contenidos Sin ángulos

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1 unidad Conjuntos contenidos. Números naturales. Números enteros. Números racionales. Números irracionales. Números reales 6. Potencias y raíces 7. Notación científica 8. Logaritmos numéricos Todos solemos llamar números naturales a los que usamos «de toda la vida», o mejor dicho, desde que aprendemos a contar, aunque en realidad éstos se denominan «números arábigos», llamados así para poder distinguirlos de los números romanos (I, II, III, IV, V, VI, etc ). Los árabes popularizaron estos números, pero su origen se remonta a los comerciantes fenicios que los usaban para contar y llevar la contabilidad comercial. Te has parado a pensar alguna vez, por qué el se llama «uno», el se llama «dos» y así sucesivamente? Pues la explicación no es tan sencilla: los números romanos son fáciles de entender pero y qué lógica hay tras este tipo de números? El truco está en los ángulos. Si lo pensamos detenidamente, llegaremos a la conclusión y por pura lógica, veremos que si escribimos el número en su forma primitiva, tenemos que: El número tiene un ángulo. El número tiene dos ángulos. El número tiene tres ángulos. Y el «0» no tiene ángulos. Puedes verlos todos en la imagen siguiente: Sin ángulos

2 Conjuntos numéricos 7. Números naturales Los números naturales los utilizamos para contar. El conjunto de los números naturales se designa con la letra y tiene infinitos elementos: (0,,,,,, 6, 7, 8, 9, 0...) Decimos que un número a es múltiplo de otro b si se cumple que a n b, donde n es otro número natural. Decimos que un número a es divisor de b si se cumple que b : a es división exacta. Múltiplos de :, 6, 8, 0... Múltiplos de : 0,, 0,... Divisores de :,,,, 6,. Divisores de 0:,,,, 0, 0... Criterios de divisibilidad Los criterios de divisibilidad son unas reglas que nos permiten saber si un número es: Divisible entre : si acaba en 0 o número par. Divisible entre : si la suma de sus cifras es múltiplo de. Divisible entre : si las dos últimas cifras son ceros o forman un múltiplo de. Divisible entre : si acaba en 0 o. Divisible entre 6: si lo es entre y entre. Divisible entre 8: si las tres últimas cifras son ceros o múltiplo de 8. Divisible entre 9: si la suma de sus cifras es múltiplo de 9. Divisible entre 0: si acaba en 0. Divisible entre : si la diferencia de la suma de las cifras que ocupan los lugares pares e impares es 0 o múltiplo de. Halla tres múltiplos de, 7 y., 6, 8. 7,, 8. 6, 9,. Halla los divisores de 7, 00 y. 7,,. 00,,,, 0.,,,, 6,. En el siglo IX, Al-Juarismi escribió varios libros importantes sobre números arábigos y sobre los métodos de resolución de ecuaciones. El cero El cero, tal y como lo conocemos fue descubierto en la India y llegó a Europa a través de los árabes. Grandes civilizaciones, como los romanos no conocieron su uso, con lo que los cálculos entrañaban gran dificultad. Otras teorías apuntan a Babilonia como cuna del número cero. El cero no se solía incluir en el conjunto de los números naturales por convenio. Y se representaba como * al conjunto de los números naturales cuando incluía al cero; por ello nos podemos encontrar con muchos libros donde los autores no consideran al cero como número natural. Sin embargo, las matemáticas actuales ya reconocen al cero como parte de los números naturales. El cero es el único número real por el cual no se puede dividir. Ejemplo: 8 : 0 error; (, ) : 0 error.

3 8 Unidad.. Factorización Decimos que un número es primo si solamente es divisible entre y entre sí mismo. Decimos que un número es compuesto si además del y de sí mismo tiene otros divisores. Números primos:,,, 7,,, 7, 9,, 9,, 7 Números compuestos:, 6, 8, 9, 0,,,, 6, 8, 0,, Factorizar un número es descomponerlo en factores primos, es decir, expresarlo como un producto de números primos. Si entre dos expresiones numéricas no hay ningún signo, se entiende que es una multiplicación Mínimo común múltiplo y máximo común divisor El mínimo común múltiplo de dos o más números es el menor de los múltiplos comunes. El máximo común divisor de dos o más números es el mayor de los divisores comunes.. Factoriza los siguientes números: a) 8 y 0 b) 0 y 0.. Calcula el mcm y el mcd: a) y 60 c) y 0 b) 70 y 90 d) y 8 Calcular el mínimo común múltiplo de y 8. Factorizamos los números: 8 Elegimos los factores comunes y no comunes elevados al máximo exponente: mcm 6 Calcular el máximo común divisor de y 6. Factorizamos los números 6 Elegimos los factores comunes elevados al menor exponente: mcd 6

