Tema 3: Números racionales

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1 Tema 3: Números racionales SELECCIÓN DE EJERCICIOS RESUELTOS EJERCICIOS DEL CAPÍTULO 4 (Fracciones y números racionales positivos) (Pág. 9) 22. Al examen de junio de matemáticas se presentan 3 de cada 5 alumnos matriculados, y por cada 5 alumnos que aprueban hay 2 que suspenden. Qué fracción de los alumnos matriculados aprueban en junio? ARITMÉTICA: Si suponemos que se han matriculado 37 personas, los presentados serían (3/5)(35) = 2. De estos 2 aprueban los 5/7, o sea, (5/7)(2)=5. La razón entre los aprobados y los matriculados será: 5/35 = 3/7. ALGEBRAICA: Si M representa el número de alumnos matriculados y A los aprobados, A ( M) M M ; la fracción pedida es 3/7. DIAGRAMA EN ÁRBOL: MATRICULADOS 3/5 PRESENTADOS 5/7 2/7 APROBADOS SUSPENSOS 2/5 PRESENTADOS Aprobados =(5/7)(3/5) = 3/7 23. En una planta depuradora de aguas residuales, el tratamiento del agua se realiza en tres etapas. En una primera se quitan los 9/0 de los fosfatos. En la segunda se quitan los ¾ de los que quedan. Y en la tercera, se quita ½ de los que aún lleva el agua. Qué fracción de fosfatos se quitan en total del agua? Si F representa la cantidad inicial de fosfatos en el agua residual, la cantidad de fosfatos remanentes al final de las tres etapas será: R [ ( F)] F Luego la fracción de fosfatos eliminados será,

2 FOSFATOS /0 9/0 RESTANTES ª FASE ELIMINADOS ª FASE RESTANTES 3ª FASE RESTANTES 2ª FASE /2 /2 /4 3/4 ELIMINADOS 3ª FASE ELIMINADOS 2ª FASE FOSFATOS ELIMINADOS: 79 [ ( )] Supongamos que 2/5 de la ginebra es alcohol, que /6 del vermouth es alcohol, y que un martini se hace con 5 partes de ginebra y parte de vermouth. Qué fracción de alcohol lleva un martini? Sea A la fracción total de alcohol en un martín. A será la suma del alcohol aportado por la ginebra y por el vermouth. El alcohol de cada uno de los componentes será el producto de las fracciones correspondientes (fracción de fracción): A ALCOHOL GINEBRA 2/5 3/5 5/6 ALCOHOL MARTINI /6 ALCOHOL VERMOUTH /6 5/6 ALCOHOL ALCOHOL TOTAL, 25 3 A TALLER DE MATEMÁTICAS (Pág. 9-2): 3. Una persona gasta cada mes la quinta parte de su salario mensual en alimentación y la sexta parte en alquiler del piso. Después de realizados estos pagos le quedan 570 euros. Cuál es su salario mensual? Si S es el salario mensual, S S 570 S ; despejando se obtiene S = Un coche circula a 80 km/h durante 8 minutos. Por qué número es necesario multiplicar la velocidad para encontrar la distancia que recorre expresada en km? Cuánto tiempo necesitará para recorrer 64 km a esa misma velocidad?

