Números reales ACTIVIDADES

Transcripción

1 ACTIVIDADES No pueden representar el mismo número racional, puesto que si una fracción tiene un término negativo, el cociente es negativo; y si sus dos términos son positivos, el cociente es positivo. Respuesta abierta. Por ejemplo: Tras la coma se sitúan todos los múltiplos de : 0,69 Tras la coma se sitúan todos los múltiplos de 4: 0,486 Al número irracional se le suma el número : +. Al número irracional se le suma el número : +.

2 Es un número irracional, ya que tiene infinitas cifras decimales que no se repiten de forma periódica. Es un número decimal exacto, luego no es un número irracional. c) Es un número irracional, porque si a un número irracional se le resta un número entero, el resultado es un número irracional. d) No es un número irracional, puesto que es una fracción. 0 6

3 Respuesta abierta, por ejemplo: 0 000, y Respuesta abierta, por ejemplo: +, 00 + y < < π <

4 e) (, ) = { x: < x < } 8

5 =, Aproximación por exceso a las diezmilésimas:,7 Aproximación por defecto a las diezmilésimas:,70 Aproximación por exceso a las cienmilésimas:,706 Aproximación por defecto a las cienmilésimas:,70 Respuesta abierta. Por ejemplo: Valor real =, Valores aproximados: y En ambos casos, el error absoluto es 0,; pero los errores relativos son distintos: 0, E r = = 0,047 0, E r = = 0,08 Velocidad en autopista:,4 km/h Cota de error absoluto = = 0, 0 0 Aproximación: km/h 0, Cota de error relativo = = 0,0047 0, Media de edad de jubilación: 64, años Cota de error absoluto = = 0, 0 0 Aproximación: 64 años 0, Cota de error relativo = = 0, , Para calcular los errores relativos y absolutos es necesario conocer el valor real; por tanto, no se pueden calcular. Las cotas de error son: 9

6 E a = = 0,0 0 E a = = 0,00 0 (, 0 + 4,7 0 ) : 8,0 0 4 = 6, , (7, ,4 0 ) =,

7

8

9 En la actividad anterior, se ha visto que log = 0,00. Si se utilizan cambios de base, resulta: Como los dos números son inversos, su producto es. También se puede comprobar de este modo: logb loga logab logba = loga logb = SABER HACER ,7 + 4, = + = = 7, , 7, = = =, c) 6, +, = = 4 =, d),4 + 7,6 = + = =, e) 6,4 + 4, = = 0 4 = 0, f),,0 = 67 = 09 = 0, ,,= = =, ,:, = : = = 0, c) 6,7 8,4 = = 8 =, d) 6,7 : 8,4 = 87 : 76 = 87 = 0,

10 = + + = + = + = : + = + = + = + = = + = = = + + = + + = ( 4, ] (, 0) = ( 4, 0) (, 8] [, 0) = [, 0) (, 8] ( 4, ] (, 0) = (, ] (, 8] [, 0) = = 4, < < (4, ) Error < 4 = 4,6 < < 4,7 (4,6; 4,7) Error < 4,7 4,6 = 0, 4,69 < < 4,70 (4,69; 4,7) Error < 4,7 4,69 = 0,0 4,690 < < 4,69 (4,69; 4,69) Error < 4,69 4,69 = 0,00 4,6904 < < 4,690 (4,6904; 4,69) Error < 4,69 4,6904 = 0,000 π =, < π < 4 (, 4) Error < 4 =,< π <, (,;,) Error <,, = 0,,4 < π <, (,4;,) Error <,,4 = 0,0,4< π <,4 (,4;,4) Error <,4,4 = 0,00,4 < π <,46 (,4;,46) Error <,46,4 = 0,000 4

11 c) Φ =, < Φ < (, ) Error < =,6 < Φ <,7 (,6;,7) Error <,7,6 = 0,,6 < Φ <,6 (,6;,6) Error <,6,6 = 0,0,68 < Φ <,69 (,68;,69) Error <,69,68 = 0,00,680 < Φ <,68 (,68;,68) Error <,68,68 = 0,000 6,4 0, 0 9, 0 9, = 6 4 6, 0, 0 +, 0 =,048 0 = = c) ( ) = e) 4 = = d) ( ) ( ) = = f) = x y = 7x y = 8x y c) ab c 4 = 64a b c b 8a b = a b d) ( ) ( ) a b b = a b b = 4a b + b 4ab 4 4 = 6 6 ( ) = = ( ) = ( ) ( + ) ( + ) ( ) ( + )( + ) c) = = ( + )( + ) ( )( ) ( )( ) ( + )( + )

