple que a n >L Monótonas Una sucesión es monótona, si para cualquier par de términos de la sucesión, uno es mayor que el otro o viceversa. Monótona creciente: una sucesión es monótona creciente, si para todo termino, a p, a p+1 de {a n } cumple que: a p <a p+1. Monótona decreciente: una sucesión es monótona decreciente, si para todo termino, a p, a p+1 de {a n } cumple que: a p <a p+1. Convergencia en sucesiones Una sucesión {s n } es convergente sí es acotada inferior y superiormente y existe un número real I tal que para cada ε > 0 se puede encontrar un número natural N = N(ε) de modo que siempre que n > N se verifique s n I < ε. Se dice que una sucesión de números reales es convergente si sus términos se concentran alrededor de un número real I

5 Ejercicios 1. Hallar el término general de las siguientes sucesiones: Estudia la monotonia, la convergencia o divergencia y las cotas (si existen) de las siguientes sucesiones: El primer término de una progresión aritmética es -1, y el décimo quinto es 27. Hallar la diferencia y la suma de los quince primeros términos. 4. El cuarto término de una progresión aritmética es 10, y el sexto es 16. Escribir la progesión. 5. Hallar la suma de los quince primeros múltiplos de Hallar la suma de los quince primeros números acabados en Hallar la suma de los quince primeros números pares mayores que 5.

6 8. El 1 er término de una progresión geométrica es 3, y el 8º es 384. Hallar la razón, y la suma y el producto de los 8 primeros términos. 9. El 2º término de una progresión geométrica es 6, y el 5º es 48. Escribir la progresión. 10. Interpolar tres medios geométricos entre 3 y Encontrar la fracción generatriz de Hallar los ángulos de un cuadrilátero convexo, sabiendo que están en progresión aritmética, siendo d = 25º. 13. El cateto menor de un triángulo rectángulo mide 8 cm. Calcula los otros dos, sabiendo que los lados del triángulo forman una progresión aritmética. Estudia la monotonía, la convergencia o divergencia y las cotas de las sucesiones 14. a n = 1, 2, 3, 4, 5,...n 15. a n = -1, -2,-3, -4, -5,... -n 16. a n = 2, 3/2, 4/3, 5/4,..., n+1 /n 17. a n = 2, -4, 8, -16, 32,..., (-1) n-1 2 n Hallar el término general de las siguientes sucesiones a. 8, 3, -2, -7, -12,... b. 3, 6, 12, 24, 48,... c. 4, 9, 16, 25, 36, 49,...

7 d. 5, 10, 17, 26, 37, 50,... e. 6, 11, 18, 27, 38, 51,... f. 3, 8, 15, 24, 35, 48,... g. -4, 9, -16, 25, -36, 49,... h. 4, -9, 16, -25, 36, -49,... i. 2/4, 5/9, 8/16, 11/25, 14/36,... j. 23. Calcular el término general de las siguientes sucesiones: a. b. c. d. e. f. g. h.

8 i. j. k. Bibliografía: es.wikipedia.org/wiki/sucesión_matemática matematica.50webs.com/sucesiones.html España