3 a) Hay que multiplicar la velocidad por 8/60, que es la fracción de hora que km 8 corresponde a 8 minutos. Distancia recorrida, 80. h 24km h 60 km 64 4 b) 80 xt 64 km ; T h h 48 minutos h Se considera el número A = 4550/56. a) Encontrar los dos enteros consecutivos que encuadran a A (o sea, el mayor entero menor que A y el menor entero mayor que A) b) Calcular en forma de fracción la diferencia entre A y cada uno de los enteros anteriores. c) Llamemos B al entero más próximo a A. Encontrar tres números racionales comprendidos entre A y B. a) 82 < A < 83; b) A ; 83 A c) 83 es el entero más próximo a A, aunque mayor que A. Por tanto, restando sucesivamente a 83, por ejemplo, /56; 2/56; 3/5,6 obtenemos los tres números pedidos. 6. Demostrar que es posible pavimentar un rectángulo con baldosas cuadradas si y sólo si la razón entre las longitudes de la base y la altura es un número racional. Expresemos mediante las letras a y b la altura y la base del rectángulo. Para que se pueda pavimentar con baldosas cuadradas es necesario (y suficiente) que exista una longitud L tal que a = L.n ; b= L.n 2. Entonces, la razón entre b y a será: b Ln. 2 n2, que es un número racional. a Ln. n Si la razón es irracional, quiere decir que no existe una fracción que exprese dicha razón. Por tanto, no existe la longitud L que pueda ser la longitud del lado de la baldosa cuadrangular que permitiría el recubrimiento. 7. En una familia el padre obtiene 3/5 de los ingresos y el resto lo obtiene la madre. Mientras que ésta paga 2/0 de sus ingresos en concepto de impuestos directos en su declaración de la renta, el padre paga 2/ de sus ingresos. La familia paga además /20 de sus ingresos en impuestos autonómicos y estiman que aproximadamente 3/50 de sus ingresos se pagan en impuestos indirectos (tabaco, gasolina, artículos de lujo, etc.). Qué proporción total de ingresos paga en impuestos esta familia? Sea I la incógnita que representa los ingresos totales de la familia. El total de impuestos que paga, según las condiciones indicadas vienen dados por la siguiente expresión:

4 I. I I ( ). I I I Realiza las siguientes operaciones: a), b) 2 2, c) 2, d) 2 Eres capaz de descubrir un patrón en esta serie? Podrías, sin necesidad de hacer los cálculos, escribir los tres números siguientes? a) 3/2; b) 5/3; c) 8/5; d) 3/8. El numerador de cada nuevo término es la suma de los numeradores de las dos fracciones anteriores, y el denominador, la suma de los denominadores de las dos fracciones anteriores. Según este patrón, los tres números siguientes serán: 2/3; 34/2; 55/34.. Una de cada personas aproximadamente contrae tuberculosis a lo largo de su vida. Las pruebas para detectar la tuberculosis dan positivas en el 99/00 de las personas enfermas y también en el 2/00 de las personas sanas (falsos positivos) a) Cuál es la probabilidad de contraer tuberculosis? b) En una población de de personas, Cuántas contraerán tuberculosis? c) Cuántos falsos positivos hay? d) Cuántos falsos negativos? (personas enfermas en las que el test es negativo) e) Qué proporción de aquellos en los que el test da positivo está realmente enferma? POBLACION / /0.000 TUBERCULOSOS 4 99/00 /00 TUBERCULOSOS /00 98/00 DETECTADOS DETECTADOS (Falsos negativos) FALSOS POSITIVOS 800 NEGATIVOS a) Probabilidad de contraer tuberculosis: /0.000; b) Personas que contraen tuberculosis: x(/0.000) = 4

5 c) Falsos positivos: (2/00)x(9.999/0.000) x = 800 d) Falsos negativos, 4x(/00) = 0.04 (prácticamente ninguno) e) Proporción de realmente enfermos respecto de los que el test da positivo: 4/(4+800) = 4/804