12 ACTIVIDADES FINALES Es irreducible, porque el m.c.d.(, ) =. d) Es irreducible, porque el m.c.d.(, 8) =. 8 9 = Es una fracción reducible. e) 6 c) = Es una fracción reducible. f) 8 6 Es irreducible, porque el m.c.d.(, 8) = = Es una fracción reducible = c) 6 = e) = f) 88 = = d) 4 70 = f) = g) = 6 7 = 6 x = 0 x = 0 c) x x 4 = 6x = x = 6 x 4 = 40 = x x = 0 d) x x 8 x = = = m.c.d.(x, 8) =, x < 8 x = {, 7,,, 7} m.c.d.(, x) =, x < x = {, 7, } = + = + = : + = + =

13 = + = + = = 0 + = : : + = + = : = : = = ,6907 = 4 0, = c) 0, = d) 4 8,4 =, Decimal exacto. 4,4 Irracional. c) 6,77 Decimal periódico puro. d) 0,0 Decimal periódico mixto. e) 4 Decimal exacto. f),07 Decimal exacto , = d) 8,000 = g) 000 0,0= 00, = 9 e) 4,78 = 4 h),90 = c) 7,7 = f) 0, = 09 i) 0,07 = , +,4 = + = ,,7 = = c) 6,4 +, = + = d) 4, 7,0 = = 4 7

14 = 6 Respuesta abierta. Por ejemplo:. 8

15 La prueba más sencilla para demostrar que es irracional es mediante reducción al absurdo. a Suponemos que es un número racional, y entonces se puede escribir como =, con a y b primos entre sí. b Ahora se elevan ambos lados de la igualdad al cuadrado, y se obtiene: a a 0 = 0 = 0b = a b b De aquí se entiende que se puede escribir a = (k), con k un entero divisor de a, así que se tiene, por tanto, b = k. Esto asegura que es múltiplo de k, lo que implica que también es múltiplo de k, y aquí está el absurdo: se suponía que b y k no tenían factores comunes y se sigue que los dos son múltiplos de, es decir, que tienen al como factor común, y por tanto su m.c.d. debe ser al menos. Esta es la contradicción que se buscaba, por lo que es irracional y, por tanto, también lo es. Son todos números irracionales salvo 6 = ± 4, que es un número entero y, por tanto, racional. Irracionales, c), d), y f) Racionales 9 = = 6 y e) 6 = 4 = 0 + 9

16 0 = = c) = + 0 d) = + 0 e) + = f) =

17 = + 0 = + 0 c) 8 = , = + 0, c) = + 9 = , 0 4

18 x (, ] y < x c) x (, 0] yx 0 x [, 4] y x 4 d) x [8, + ) y x 8 i) { x: 7 < x < } 7

19 (,6) (, ) = (,6) [, ) [, 0] = [, ) c) 7 9 7,, =, 4 d) [ 7, ] [, 7] = [ 7, 7] (,0) (, 8) = (, 8) c) 4 4,, 0 =, ,,, = 4 d) [ 7, ] [, 7] = [, ] A B = [ 4, ) A C = [ 4, 4) c) B C = (, ) d) A B C = (, ]

20 A B = (, ) A C = (, ] c) B C = [0, ] d) A B C = [0, ], = (, + ), [, ] = (, ] [, + ) c) { x x } : 6 < 40 = (6, 40) = (, 40] (6, + ) d) x : x =, =, + (, ] e), [, ), = f), 90, = + (, 90 ) g) x : x < =, =, + (, ) h) { x : < x < } = (, ) = (, ) (, + ) [,] = (,] [, + ) d) [8, + ) Ya está escrito en forma de semirrecta. [0,7) = [0, + ) (,7) e) (0,000] = (0, + ) (,000] c) (0,00) = (0, + ) (,00) 4

21 4,9 + 4,7 7,67 = 40,498 40, c),6 ( 7,4009,48) =, ,0, + 4,0 7,6 =,0, d) 7,7,9 :,= 4, ,8 Biblia Error absoluto = 0,496 Error relativo = 0,04070 En el antiguo Egipto Error absoluto = 0,0890 Error relativo = 0,00606 Mesopotamia Error absoluto = 0,0696 Error relativo = 0,0086 En la antigua China Error absoluto =, Error relativo = 8, En cálculos prácticos Error absoluto = 0,0096 Error relativo = 0, El número,769, truncado a las centésimas, es,7, por lo que sus errores absoluto y relativo serán: Ea E a =,769,7 = 0,0069 E r = = 0,000,769

