CO+ Concurso de Matemáticas de Otoño

Transcripción

1 CO+ Concurso de Matemáticas de Otoño Prueba de 3 o y 4 o de ESO RESOLUCIÓN 5 de noviembre de CO+ Concurso de Matemáticas de Otoño 1.1

2 Ejercicio 1.- ESO 1.- Decimos que un número es capicúa cuando se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda. Por ejemplo, 737 y 2112 son números capicúas. Cuántos capicúas de tres cifras son múltiplos de 3? A) 27 XB) 30 C) 33 D) 23 E) 36 Un capicúa de tres cifras será de la forma aba, a 0. Si 2a es múltiplo de 3 (a = 3, 6, 9), entonces b ha de ser 0, 3, 6 ó 9. Tenemos así 12 casos. Si 2a es múltiplo de tres más 1 (a = 2, 5, 8), entonces b ha de ser 2, 5 u 8. Así tenemos 9 casos más. Si 2a es múltiplo de tres más 2 (a = 1, 4, 7), entonces b ha de ser 1, 4 ó 7. Tenemos entonces 9 casos más. En total, pues, 30 casos CO+ Concurso de Matemáticas de Otoño 1.2

3 Ejercicio 2.- ESO 2.- Juan utiliza parte del dinero que lleva para comprar CD, todos del mismo precio. Si con un quinto del dinero que tenía ha pagado un tercio del total de los CD que compró, qué fracción del dinero que llevaba le quedará después de pagar todos los CD? A) 1 B) 1 XC) 2 D) 2 E) Si con un quinto del dinero compró un tercio de los CD, con tres quintos compró todos los CD (tres tercios). Por tanto, le quedó dos quintos del dinero que llevaba CO+ Concurso de Matemáticas de Otoño 1.3

4 Ejercicio 3.- ESO 3.- En una reunión la tercera parte de los asistentes tiene ojos verdes, el 80 % cabello oscuro y el 20 % ojos verdes y cabello oscuro. Cuál es la proporción de los que no tienen ojos verdes ni cabello oscuro? XA) 1 B) 10 % C) 15 % D) 1 E) Con el cabello oscuro o los ojos verdes habrá una proporción de: 80 % % = = Luego que no tenga el cabello oscuro ni los ojos verdes habrá = 1 15 de los asistentes CO+ Concurso de Matemáticas de Otoño 1.4

5 h 2 = = 48; (1 + x) 2 = 8 2 h 2 = 16. Por tanto x + 1 = 4; x = 3 [ La solución negativa, x = 5, de la ecuación de segundo grado, nos da la posición del punto S a la izquierda de P, sobre la recta PQ y a cinco unidades de Q)] CO+ Concurso de Matemáticas de Otoño 1.5 Ejercicio 4.- ESO 4.- En un triángulo PQR se verifica que PR = QR = 7 y PQ = 2. Si S es un punto de la prolongación del lado PQ, con Q entre P y S y tal que RS = 8, cuánto mide QS? XA) 3 B) 2 3 C) 4 D) 5 E) 4 2

6 Ejercicio 5.- ESO 5.- En la siguiente serie de poĺıgonos crucigramas de lado 1 cm, cuál es el perímetro del que tiene 61 cm 2 de área? A) 30 cm B) 32 cm C) 34 cm D) 40 cm XE) 44 cm Si yuxtaponemos los crucigramas del 1 al 4, observamos fácilmente que las áreas aumentan según múltiplos de 4 y los perímetros constantemente 8. Escribiendo la sucesión de áreas: 1, 5, 13, 25, 41, 61 vemos que hemos de calcular el perímetro del sexto elemento: 4, 12, 20, 28, 36, 44. Solución: 44cm CO+ Concurso de Matemáticas de Otoño 1.6

7 Ejercicio 6.- ESO 6.- El lado del triángulo equilátero PQR de la figura mide 2 cm. Si M es el punto medio de PR y R el punto medio de QN, cuál es, en cm 2, el área del triángulo MRN? A) 2 2 cm2 B) 3 X 3 4 cm2 C) 2 cm2 D) 1 cm 2 E) 2 cm 2 La altura del triángulo equilátero es h = 3. Como los triángulos PSR y MFR son semejantes de razón 1 3 2, tendremos que h = MF =. El área del 2 RN h 3 triángulo MRN será pues: = 2 2 cm CO+ Concurso de Matemáticas de Otoño 1.7