4 Conjuntos numéricos 9. Números enteros Hay situaciones que no se pueden expresar con números naturales, como temperaturas bajo cero, saldos negativos, etc. Por este motivo surgen los números enteros, que están formados por los números naturales y sus opuestos, es decir, los números negativos. El conjunto de los números enteros se designa con la letra : (... 8, 7, 6,,,,,, 0,,,,,, 6, 7, 8 ) Los números enteros se representan en la recta real Regla del producto de los signos (+) (+) (+) (+) ( ) ( ) ( ) ( ) (+) ( ) (+) ( ) Un número será mayor cuanto más a la derecha se sitúe en la recta real. Llamamos valor absoluto de un número a, que se representa a, al valor del número natural sin tener en cuenta el signo. El valor absoluto siempre es, por tanto, positivo... Operaciones con números enteros Para sumar y restar números enteros del mismo signo, se quitan los paréntesis usando la regla de los signos, se suman sus valores absolutos y se pone el signo correspondiente. Para sumar y restar números enteros de distinto signo, se quitan los paréntesis usando la regla de los signos, se restan sus valores absolutos y se pone el signo del mayor. Para multiplicar o dividir números enteros, se multiplican o se dividen sus valores absolutos y se pone el signo que resulte de aplicar la regla del producto de los signos. (+) + (+) + (+) + + ( ) + ( ) + ( ) 0 ( ) (+6) + (+) (+) + ( ) + (+) ( 6) ( ) : ( ) +8 : 9 (+0) : ( ) ( 6) + 6 ( ) : (+) ( ) (+0) (+) : ( ) ( 7) Para expresar que un número pertenece a un conjunto numérico, se utiliza el símbolo. EJEMPLO. Efectúa las siguientes operaciones: a) (+) ( ) + (+7) (+) + ( ) + (+) b) ( 6) ( ) + ( ) (+) + (+8) + ( ) c) ( ) + ( ) ( ) + (+7) (+) + (+) d) (+) + ( ) ( 7) + (+0) (+7) + ( )

5 0 Unidad.. Jerarquía de las operaciones Si existen operaciones combinadas, hay que realizarlas siempre en el mismo orden.. Paréntesis.. Corchetes.. Potencias.. Multiplicaciones y divisiones.. Sumas y restas. ( + ) + [( 0 : ) ] ( + ) ( + ) ( + 7) [ ] + + ( + ) ( + ) ( + ) :( ) ( ) Sacar factor común Si varios sumandos tienen un factor común, podemos transformar la suma en producto extrayendo dicho factor. EJEMPLO + [6 + : (8 + 6)] + + [6 + : ()] + + [6 + ] (+) () + (+) ( ) (+) ( 8) (+) (+9) (+) [(+) + ( ) ( 8) (+9)] (+) ( + 8 9) 0 0 ( ) (+) + ( ) (+) + ( ) ( 9) ( ) [(+) + (+) + ( 9)] ( ) ( + 9) ( ) ( ) El factor común no tiene que ser siempre numérico, también puede ser literal. EJEMPLO x + x x + x 6 x ( + x + x ).. Realiza las siguientes operaciones: a) ( ) : 6 b) + ( ) ( ) ( + ) + [ ( )] [ ] c) + ( + ) + + ( ) d) [ 8 :( 6) ] + + ( ) + : e) ( ) + ( ) ( ) ( ) f) ( ) + +. Saca factor común a las siguientes operaciones: a) + 6 b) ( ) c) 6 [ + (9 )] + 7 d) 8a b + 6c + d e) 9x 6x + x 8x 7 f) x x + x