22 a la diezmilésima 0,77 Ea E a = 0,777 0,77 = 0,00007 E r = = 0, ,777 4,964 a la centésima 4,4 E = 4,96 4,4 = 0,00 a 0,00 E r = = 0, ,96 c) 9 4 a la décima 7, Ea E a = 7, 7, = 0,0 E r = = 0,0068 7, Para que el error absoluto cometido sea menor que una centésima, hay que calcular el cociente con dos cifras decimales. La aproximación pedida es 0,4. Para que el error absoluto sea menor que una milésima, se escribe el número con tres cifras decimales. Por tanto, la aproximación pedida es,4. Una aproximación a las milésimas es 4,7. La respuesta no es única, ya que hay infinitos números. π,4 cota de error absoluto = = 0,000 < 0,00 0 aproximación,44 cota de error absoluto = = 0,0000 < 0, aproximación c) + 0,6 cota de error absoluto 0,0000 0,000 0 aproximación Φ = = = < 4,48 cota de error absoluto = = 0,00000 < 0, d) aproximación 6

23 Están escritos en notación científica, y 4, = 0 9 Mantisa: Orden de magnitud: 9 0, =, 0 7 Mantisa:, Orden de magnitud: 7 c) =, Mantisa:,94 Orden de magnitud: 7 d) 0, = Mantisa: 9 Orden de magnitud: 0 e) = 4, Mantisa: 4,98 Orden de magnitud: 9 f) 0,09674 = 9,674 0 Mantisa: 9,674 Orden de magnitud: g) =,9 0 8 Mantisa:,9 Orden de magnitud: 8 h) 000 =, 0 Mantisa:, Orden de magnitud: 7

24 A B : C =,7 0 8,4 0 9 : (7, 0 ) =,0 0 B A + C = 7,0 0 c) A + B C =, , , 0 =, ,84 0 =,84 0 d) (B + C) : A = (, , 0 ) : (,7 0 8 ) =,6 0 4 A B C =, 0 6 8, 0, 0 6 =,84 0 (A : C) B = [, 0 6 : (, 0 6 )] 8, 0 =,4 0 c) A + B C =, , 0, 0 6 = 7,8 0 6 d) A C =, 0 6 (, 0 6 ) =, 0 6 6,0 0 = 8, = ± c) = 0 e) 4 6 = ± 7 = d) 6 = 6 f) 7 8 = 8

25 Respuesta abierta. Por ejemplo: = = c) = = e) 6 4 = = = 7 = 7 d) = = f) = = i) 4 = 7 = 7 Falso, porque = = c) Falso, porque 0 = 4 = 8 Falso, porque = 9 = d) Verdadero = = = c) ( ) 6 6 = = ( ) : = = d) ( ) = 7 =

26 c) a a = a a = a 7 4 a a a = a a a = a a = a 4 a a a = = a a a a d) = g) ( ) a = a e) = = a h) = a a a a 4 f) = = a i) 4 = 8 = a 4 a a a 4 a 8 0 ( ) = = = = f) ( ) 6 = = = = = = g) ( ) = = = c) = h) = = = ( ) 4 4 d) ( ) 8 8 = = = i) e) ( ) 4 = = = = = 6 = 4 4 a b = ab a d) a b + a b = ab ab + a b c = ab c bc e) a b + c = a b + c c) a b c 7 ac b 4 4 = c f) a c + a b = a c + b 0

27 = d) 0 = g) 4 4 = = 4 e) 080 = 6 h) 486 = c) 89 = 7 f) 4 70 = 4 4 i) 8 = = ( ) 4 = = 0 Z x y 4 = xy x d) 6x y = 4y x y 4 4 x 6 x = e) x y z = x y z yz c) x y = x xy f) 7 79x y z = y z x y Al elevar al cuadrado la expresión se obtiene: ( ) + = = 6 = 4 ( ) + = 4 + =

28 d) e) c) 4 f) = = + 4 c) = 6 d) = 6

29 = 8 = c) = 7 4 9

30 ( + ) ( + ) = 6 + d) ( ) ( ) + = ( ) ( + ) = e) ( ) ( 4 ) = ( ) c) ( + ) ( ) = f) ( ) ( ) 7 7 = = = ( ) : 7 8 = 7 8 : 7 8 = c) = = 4 = = d) ( : ) : = = c) d) a a a = a a a = a a a = a = a a a b ab = ( a ( ab ) = ( a ( ab ) = a b a b = a b = ab ab a b a b 4 a b a b : 4 ab = ( a b ) (4 ab ) = ( a b ) (4 ab ) = = ab a b = ( a ab ( ) = a b a b = a b = a b 4