6 Tema 3: Números racionales. Expresiones y números decimales SELECCIÓN DE EJERCICIOS RESUELTOS EJERCICIOS DEL CAPÍTULO 5. Expresiones y números decimales (Pág. 28). Si la fracción a/b es irreducible, a < b y b= 2x5 4, Cuántos dígitos decimales aparecen a la derecha de la coma al expresar esta fracción en forma decimal? El denominador b se puede transformar en una potencia de 0 multiplicando ambos miembros de la fracción por 2 3, quedando como 0 4. Por tanto, el número de dígitos decimales a la derecha de la coma será de Escribir en notación decimal en base 2 el racional 44 Expresamos en base 2 el numerador y el denominador. 472 (0 = 2888 (2 ; 44 (0 = 00 (2. (0 (0. El racional dado se expresará como en base 2 8. Sumar La suma de dos números decimales periódicos, es siempre un decimal periódico? Para sumar dos racionales escritos en forma decimal periódica es necesario hallar las fracciones generatrices correspondientes. En este caso, = 2/3 (aplicando el algoritmo habitual); y = /3. La suma de ambas fracciones es. Este caso sirve como contraejemplo de que la suma de dos racionales cuya expresión decimal (en base 0) es periódica no tiene porqué ser también decimal periódica. (A menos que consideremos que se puede escribir también como ). Encontrar un decimal con tres cifras decimales que difiera de 5/7 menos de una milésima. Expresar el resultado en forma polinómica. El número racional 5/7 se puede expresar en escritura decimal periódica mixta del siguiente modo: ; El número decimal 2 42 cumple la condición de diferir de 5/7 en menos de una milésima. Se comprueba fácilmente haciendo la sustracción, (5/7) Expresión polinómica de 2 42 = 2 + x x x0-3. TALLER DE MATEMÁTICAS (Pág. 40)

7 . Escribir en forma simplificada como número con coma las siguientes expresiones de dos números expresados de forma polinómica en base b >6. Cuál de ellos es mayor? d = 2b 2 + 0b + b 0 + 5b - +b -2 +6b -4 d 2 =2b 2 + 0b + b 0 + 5b - +6b -3 d = ; d 2 = (se escriben sólo los coeficientes de sus respectivas expresiones polinómicas; los exponentes negativos de las potencias de la base corresponden a los dígitos que figuran a la derecha de la coma) d > d 2, ya que tienen la misma parte entera (20), pero d tiene mayor parte decimal (0 506 > 0 506) 2. Dar la escritura decimal, eventualmente aproximada, de los números que se escriben del siguiente modo: (en base cinco) y (en base seis) (Se interpreta que el enunciado pide expresar los números en base 0) (5 = 2x5 2 + x5 + 4x x x5-2 = (0 (basta hacer las operaciones indicadas en base 0) (6 = 2x6 2 +x6 +4x x x6-2 = Si escribimos los números racionales en un sistema de base 2, a) Qué fracciones podrán escribirse con una escritura duodecimal finita? b) Qué fracciones tendrán una escritura duodecimal ilimitada periódica? c) Qué fracciones tendrán una escritura duodecimal ilimitada no periódica? a) Las fracciones cuyo denominador sea una potencia de 2, o que sólo tenga como factores 2, 3, o sus respectivas potencias y productos. Por ejemplo 2 22 x 0' b) Las restantes fracciones serían duodecimales periódicas (puras o mixtas) c) Ninguna; tal escritura correspondería a números irracionales para los que no existe expresión fraccionaria. 4. Si al usar la calculadora para dividir 4 entre 9 obtienes como resultado , significa eso que 4/9 es un número racional con expresión decimal periódica? En efecto, cuando al dividir dos números se repite un mismo resto, los dígitos siguientes del cociente comienzan a repetirse indefinidamente. El uso de la calculadora para hallar el periodo de una expresión decimal requiere tener en cuenta los dígitos que puede mostrar la calculadora y el proceso de redondeo.

8 5. Escribe las siguientes fracciones en expresión decimal: / / / Puedes adivinar la expresión decimal de /? Comprueba tu conjetura hallando su fracción generatriz. Describe la expresión decimal de /N donde N el un número formado por n unos:.. 0' ; 0' ; 0' ' Fracción generatriz: x = x = Restando, x = 9; despejando x, x La expresión decimal de /N tiene como parte entera 0, y como parte decimal periódica pura la cifra 9 precedida de n- ceros. 6. Cuáles son las fracciones generatrices de las siguientes expresiones? 0' ' 'ababababab... 0'abcabcabc a) Fracción generatriz x de ; x b) Fracción generatriz y de ; y 999 ab c) Fracción generatriz z de 0 abababab... ; z ;... 99