6 Conjuntos numéricos. Números racionales El conjunto de los números racionales se designa con la letra e incluye los números naturales, los enteros y los fraccionarios... Fracciones Una fracción es una expresión de la forma a donde a y b son números enteros y b 0. b Una fracción se puede interpretar como: a) Operación. EJEMPLO He gastado de los 60 litros de gasolina que caben en el depósito. 60 de 60 0 litros. b) Proporción. EJEMPLO En mi casa, de cada bombillas son de bajo consumo. de las bombillas son de bajo consumo. c) Porcentaje. EJEMPLO Rebajas del 0 %, es decir, de cada 00 nos rebajan Un número fraccionario también se puede expresar como decimal. a es el numerador y b es el denominador. El denominador indica el número de partes en que dividimos la unidad. El numerador indica el número de partes que elegimos. Fracción propia: El numerador es menor que el denominador. El cociente es menor que uno. Fracción impropia: El numerador es mayor que el denominador. El cociente es mayor que uno... Fracciones equivalentes Son fracciones equivalentes, aquellas que tienen el mismo valor ; ; ;. 6 9 En las fracciones equivalentes el producto de los extremos es igual al producto de los medios. a c a d c b; a y d son los extremos; b y c son los medios. b d 6. Calcula fracciones equivalentes a: 7 a) b) c) 7 Las fracciones equivalentes se obtienen multiplicando o dividiendo el numerador y el denominador por el mismo número

7 Unidad.. Fracción irreducible Debemos simplificar siempre que sea posible hasta llegar a la fracción irreducible. Simplifica por los tres métodos mcd 60 Se llama fracción irreducible a aquella cuyo numerador y denominador son números primos entre sí. Simplificar una fracción es hallar su fracción equivalente irreducible. Se puede obtener de tres formas: Dividiendo numerador y denominador entre el mismo número hasta que no haya más divisores comunes. Dividiendo numerador y denominador entre el mcd. Factorizando numerador y denominador y eliminando los factores comunes. 7. Simplifica por los tres métodos: 7 a) b) c) Reducción a común denominador Reducir a común denominador es poner dos o más fracciones con el mismo denominador. Para eso procedemos de la siguiente forma:. Hallamos el mcm de los denominadores. Este será el denominador común.. Dividimos el mcm entre el denominador de cada fracción y lo multiplicamos por el numerador. Este será el numerador en cada fracción. y : : y y 6 Al reducir a común denominador, obtenemos fracciones equivalentes a las fracciones dadas. Las siguientes fracciones son irreducibles: Como no es divisor de, la fracción es irreducible y 9 no son primos, pero sí son primos entre sí. 7 7 y son números primos y, por tanto, primos entre sí. 8. Reduce a común denominador. a) y 7 0 b), 9 y 6 c), y

8 Conjuntos numéricos.. Comparación de fracciones En fracciones con el mismo denominador, será mayor la de mayor numerador. En fracciones con el mismo numerador, será mayor la de menor denominador. En fracciones con diferente numerador y denominador, hay que buscar el común denominador y comparar los numeradores. 9. Ordena de menor a mayor. 8 0,,,, 9 7 y mayor y y 6 y 8 mayor mayor 6 0 y 0 8 Las fracciones hay que reducirlas siempre que sea posible..6. Representación sobre la recta real Para representar una fracción, dividimos la unidad en tantas partes como nos indique el denominador y elegimos tantas partes como nos indique el numerador. Si el numerador es mayor que el denominador, necesitaremos más de una unidad..7. Operaciones con fracciones Suma y resta de fracciones: Con el mismo denominador: el resultado es otra fracción cuyo numerador es la suma o resta de los numeradores y el denominador es el mismo. Con distinto denominador: se reduce a común denominador, se suman o restan los numeradores y el denominador es el común Multiplicación de fracciones Fracción y fracción: el resultado es otra fracción cuyo numerador es el producto de los numeradores y el denominador es el producto de los denominadores. Fracción y número entero: se multiplica el numerador por el número entero y se mantiene el denominador. 6 EJEMPLO Suma o resta de número entero y fracción: En general, si una fracción es positiva: Cuanto mayor es el numerador, mayor es la fracción. Cuanto mayor es el denominador, menor es la fracción. 0. Opera estas fracciones: 7 a) + 7 b) + 0