8 Ejercicio 7.- ESO 7.- Si = S, entonces es igual a: A) 2S B) (S + 1) X 2 C) 4S D) S + 25 E) 2S = (2 1) 2 + (2 2) 2 + (2 3) 2 + (2 25) 2 = = 2 2 ( ) = 4S CO+ Concurso de Matemáticas de Otoño 1.8

9 Ejercicio 8.- ESO 8.- En el trapecio PQMN, con los vértices nombrados en sentido horario y de bases PQ y NM, R es el punto medio de QM y S el punto medio de NP. Si el área del poĺıgono PQRS es el doble del área de SRMN, cuánto vale PQ NM? A) 2 B) 3 XC) 5 D) 6 E) 8 2A a = x + y 4A a = y + z 3A a = z + x = 2A a = z x 3A a = z + x = 2z = 5A a 2x = A a = z x = PQ NM = CO+ Concurso de Matemáticas de Otoño 1.9

10 Ejercicio 9.- ESO 9.- Cuál de los siguientes números es el mayor? A) 4 50 B) 7 20 XC) 5 40 D) 31 E) 951 Para cualesquiera a, b 0 se verifica: a b si y sólo si a 2 b 2. Calculemos, pues, los cuadrados de los números dados y veamos cuál es mayor: (4 50) 2 = 800; (7 20) 2 = 980; (5 40) 2 = 1000; 31 2 = 961; ( 951) 2 = 951 Luego el mayor es: CO+ Concurso de Matemáticas de Otoño 1.10

11 Ejercicio 10.- ESO 10.- Pedro y Teresa están a 6 km de distancia y se dirige uno al encuentro del otro. Si las velocidades de Pedro y Teresa están en proporción de 2 a 3, a qué distancia del punto de partida de Pedro se encontrarán? A) 1,2 km B) 1,8 km C) 2 km XD) 2,4 km E) 2,7 km Sea v la velocidad de Pedro y v la de Teresa. Cuando se encuentren, transcurrido un tiempo t, la suma de las distancias recorridas por ambos será: vt + v t = 6. Como dichas velocidades verifican: v v = 2 3, despejando v y sustituyendo en la ecuación anterior tendremos: vt + 3v 2 t = 6; o sea: vt( ) = 5 2 vt = 6 = vt = 12 = 2, 4. 5 Es decir, cuando se encuentren estarán a vt = 2, 4 km del punto de partida de Pedro CO+ Concurso de Matemáticas de Otoño 1.11

12 Ejercicio 11.- ESO 11.- Multiplicamos el producto de tres números positivos consecutivos por la suma de los tres. Cuál es el mayor número que siempre divide al resultado? A) 6 B) 9 C) 12 D) 18 XE) 36 Sea a un entero positivo. El producto: P = a(a + 1)(a + 2)[a + (a + 1) + (a + 2)] = 3a(a + 1) 2 (a + 2) es múltiplo de 9 pues 3 es un factor del mismo y uno de los otros tres factores, por ser números consecutivos, ha de ser, asimismo, múltiplo de 3. Además, Si a + 1 es impar, entonces a, (a + 2) son pares y, por tanto, P es múltiplo de 36. Si (a + 1) es par, (a + 1) 2 es múltiplo de 4 y, por tanto, P es múltiplo de 36. Es decir, en cualquier caso P es múltiplo de CO+ Concurso de Matemáticas de Otoño 1.12

13 Ejercicio 12.- ESO 12.- Tenemos dos dados con las caras numeradas de esta forma: uno de ellos con los números 1,1,2,2,3 y 3 y el otro con 4,4,5,5,6 y 6. Los lanzamos y sumamos los números obtenidos en las dos caras superiores. Cuál es la probabilidad de que la suma obtenida sea un número impar? A) 1 B) 4 C) 1 XD) 5 E) La suma será impar cuando la paridad obtenida en cada dado sea distinta. La probabilidad de que la suma sea impar será pues: P( impar 1 ) P( par 2 ) + P( par 1 ) P( impar 2 ) = = 5 9 donde impar i es el suceso sacar un número impar en el dado i; i = 1, 2 y, el suceso sacar un número par en el dado i; i = 1, 2 par i CO+ Concurso de Matemáticas de Otoño 1.13

