=22; r = 7 ( ) + (2 + 99) + (3 + 98) +... ( ) + (n - 1)r Cuyo resultado será: a 20. Calcular: S = a 1, a 2, a 3

Transcripción

1 0 (5 0 ) = Progresión aritmética Aquí una historia: - Término enésimo ( ) Se dice que cuando el gran matemático Gauss aún era pequeño e iba al colegio su maestro tenía la costumbre de poner problemas muy elaborados a los alumnos. Un día les hizo sumar los números del al 00. Al cabo de un par de minutos Gauss ya tenía la respuesta. Gauss se había dado cuenta de que: = a + (n - )r Hallar el vigésimo término de: ; 9; 36; 43; es igual a: Datos: n = 0; a =; r = 7 ( + 00) + ( + 99) + (3 + 98) +... (50 + 5) Luego: = a + (n - )r Cuyo resultado será: a 0 = + (9)7 a 0 = + 33 = 55 En el problema resuelto por Gauss nos damos cuenta de que cada sumando se puede obtener a partir del anterior, sumando una cantidad constante que en este caso es uno. Esta historios introduce al tema de estudio de hoy... adivinas cuál es? Reto: Cómo sumarías: ? Progresión aritmética Decimos que una sucesión de números están en progresión aritmética (P.A.) cuando cada uno de ellos es igual al anterior más una cantidad constante llamada razón (r) de la progresión: Ejemplos: - Número de términos (n) n = - a + r Hallar el número de términos de: 8; ; 4; 7;...; 0 Datos: = 0; a = 8; r = 3 Luego: n = - a r + = Suma de los n términos (S n ) 3 a a n S n = n + n = 33 3; 7; ; 5;... 8; ; -4; -0;... a, a + r, a + r, a + 3r,... a (n - ) También: S n = n Representación: Calcular: S = a, a, a 3,..., } P.A. de n términos +r Datos: a = 8; = 9; r = 4 donde: r = - a Calculando n : (n - ) 9-8 La razón (r) se encuentra restando cualquier término menos n = + = 7 4 su inmediato anterior. Calculando S : - Si: r > 0 la progresión es creciente Si: r < 0 la progresión es decreciente. S = 7 = 00 4 AÑO

2 é r m i n o c e n t r a l (a - T c ) Problemas resueltos a c = a. Hallar el número de términos de la siguiente expresión: 8; 4; 30; 36;...; 8 a c 3 ; 6 ; 9 ; ; 5 ; 8 ; Datos: r = 6; a = 8; = 8 - a n = + n = r 6 n = 45 + Hallar el término central en la P.A.: ( - n); (n - ); (9n + 3) Datos: a = - n; = 9n + 3 Luego: a - n 9n 3 a c = n - = Finalmente la P.A. sería: 5; -9; -33 a c = -9 - Términos equidistantes n = -4. Dada la progresión: 40; 44; 48; 5;... Hallar el vigésimo término. Datos: r = 4; a = 40, a 0 =?; n = 0 = a + (n - )r = 40 + (0 - )4 a 0 = 6 3. Calcular: S = En toda P.A. la suma de dos términos equivalentes de los extremos nos da una misma cantidad., 5, 9, 3, 7,, 5, 9 Datos: r = 5; a = 85; = 360; n =?; S =? Hallando n : 30 n 30 n = 30 r 30 Hallando S : a - a = 5 + n = Medios aritméticos o diferenciales a S = n = 456 Son los términos de una P.A. comprendidos entre sus S = extremos. a,..., a n "n" medios aritméticos 4. Hallar el número de términos de una P.A. si la suma de términos es 570 y el número de términos entre 3 y 30 es igual al número de términos que hay entre 30 y x. - Interpolación de medios aritméticos Es la operación que consiste en formar una P.A. conociendo los extremos y el número de medios a interpolar, la razón de interpolación es: - a r = n x = 570 n términos Observe que: a c = 30 Como: n términos S = n...() a n a

3 Pero: a a c = Reemplazando () en ():...() S = a c.n 570 = 30n n = 9 5. Las edades de tres hermanos están en P.A. creciente cuya suma es 63 y la suma de sus cuadrados es 395. Hallar sus edades. Sean las edades: (a - r), a, (a + r) } P.A. - (a - r) + a + (a + r) = 63 3a = 63 a = - ( - r) + + ( + r) = 395 ( + r ) + = 395 r = 7 r = 6 5; ; 7 6. En una progresión aritmética de diez términos, el primero es y el último 40. Calcular la suma de todos los términos. a) 00 b) 0 c) 05 d) 40 e) 0 7. La suma del primer y cuarto término de una P.A. es 5; la suma del quinto con el octavo es 39. Hallar el primer término aumentado en la razón. a) 3 b) 6 c) 5 d) 0 e) 8. La suma del tercer y quinto término de una P.A. es 0 y la suma del segundo con el cuarto es. Calcular el octavo término de dicha progresión. a) 3 b) c) 3 d) 3 e) En la P.A.: 9. b. c. d. 6 Calcular: d - b c Problemas para la clase 37 a) 40 b) 40 9 c) 0. Calcular el vigésimo primer término en la progresión: -7; -; 3; 8;... 0 d) 9 3 e) 0 a) 78 b) 84 c) 89 d) 93 e) 0. Indicar el trigésimo segundo término en la progresión: 00; 97; 94;... a) -6 b) 6 c) 7 d) -3 e) N.A. 3. Calcular el primer término de una P.A. si el décimo término es 57 y la razón es 5. a) 8 b) 9 c) 0 d) e) 4. Indicar la razón de una P.A. si el primer término es 4 y el undécimo término es 94. a) 8 b) 6 c) d) 4 e) 5 5. En una progresión aritmética de 5 términos el primer término es 3 y su suma es 45. Calcular el quinto término. a) b) 3 c) 4 d) 5 e) 8 0.En la P.A.:. b. c. d. 5 Calcular: b d c a) d) 3 b) c) 4 e).el primer término de una P.A. es 4 y la razón es 3. Hallar el noveno término. a) 9 b) 8 c) 7 d) 3 e) 35.Si el último término de una P.A. es 75, el primer término es 3 y la razón una unidad más que el primer término, hallar el número de términos. a) 7 b) 5 c) 9 d) 0 e) 4 3.En una P.A. la suma del primer y segundo término es ; la suma del cuarto y quinto término es 58. Calcule el tercer término.

