Matemática II Repartido 6 Tema: Progresiones

Transcripción

1 Progresiones aritméticas: Es una sucesión de números reales del tipo (a n ): { a 1 =k con k R +d con d R si n>1 Decimos que a 1 es el primer término de la sucesión y a n el término general o término enésimo de la sucesión. Ejercicio 1: 1. Escribe los diez primeros términos de la siguiente sucesión: (a n ): { a 1 =3 + si n>1. Completa: a = =3+...=5 a =a 1 +d Por def generalizando para a a 3 = = ( )+=3+(...+)=3+... a 3 =a Por def por anterior generalizando para a 3 a 4 = = ( )+=3+(...+)=3+... a 4 =a Por def por anterior generalizando para a 3 3. Haz un procedimiento análogo para los dos siguientes términos de la sucesión: 4. Generaliza y obtiene una expresión para el término enésimo de la sucesión. Sala de Matemática Santa Elena Página 1 de 10

2 Ejercicio : Demuestra por inducción completa que: a n =a 1 +(n 1)d n N,n 1 siendo (a n ) una progresión aritmética de diferencia d Ejercicio 3: Edmund Halley ( ) matemático y astrónomo británico estudió la órbita del cometa avistado en 168, conocido actualmente como el cometa Haley. La órbita de éste cometa periódico es de 76 años y la primera vez que se divisó fue en el año 10 de la era cristiana. Investiga: 1. Cuál fue el último año en que se divisó?. Cuántas veces pudo haberse divisado en la era cristiana? 3. Cuántas veces ya había podido ser divisado antes que Haley lo viera? Ejercicio 4: Hallar los ángulos de un cuadrilátero convexo, sabiendo que están en progresión aritmética tal que la diferencia entre dos ángulos consecutivos (excepto para el primero y el último) es de 5. Sala de Matemática Santa Elena Página de 10

3 Suma de los n primeros términos de una progresión aritmética Llamemos S n a la suma de los primeros n términos de la progresión aritmética (a n ). Observemos que: S n =a 1 +a a n S n +a n a S n =(a 1 +a n )+(a +a n 1 )+(a 3 +a n ) (a n +a 3 ) Observemos que la suma de términos equidistantes es siempre igual a a 1 +a n, es decir: {a+an 1=a1+an a 3 +a n =a 1 +a n : : a k +a n k =a 1 +a n por tanto S n =... (...+a n ) S n = (a 1 +a n ).n Ejercicio 5: Completa la siguiente demostración para validar la fórmula obtenida. (a n ): { a 1 =k con k R +d con d R si n>1 S n = (a 1+a n ) Base inductiva: S 1 = (a 1+a 1 ).1 =a 1 Paso inductivo: H) { S =(a 1+a x ).x x x N,x 1 T) S x +1 =... Sala de Matemática Santa Elena Página 3 de 10

4 Demostración: i=x+1 i=1 i=x a i = i=1 a i +a x+1 = Por H...+a x+1 =...+a x +1 Por definición a x =a x+1... S x+1 = (a x+1 d)+a 1 + xd+a x+1 = xa a 1 + xd+a x+1 S x+1 = (...)a 1+(...)a x+1 = (a 1+a x+1 )(...) Entonces Sala de Matemática Santa Elena Página 4 de 10

5 Progresiones geométicas: Ejercicio 1: Ciertas historias matemáticas cuentan que el inventor del ajedrez para enseñarle dicho juego a su rey, le solicitó un pago que parecía estar muy por debajo de su invención. Así es como requirió, que el rey le pagara granos de trigo por el primer casillero del tablero de ajedrez, que duplicara esa cantidad por el segundo, que duplicara la cantidad de granos del o casillero para pagar por el 3o y así sucesivamente hasta el último. Cuántos granos le cobraría por el último casillero del tablero de ajedrez? Definición: Es una sucesión de números reales del tipo (a n ): a { 1 =k con k R. q con q R si n>1 Decimos que a 1 es el primer término de la sucesión y a n el término general o término enésimo de la sucesión. A q se la llama razón de la progresión geométrica. Ejercicio : 1. Escribe los diez primeros términos de la siguiente sucesión: (a n ): { a 1 =3. si n>1. Completa: a =...=... a =a 1.q Por def generalizando para a a 3 =...=(...). a 3 =a 1.q... Por def generalizando para a 3 a 4 =... = (...). a 4 =a 1.q... Por def Por anterior generalizando para a 4 Sala de Matemática Santa Elena Página 5 de 10

6 3. Haz un procedimiento análogo para los dos siguientes términos de la sucesión: 4. Generaliza y obtiene una expresión para el término enésimo de la sucesión. Ejercicio 3: Término enésimo de una progresión geométrica Demuestra por i. c. que: (a n ): a { 1 =k con k R.q con q R si n>1} a n=a 1.q (n 1) n N,n 1 Sala de Matemática Santa Elena Página 6 de 10