9 Unidad Realiza estas operaciones. a) : 6 : b) + 0. Calcula la fracción generatriz de cada uno de los siguientes números decimales, y redúcela si es posible: a) 0, b) 0,7 c),6 d),8 Regla del teléfono El cociente de dos fracciones puede expresarse como una fracción. a b c d a d b c División de fracciones Fracción y fracción: el resultado es otra fracción cuyo numerador es el producto del numerador de la primera por el denominador de la segunda y el denominador es el producto del denominador de la primera por el numerador de la segunda. Fracción y número entero: se procede como en el caso anterior: se convierte el número entero en fraccionario de denominador uno. : : Números decimales Toda fracción puede expresarse como un número decimal realizando el cociente del numerador entre el denominador. Pueden darse tres casos: Decimal exacto: número finito de cifras decimales. Decimal periódico puro: infinitas cifras decimales que se repiten periódicamente. Las cifras que se repiten forman el periodo. Decimal periódico mixto: infinitas cifras decimales, pero solo algunas se repiten de forma periódica. Estas forman el periodo y las que no se repiten, el anteperiodo. Todo número decimal puede expresarse como fracción, es la llamada fracción generatriz. Decimal exacto: la fracción generatriz, tiene como numerador, el número decimal sin la coma y como denominador, un seguido de tantos ceros como cifras decimales tenga el número. 7 7, 00 0, 0 000, , ,

10 Conjuntos numéricos Decimal periódico puro: la fracción generatriz tiene como numerador el número decimal sin coma menos la parte entera y como denominador tantos nueves como cifras tenga el periodo., 99, 99 0, Decimal periódico mixto: la fracción generatriz tiene, como numerador, el número decimal sin coma menos la parte entera seguida de la parte no periódica (anteperiodo) y, como denominador, tantos nueves como cifras tenga el periodo y tantos ceros como cifras tenga el anteperiodo., , , , Identifica qué tipo de decimales son los siguientes números: a),8 b),7777 c) 9, d) 7, e). Calcula la fracción generatriz de los siguientes números decimales: a) 6, b), c), d) 078, e) 07,. Números irracionales El conjunto de los números irracionales se designa con la letra I. Está formado por números decimales con infinitas cifras decimales no periódicas. Son números irracionales cualquier raíz no exacta, el número pi, el número e, el número áureo.... Números reales El conjunto de los números reales se designa con la letra e incluye todos los conjuntos numéricos que hemos visto hasta ahora, racionales e irracionales. Los números irracionales se pueden representar de forma aproximada o exacta. 0 + p En el cálculo de la fracción generatriz, hay que simplificar siempre que sea posible, ya que la fracción generatriz es irreducible.

11 6 Unidad.. Intervalos Por su originalidad y sus aportaciones, Diofanto fue llamado el padre de los algebristas modernos. Se llama intervalo al conjunto de números reales comprendidos entre otros dos dados: a y b, que se llaman extremos del intervalo. Los intervalos pueden ser: Abierto: (a, b) es el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores que b. (a, b) {x / a < x < b} (a, b) a b Cerrado: [a, b] es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores o iguales que b. [a, b] {x / a x b} [a, b] a b EJEMPLO Representa los siguientes intervalos: (, 7) 7 [, ) [, 0) 0 (, ] Semiabierto por la izquierda: (a, b] es el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores o iguales que b. (a, b] {x / a < x b} a (a, b] Semiabierto por la derecha: [a, b) es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores que b. [a, b) {x / a x < b} a [a, b) b b. Representa en la recta real los siguientes intervalos. Qué tipo de intervalos son? a) (, ) b) {x / x < } c) (, ] d) [0, ] e) {x / < x} f) [, ) g) [6, ) h) {x / 0 < x < 7}