31 d) = ( 4 + ) ( 4 ) = = = = = = = d) = = 6 + = 9 = c) d) a a 6a + 9a a 44 a + = = = = a a a 9a 9a = = = = 0 0 9a 8a a a = a + a a = a a a a a 6a + = 6a + + 4a = 0a + = a + 4 4a = ( a ) = a + a + a = a a + = +

32 4 = 4 d) 4 4 = 9 = = = e) 4 4 = c) 4 9 = f) 6 = 6 ( ) = = c) = = ( 7 ) 7 = d) = 7 6

33 ( ) = + e) ( ) + = + 7 = + 7 f) + = 6 c) = + g) = 6 + d) 6 + = 6 7 h) 0 + = 7 + = ( + ) + = = = c) = 6 ( 00 + ) 4 d) e) 8 ( 8 ) = ( 8 ) ( ) 7 ( + ) = 4 f) ( ) + 8 = + 7

34 ( 6) = = = = = ( + 6) ( 6) = = = + 7 ( + 7)(+ 7) (+ 7) ( ) = = = + ( + ) ( ) 9 c) d) ( 6 ) ( ) = = = = = ( ) (4 + 7) ( + ) + = = = = 6 6 ( ) = ( + )( 6 ) ( 7) = ( ) = + 8

35 = c) + + = 6 6 = ( 0 ) d) = = 4 = log9 4 = c) log 4 = 9 log = d) log4 = 9

36 Falsa: log ( a + loga + logb log ( a = loga + logb Falsa: log 0 log = 0 c) Cierta: log ( a: = loga logb d) Falsa: ( b log ) log log log( b a b a a ) = b loga 8 log 8 + log log 6 = log = log 70 = log 7 + log 0 = log 7 + =,

37 log 4 log = = 0,00 c) log 4 log 0, = log 0 = 0,00 = 0,6989 log = log 4 = 0,60 d) log 4000 log 4 log 000 0,0,60 4 = + = + = ab ln a = lna = 0, c) ln 4 ( lna lnb lne) 0, e = 4 + = ln b = lnb = 0,7 d) a ln = lna lnb =, b log x = x = x = 4 e) log x = x = x = 4 log x = x = x = f) log x = x = x = 0 c) log x = x = x = g) log x = 0 x = x = 6 d) log x = 4 x = x = h) log x = 4 x = x =

38 Falsa, pues los números irracionales tienen infinitas cifras decimales no periódicas y no se pueden escribir como fracción. Falsa, porque hay números reales que son irracionales. c) Verdadera, ya que los números racionales y los irracionales forman el conjunto de los números reales. d) Falsa, porque si son enteros no pueden tener infinitas cifras decimales no periódicas. e) Verdadero, pues todos los números que se pueden expresar como fracción son números racionales, que además son reales. f) Falsa, porque los números decimales con infinitas cifras decimales no periódicas son irracionales. g) Verdadero, ya que tiene infinitas cifras decimales no periódicas. h) Falsa, pues los decimales exactos también son racionales. i) Verdadero, por definición. Porque no hay ningún número que al multiplicarlo por sí mismo dé un número terminado en. Todas las familias de números terminadas en, 7 y 8 tienen esta característica. Año luz km = 9, km Velocidad de la luz km/s = 0 km/s c) Diámetro del Sol km =,4 0 6 km d) Carga eléctrica del electrón 0, C =, C e) Masa del protón 0, kg =,67 0 kg f) Distancia de Mercurio al Sol km =,8 0 7 km g) Masa del electrón 0, kg = 9, kg h) Distancia entre la Tierra y la Luna m =, m 4

39 b a a = b a b 6 a b Área A0 = m Área A4 = = m 4 = = = = = 0, m = cm = = 9,7 cm ab a a b 4 6 espacio 6, 0 Un año en horas es 4 6 v = = = 7, 0 km/h tiempo 8,76 0 = = = = 4 Φ + + = Φ Φ + Φ = = Como nuestro sistema de numeración es decimal, al dividir un número entero entre un número que sea potencia de o, o de ambos, se obtiene un decimal exacto. Si el numerador es múltiplo del denominador, se obtiene un número entero. 4