7 Suma de los n primeros términos de una progresión geométrica Mediante un ejemplo nos proponemos hallar S 9 (la suma delos 9 primeros términos de una progresión geométrica). Consideremos los 9 primeros términos de cierta progresión y en segundo lugar, 9 térmios consecutivos de la misma sucesión pero comenzando por el segundo Cómo podrías obtener cada uno de los términos de la segunda fila a partir de su correspondiente en la primera? Qué obtienes si a la suma de los 9 términos de la primera fila le restas la suma de los de la segunda fila? Plantea la resta: Puedes expresar el número obtenido en función del primer término? Entonces : S 9....= =3 3.(...)=3.(1...) S 9 (1...)=3.(1... ) Si escribimos en función del primer término y la razón, tenemos que: S 9 (... q)=a....(1 q... ) S 9 = a...(1 q... ) 1... Generalizando S n =a 1 +a a n multiplicamos S n por la constante q y restamos q. S n = a a a 3... a n sumando : S n q...=a (1 q)s n =a... a... q... S n =a 1. 1 qn 1 q Qué sucede si q=1? 1. De una progresión aritmética se sabe que el octavo término es 5 y que el quinto es 31. Hallar la Sala de Matemática Santa Elena Página 7 de 10

8 diferencia d, el primer término y la suma de los primeros 40 términos.. La suma de los primeros 0 términos de una progresión aritmética es igual a 0 y su término a 0 = 1. Cuál es su primer término? 3. Si a 1 =3 k, a = k y a 3 =9 k son términos de una progresión aritmética, averiguar cual es el valor de k y el quinto término. 4. El primer término de una progresión aritmética es, y su diferencia es 3. Calcula a 5 +a a Los habitantes de una casa son 6. Organizan una fiesta, y cada invitado que llega saluda dando la mano a todos los presentes. Si el número de saludos ha sido de 651, cuál es el número de invitados?. 6. Un auto cuyo valor es de $80.000, se desvaloriza con el uso de tal forma que de aquí a 4 años será de $ Si la desvalorización es constante, cuál será su valor de aquí a 3 años? 7. La suma de n términos consecutivos de la progresión aritmética cuyos primeros dos términos son 7 y 1 en ese orden, es igual a 35. Hallar el número de términos y el término enésimo. 8. Si se forman n triángulos con palitos como indica la figura. Cuál es el número de palitos que se usan? 9. Existen dos tipos de años bisiestos: los que son múltiplos de 4 pero no de 100, y los que son múltiplos de 400. a) Cuántos años son bisiestos entre 1997 y 401? b) Si el primero de enero de 1997 fue miércoles, qué día será el primero de enero del 500? c) Cuál es el primer año, a partir de 1997, en el cual el primero de enero será también miércoles? 10. Se sabe que la razón de una progresión geométrica es la mitad del primer término, y la suma de Sala de Matemática Santa Elena Página 8 de 10

9 los dos primeros términos es 1. Hallar los dos primeros términos. 11.Se sabe que la razón de una progresión geométrica es la mitad del primer término, y la suma de los dos primeros términos es 1. Hallar los dos primeros términos. 1. Se sabe que la suma de los dos primeros términos de una progresión geométrica es igual a 4/7 y que la razón es el triple del segundo término. Hallar la suma de los primeros tres términos. 13. El séptimo término de una progresión geométrica es 6144 y su razón es 4. Hallar el primer término. 14. Se conoce que el término enésimo de una progresión geométrica es igual a 384, y su primer término es 3/4, Hallar n. 15. Determinar tres números enteros que se encuentran en progresión geométrica, sabiendo que su suma es igual a 63, y que la suma de sus cuadrados es igual a De una progresión geométrica se sabe que el quinto término es 16, y el sexto término es 8. Averiguar el primer término y la suma de los primeros 0 términos. 17. La población de una ciudad crece con una tasa anual del 3 %. a) Cuál será la tasa de crecimiento de 15 años? b) Si la población actual es de habitantes, cuál será la población dentro de 15 años? 18. El volumen de un paralelepípedo recto es 64m 3. Calcular sus medidas a, b y c, sabiendo que las mismas se encuentran en progresión geométrica y que la suma de las tres es igual a 14. (Sugerencia: a=x/k, b=x, c=kx) 19. Para la presentación de sus muchos alumnos, una escuela quiere formar un triángulo, de modo tal que la primera fila tenga 1 alumno, la segunda, la tercera 3 y así sucesivamente hasta que estén en esa formación los 5050 alumnos que tiene. Cuántas filas tendría la formación? Sala de Matemática Santa Elena Página 9 de 10

10 0. Por el alquiler de una casa se acuerda pagar $14000 mensuales durante el primer año y luego se aumentarán $700 mensuales cada año. A cuánto asciende el costo del alquiler mensual al cabo de 10 años? 1. Hallar 3 números positivos que se encuentran en progresión geométrica, sabiendo que su producto es y que el último excede en 115 a la suma de los otros dos.. Las dimensiones de un ortoedro, consideradas en un cierto orden, están en progresión geométrica, calcularlas sabiendo que su perímetro es de 40 m y su volumen es de 8000 m 3 3. Calcular la suma de los 30 primeros términos de una progresión aritmética sabiendo que a 1 a 1 =55 y a 4 +a 8 =56 4. Hallar los 4 primeros términos de un progresión geométrica sabiendo que son naturales y además: el segundo es 0 y la suma de todos ellos es La suma de los n términos de una progresión aritmética de diferencia 0, es Calcula n y la suma de los 10 primeros términos, sabiendo que el primero es Sala de Matemática Santa Elena Página 10 de 10