14 Ejercicio 13.- ESO { a 13.- Si 2 + ab = 6 b 2 + ab = 2, entonces a es igual a: b XA) 3 B) 8 C) 3 D) 4 E) { { a 2 + ab = 6 a(a + b) = 6 b 2 + ab = 2 = b(b + a) = 2 = a b = 6 2 = 3 Nota: observemos que a + b 0 (caso contrario, las igualdades de partida serían contradictorias) CO+ Concurso de Matemáticas de Otoño 1.14

15 Ejercicio 14.- ESO 14.- Cuál de los siguientes números es el mayor? A) 0, 2 3 B) 0, 3 X 2 C) 2 3 D) 3 2 E) 2 3 El número lo descartamos porque es el único número negativo. Calculemos los restantes: 0, 2 3 = 0, 008; 0, 3 2 = 0, 09; 3 2 = 1 9 = 0, 1; 2 3 = 1 = 0, Por tanto, el mayor es: CO+ Concurso de Matemáticas de Otoño 1.15

16 Tomamos un punto, P, en el interior del poĺıgono, que unimos con los vértices de los ángulos obtusos. La suma de los ángulos pedida es igual a la suma de los ángulos de los cuadriláteros que se forman menos los 360 o obtenidos alrededor del punto P: = = 1440 o. (Nota: Hemos supuesto que, en nuestro caso, existe un tal punto P) CO+ Concurso de Matemáticas de Otoño 1.16 Ejercicio 15.- ESO 15.- Cuánto suman los ángulos interiores del decágono cóncavo siguiente? XA) 1440 o B) 1260 o C) 1620 o D) 1080 o E) 1800 o

17 Ejercicio 16.- ESO 16.- La suma de todos los divisores primos de 5445 es: ( ojo!, el 1 no es primo) A) 25 B) 24 C) 22 D) 20 XE) 19 Descomponemos 5445 en factores primos: 5445 = La suma pedida es: = CO+ Concurso de Matemáticas de Otoño 1.17

18 Ejercicio 17.- ESO 17.- Si giramos el punto P(4, 1) con centro en G(1, 1) y un ángulo de 90 o (en sentido contrario a las agujas del reloj), qué punto obtendremos? A) (1, 4) B) (2, 3) X C) (3, 4) D) (3, 3) E) (3, 2) Asociamos el triángulo rectángulo GBP y lo giramos 90 o, con centro en G. El punto B(1, 1), dos unidades de ordenada por debajo de G, se transforma en el punto B (1 + 2, 1). Sea P el transformado de P por dicho giro. La abscisa de P es la misma que la de B. Su ordenada está por encima de B a la distancia BP, o sea tres unidades más que la ordenada de B, que coincide con la de G. Por tanto, el punto P tendrá por coordenadas (1 + 2, 1 + 3) = (3, 4) CO+ Concurso de Matemáticas de Otoño 1.18

19 Como a < b < c < d, el número de cuatro cifras abcd sólo puede ser múltiplo de 11 cuando (d + b) (a + c) = 11. Pero dado que b < c, existe un dígito n > 0 tal que c = b + n. Pero entonces, d + b (a + b + n) = d a n < d 11. Por lo tanto, no hay ningún número ascendente de cuatro cifras que sea múltiplo de CO+ Concurso de Matemáticas de Otoño 1.19 Ejercicio 18.- ESO 18.- Un número abcd de cuatro cifras es ascendente si a < b < c < d. Cuántos números ascendentes de cuatro cifras son múltiplos de 11? XA) Ninguno B) Cuatro C) Seis D) Ocho E) Nueve

20 Ejercicio 19.- ESO ( 19.- El producto 1 1 ) ( 1 1 ) ( A) 1, 1 XB) 0, 1 C) 0, 9 D) ) ( E) ) es igual a: ( ) ( ) ( = = 1 10 = 0,1 ) ( ) = CO+ Concurso de Matemáticas de Otoño 1.20

21 Ejercicio 20.- Bachillerato 20.- Cuál es el menor número natural n para el que (0, 2) n < 10 6? A) 3 B) 6 C) 11 D) 8 XE) 9 (0, 2) n < n 10 n < n < n > n 6 > 2 6 El menor número entero para el que se verifica la desigualdad es n 6 = 3, o sea, n = CO+ Concurso de Matemáticas de Otoño 1.21