40 No pueden coincidir, ya que para aproximar por defecto se eliminan las cifras a partir del orden considerado, y para aproximar por exceso se eliminan las cifras a partir del orden considerado, pero se aumenta en una unidad la última cifra que queda. La aproximación por redondeo coincide con la aproximación por defecto si la cifra anterior al orden considerado es menor que cinco, y coincide con la aproximación por exceso en el resto de casos. Falso: n m n m a b ab, ya que m n n m n m nm mn nm m a b = a b = a b = a b n n m n+ m n m nm m Falso: a b ab a b = a b c) Falso: n n n n a + b a + b, n n n n ya que a + b = ( a + n a + b = a + b n n m m d) Falso: n a b ( a, ya que m n m n m n n n n n m a b a b a b a b = = = e) Verdadero: a a a b = a a b f) Falso: a b + c ab + ac a b + c = a b + a c g) Falso: a b a b a b = a b h) Falso: a + b a + b a + b + ab = a + b 00 y x = Tenemos que encontrar un número y tal que 0 = x : logx = x = x = log log Por otro lado, como log x = y, se tiene que 0, 0, 0 0 y = 00 log = 0, 0 = 0 0 =,6 0. No se puede hallar con calculadora, ya que es un número demasiado grande. 00 y c) x = Tenemos que encontrar un número y tal que 0 = x : logx = x = x = log log Por otro lado, como log x = y, se tiene que 49, 0, y = 00 log = 49, 0 = 0 0 =,

41 PARA PROFUNDIZAR ( ) ( ) ( ) log y + log x = 7 log y + log x = 49 log y + log x + log ylog x = 49 x y x y x y x y logy logx ( log y) + ( log x) + 49 ( log y) ( log x) 49 ( log y ) ( log x) 47 x y logx logy = + + = + = x y x y Al elevar ambos términos al cuadrado se obtiene: ( ) = = 4 Así que al calcular su raíz cuadrada para obtener el valor inicial, resulta 4 = 6. Para que tenga un número impar de divisores tiene que ser un número cuya raíz cuadrada sea exacta, por lo que solo quedan como posibles los números de tres cifras menores que. Los únicos dos números que cumplen esta propiedad son 8 = 4 y 4 = = log 0 < log 0 < log 0 (,) log log x x + y y = = y ( x + y + ) = x + y yx + y + y x y = 0 y + xy x = 0 x x + x + y + x + y Cuando x =, ± 9 y = R. Como los divisores dea + b son los divisores comunes de a y b : ( a + ya b no tienen divisores comunes, y la fracción a + b es irreducible. a b Como los divisores dea b son los divisores comunes de a y b : ( a ya b no tienen divisores comunes, y la fracción a b es irreducible. a b 4

42 Suponemos que ambas piezas parten de A. Llamamos v a la velocidad que llevan los dos móviles. La distancia recorrida por el móvil que se desplaza por la circunferencia en los puntos A y B es π( k ), siendo k un número natural. La distancia recorrida por el móvil que se desplaza por el diámetro en los puntos A y B es 0( k ), siendo k un número natural. Las distancias recorridas por el móvil que se desplaza por la circunferencia son números irracionales, mientras que las distancias recorridas por el móvil que se desplaza por el diámetro son números naturales. Por tanto, nunca coincidirán ambos móviles. Para que una fracción irreducible genere un número decimal periódico mixto, debe tener en el denominador algún factor primo o y alguno que no sea ni. Hallamos la suma: n + 6n = n n + n + n( n + )( n + ) Vemos que es irreducible, pues el numerador no se anula para ningún valor natural de n y, además, el denominador es el producto de tres números consecutivos y tiene como divisores, al menos, el y el. 46

43 MATEMÁTICAS EN TU VIDA Porque dos o cuatro de las ruedas se bloquean y se produce una transferencia del peso del coche sobre ellas. g = 9,8 m/s. El coeficiente de rozamiento es una constante adimensional que expresa la oposición al deslizamiento que ofrecen las superficies de dos cuerpos en contacto. Es una característica de cada par de materiales en contacto. Depende además de factores como la temperatura, la velocidad relativa entre las superficies, etc. µ representa el coeficiente de rozamiento. Es una magnitud sin unidades. g representa la aceleración de la gravedad. Es una constante fija, que vale 9,8 m/s. x representa la longitud de las marcas de frenado expresadas en metros. Sí, la igualdad es correcta, pues se ha aplicado una propiedad elemental de las raíces. 47

44 El índice de la expresión radical es (raíz cuadrad. Se toma μ = 0,7 por ser la carretera de asfalto. Entonces: v = 0,7 9,8 0 = 44 = m/s = 7,6 km/h Algunas campañas para evitar accidentes son: Campaña del uso del cinturón de seguridad y sistemas de retención infantil adecuados a la estatura y peso de los niños. Campaña contra las drogas y el alcoholismo. Campaña contra las distracciones al volante, como el uso del teléfono móvil. Campaña de control de motocicletas y ciclomotores. 48