12 Conjuntos numéricos 7.. Aproximaciones y errores A veces resulta incómodo trabajar con muchas cifras decimales. En estos casos lo que se hace es una aproximación. Esta puede ser por exceso, cuando el número es mayor, o por defecto, cuando el número es menor. Exceso Defecto,96,,,,, 0, 0, 0,0,7,7,70 La aproximación se puede hacer por: Truncamiento: se toma el número de cifras que queremos y el resto las eliminamos. Redondeo: se toma el número de cifras que queremos y modificamos la última si la siguiente es mayor o igual a. 6. Aproxima por exceso y por defecto a las centésimas: a) π,96 b) e,788 c), Aproxima por truncamiento a las milésimas: a) 8,976 b),679 c) 0, Aproxima por redondeo a las milésimas: a) 8,976 b),679 c) 0,778 Truncamiento a las milésimas,9, Redondeo a las milésimas,9, Redondeo a las centésimas,9, Truncamiento a las centésimas,9, Truncamiento y redondeo a las décimas,9, Siempre que aproximamos cometemos un error. Este puede ser de dos tipos: Error absoluto: es la diferencia, en valor absoluto, entre el valor exacto y el valor aproximado. Error relativo: es el cociente entre el error absoluto y el valor absoluto del valor exacto. Este error nos da idea de la precisión de la aproximación. Valor exacto Aproximación Error absoluto Error relativo,, 0,00 0,00 /, 0,000 0, %,, 0,00 0,00 /, 0,009 0,9 % 9. Calcula el error absoluto y el error relativo aproximando a las milésimas por redondeo: a) 78,076 b),696 c) 0,8097

13 8 Unidad 6. Potencias y radicales 0. Efectúa las siguientes operaciones: 0 a) 7 b) c) 6 d) : : e) ( ) : f) g) 0 : : h) ( ) ( ) :( ) 7 i) ( ) :( ) ( ) j) k) ( ) ( ) ( ) Potencias de exponente natural Una potencia es un producto de factores iguales, como, por ejemplo:. La base de la potencia es el número que multiplicamos por sí mismo. En este caso es el. El exponente de la potencia es el número de veces que lo multiplicamos. En este caso es el. 6.. Propiedades de las potencias de números naturales Un número elevado a 0 Un número elevado a Producto de potencias de la misma base Es igual a uno. 0 Es igual a sí mismo. Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes. División de potencias con la misma base Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la diferencia de los exponentes. : Potencia de una potencia Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es el producto de los exponentes. ( ) 6 Herón de Alejandría, matemático e ingeniero griego, desarrolló un procedimiento para el cálculo de las raíces cuadradas. Producto de potencias con el mismo exponente Cociente de potencias con el mismo exponente Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el producto de las bases. Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el cociente de las bases. 0 : Exponente par. Siempre son positivas. Potencia de números enteros Exponente impar. Exponente negativo. Tienen el mismo signo de la base. Es igual al inverso del número elevado a exponente positivo. ( ) : 6 : (6 + ) : 8 : (8 ) 6 : : + :

14 Conjuntos numéricos Radicales (raíces) La radicación es la operación inversa a la potenciación. Las raíces de índice par solo existen para los números positivos y tienen dos soluciones (una positiva y otra negativa). Las raíces de índice impar existen para todos los números y tienen una única solución que es siempre negativa. índice raíz Para hacer radicales con la calculadora, se utiliza la tecla x o x y. x,7 x y, símbolo de raíz radicando Se llama radicales equivalentes a los que tienen la misma raíz. Se obtienen multiplicando o dividiendo el índice y el exponente del radicando por el mismo número. EJEMPLO Raíces cuadradas y cúbicas Si el índice de la raíz es, no hace falta escribirlo. A estas raíces se les llama raíces cuadradas. A las raíces de índice se les llama raíces cúbicas. 6.. Forma exponencial de los radicales Todo radical se puede escribir como potencia de exponente fraccionario. La base es el radicando, el numerador del exponente es la potencia del radicando y el denominador del exponente es el índice de la raíz. Esto se hace para simplificar radicales o para operar con ellos. Expresa en forma de potencia:. Expresa en forma de potencia: a) b) c) ( ) Expresa en forma de raíz: Expresa en forma de raíz: a) b) ( ) c)

15 0 Unidad 6.. Propiedades de los radicales. Aplica las propiedades de los radicales: a) b) c) d) 8 6 ( ) n Raíces equivalentes m n q a a Raíz, operación inversa a la potencia n m q n n a a a n 6 9 ( ) ( ) n n n Raíz de un producto. a b a b Raíz de un cociente. n a b Potencia de una raíz. n n a a n n a b m ( ) m ( ) Raíz de una raíz. m n mn a 6 a 6.6. Operaciones con radicales Se dice que son radicales semejantes aquellos que tienen el mismo radical y el mismo radicando. La suma y resta de radicales solo puede realizarse si estos son semejantes. Se suman o restan los números que multiplican a los radicales y dejamos el radical semejante ( 7 + 6) + 7 ( + 7) 0 En el producto y en la división se pueden dar dos casos: a) Mismo índice: se mantiene el radical y se multiplican o dividen los radicandos. b) Diferente índice: se reduce a índice común. El índice común será el mcm de los índices. El radicando se calcula usando: n a m n q m q a. EJEMPLO Expresa en forma de potencia: 8 8. Resuelve: a) + b) : c)