4 a) 3 b) c) 8 d) 0 e) 4.En una P.A. se conoce: t = a - ; r = - a; S n = 0-5a. Hallar n. 4.Si: (a + b). (4a - 3b). (5b + 3a)... son tres términos en progresión aritmética, luego a/b, es: a) 4 b) 6 c) 8 d) 9 e) 7 a) $54 00 b) c) d) e) a) b) c) 3 d) 4 e) 5 3.Calcular la suma de términos de: 3;... ; 3;...; 59 sabiendo que el número de términos comprendidos 5 a) 3 b) c) entre 3 y 59 es el doble de los comprendidos entre 3 y d) e) a) 46 b) 46 c) d) 464 e) La suma de los n primeros términos de una P.A. es: 3n + n, para todos los valores de n. Hallar la razón de la progresión. 6.El cuarto término de una P.A. es 9 y el noveno término es -6. Hallar la razón. a) 3 b) -3 c) 4 d) e) - 7. La suma de tres números en P.A. creciente es y la suma de sus cuadrados es 66. Hallar la razón. a) 5 b) 3 c) 4 d) e) 8.Si: x, x, 3x, son los tres primeros términos de una P.A. entonces la suma de los diez primeros términos es: a) 00 b) 0 c) 0 d) 30 e) 90 4.En una P.A., los elementos de los lugares j, k y (j + k) son tales que la suma de los primeros es igual al último menos. Si la suma de los primeros es x, hallar la razón de la progresión. x a) j k - d) x j k x b) j k - x - e) j k - x c) j k - 5.En una P.A., el último término se denota por u, la razón por r y sus valores vienen dados por las ecuaciones: u 4 + r 4-6u r = u 3 r + ur 3-3u r = 558 Si la suma de todos los términos es 5, hallar el número de términos. a) 5 b) 7 c) 8 d) 0 e) 6 6.La suma de los dos primeros términos de la progresión aritmética es igual al valor absoluto de la suma de las raíces de la ecuación: 9.Hallar la suma de todos los números pares comprendidos entre 78 y x x = 0 a) b) 800 c) 0 87 d) e) Si la suma de 00 números enteros consecutivos, es igual a 5 veces el primero de los sumandos, hallar el primer término. a) 00 b) 08 c) 98 d) 00 e) 99. Cuánto ha ahorrado Pedro en 5 años, si en enero del primer año ahorró $0 y en cada mes siguiente ahorró $30 más que el anterior? y el sexto término es igual a. Hallar la razón. a) 4 b) c) 6 d) 3 e),5 7. Si: m - n ; m ; m - p están en progresión aritmética, diga cuál de estas afirmaciones es correcta: a) m = n p b) n, m, p están en progresión geométrica c) m = n + p d) m = np e) n = mp

5 8. S i l o s n ú m e r o s : a calcular el valor de: E = a a +, a, a 3,..., a p ; forman una P.A., - a) a b) d) e) 0 a - a n - a 3 a c) n a Si los términos de lugares p, q, r ; de una P.A. son a, b, c ; respectivamente, calcular: E = (q - r)a + (r - p)b + (p - q)c Autoevaluación. Hallar el número de términos en: 4; 8; 3; 36;...; 088 a) 65 b) 66 c) 67 d) 58 e) 59. Calcular: S = a) 064 b) 08 c) 038 d) 07 e) Hallar x en la P.A. (x - ); (x + 3); (3x - ) a) q b) r c) p a) b) 6 c) 4 d) 0 e) a + b + c d) 8 e) 0 30.Si: S ; S ; S 3 ;... son la suma de n términos de una P.A. cuyos primeros términos son: ; ; 3; 4;... y cuyas razones son ; 3; 5; 7;... Hallar el valor de: E = S + S + S S p a) d) n(n ) pn(p - ) b) e) p(p ) pn(p ) 4. La suma de los cuatro primeros términos de una P.A. es 0 y la razón 6. Cuál es el primer término? a) 5 b) -5 c) 4 d) -4 e) c) pn(p + ) 5. En una P.A. de 5 términos, la suma de términos es 360. Cuál es el valor del término central? a) b) 4 c) d) 6 e) 0

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