16 Conjuntos numéricos 6.7. Extracción de factores de un radical Para extraer factores de debajo de un radical: Factorizamos el radicando. Si el exponente de un factor es igual al índice de la raíz, podemos sacar ese factor fuera de la raíz Extrae fuera del radical: a) b) c) d) Racionalización La racionalización consiste en hacer desaparecer los radicales del denominador de una fracción. Fracción con raíz cuadrada en el denominador: Multiplicamos numerador y denominador por la raíz cuadrada del denominador y operamos. Productos notables ( a + b) a + a b + b ( a b) a a b + b ( a + b) ( a b) a b EJEMPLO Fracción con raíz enésima en el denominador n a m : Multiplicamos numerador y denominador por n a n m y operamos. Expresiones conjugadas a + b Conjugado a b a b Conjugado a + b Fracción con un binomio en el denominador: Multiplicamos numerador y denominador por el conjugado y operamos. EJEMPLO + ( ) ( ( + ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) 6. Racionaliza las siguientes expresiones. a) c) b) d)

17 Unidad 7. Notación científica La notación científica se utiliza para expresar números muy grandes o muy pequeños. Para expresar un número en notación científica escribimos la coma detrás de la primera cifra diferente de cero y una potencia de diez cuyo exponente será igual al número de lugares que hemos movido la coma. Este exponente será: Positivo: si movemos la coma a la izquierda. Negativo: si movemos la coma a la derecha. Notación científica y calculadora Par operar en notación científica con la calculadora procedemos de la siguiente forma:. Escribimos el número.. Pulsamos la tecla EXP.. Escribimos el exponente. La distancia media de Saturno al Sol es de,8 millones de km, es decir,,8 0 m. El virus Varcinia tiene un diámetro de 0,67 micras, es decir,, m. Para designar órdenes de magnitud existen algunos prefijos: Giga: 0 9 Mega: 0 6 Kilo: 0 Hecto: 0 Deca: 0 Deci: 0 Centi: 0 Mili: 0 Micro: 0 6 Nano: , , , , 0 7, Operaciones en notación científica Suma y resta: Si tienen la misma potencia de diez, se suman o restan los números y se mantiene la potencia de diez. Si no tienen la misma potencia de diez, debemos expresar todos los números con la misma potencia de diez , 0 + 8, 0 7, , 0 6, Multiplicación y división: Se multiplican o dividen las bases y se suman o restan los exponentes., 0 0 0, 8 0, , 0 : 0, Efectúa las siguientes operaciones: a), 0 +, 0 b), 0, 0 c) 6, 0, 0 7 d), 0 : 0 e), , ,9 0 f), 0, 0 7 :,8 0

18 Conjuntos numéricos 8. Logaritmos El logaritmo en base a de un número x es el exponente al que hay que elevar la base para que resulte dicho número: Log a x b. El número x debe ser siempre positivo. b Log a x b a x Aunque la base puede ser cualquier número, en este curso solo vamos a estudiar logaritmos decimales, es decir, en base 0. log log log log 0,0 0 0,0 Ln: se lee logaritmo neperiano y su base es el número e. Log: se lee logaritmo decimal y su base es el número Propiedades de los logaritmos El logaritmo de es igual a 0 log 0 El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores. log ( ) log + log El logaritmo de un cociente es igual a la resta de los logaritmos del dividendo y del divisor. log log log 7 7 El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base. log x log x El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo del radicando dividido por el índice de la raíz. log log Expresa como un solo logaritmo: ( log x + log x log x) (log x + log x log x) x x log log x log x x log x log (x ) log x log (x) log + log x log (xy) log (x) log x log log (xy) log (x) + log x [log + log (xy)] log (x x ) log (xy) log x xy log x y Ln (a b) Ln (a b ) Ln (a b) Ln [(a + b) (a b)] ( a b) Ln ( a + b)( a b) Ln ( a b ) ( a + b) Para hacer un cambio de base y así expresar como único logaritmo a una serie de logaritmos de distinta base, usaremos la siguiente fórmula: logb x loga x log a b 8. Calcula los siguientes logaritmos: a) log 0 b) log 0 c) log0 d) log0 e) log 0 9. Aplica las propiedades de los logaritmos: a) log+ log 8 log b) log+ log + log log

19 Unidad RESUELTAS. Realiza esta operación: [ ( )] : 7 + ( ) Resolvemos primero los paréntesis 0 (+0 : ) 0 (+) Como tienen distinto signo, restamos, + y ponemos el signo del mayor.. Se quiere solar una habitación de 6 cm. de largo por cm. de ancho con baldosas cuadradas del mayor tamaño posible sin tener que cortar ninguna. Cuántas baldosas tenemos que comprar y qué tamaño tendrá cada una? Buscamos el mcd de las longitudes de la habitación mcd Ésta será la longitud del lado de las baldosas: cm. Dividimos las medidas de la habitación entre el tamaño de las baldosas y nos da el número de baldosas que necesitamos: 6 : baldosas de largo. : baldosas de ancho.. Resuelve la siguiente operación: Buscamos el mcm que en este caso será: 60 + Dividimos el mcm entre cada denominador: 60 : 60 : 0 60 : Este resultado, lo multiplicamos por el numerador correspondiente: Opera: Para multiplicar potencias de la misma base, sumamos los exponentes. Para dividir potencias de la misma base, restamos los exponentes.

20 Conjuntos numéricos. Realiza la siguiente operación: + + Hacemos el mcm para sumar y restar. Multiplicamos en paralelo. Dividimos aplicando la regla del teléfono. 6. Suma las siguientes raíces: Descomponemos los radicandos y extraemos los factores de la raíz: Racionaliza: Calcula el resultado: 8,6 0, 0 +,7 0 8,6 0 + (, +,7) 0 8,6 0 +, , 0 88, 0 8, Calcula el siguiente logaritmo: log 6 x log 6 6 ( x ) x x x x x

21 6 Unidad FINALES Números enteros. Factoriza los siguientes números: a) 0 b) 80 c) 6 d) 690. Efectúa las siguientes operaciones: [ ( )] [ ( )] a) ( ) :( ) b) ( ) + 8 : + : ( ) + Fracciones. Simplifica las siguientes fracciones: a) b) 80. Reduce a común denominador: c) 9 6 a),, b) 0,, c),, 6 8 d) Resuelve: a) 0 b) 0 : : c) + d) + : 6 e) : : + 6. De los 80 alumnos de un curso de acceso a grado superior, va por la rama de ciencias, por la rama de humanidades y el resto por la rama tecnológica. Cuántos alumnos van por cada rama? 7. Cuánto tiempo tardan grifos en llenar un depósito si el primero solo, tarda horas, el segundo tarda horas y el tercero tarda horas? 8. Calcula la fracción generatriz: a), b) 7, c) 06, d) 07, Números reales 9. Aproxima por truncamiento y redondeo, a tres cifras decimales. Halla el error absoluto y relativo de las aproximaciones a las centésimas de π y. a) π,9 b) e,788 c),6 d),6068 Potencias y raíces 0. Efectúa las siguientes operaciones: a) 7 b) c) d) 7 : e) +. Expresa en forma de potencia o raíz: a) b) c) 7 d) ( ) e) f) g). Expresa como una sola raíz: a) b) ( ) c) d) e) ( ) f). Efectúa las siguientes operaciones: a) + + b) x x + x x c) d)

22 Conjuntos numéricos 7. Calcula: a) b) 0 +. Realiza las siguientes igualdades notables: a) ( + ) b) ( ) c) ( + ) ( ) d) ( + ) ( ) 6. Racionaliza: a), b), c), d) +, e) Notación científica y logaritmos 7. Efectúa:, 0 a), 0 9 +,7 0 9 b) c) 0, 0 8 d) Calcula los siguientes logaritmos: a) log b) log c) log 00 d) log Calcula la base de los siguientes logaritmos: a) log a b) log a 6 c) log a d) log a 7 AUTOEVALUACIÓN. Cuál es el resultado de esta operación? 7 ( ) + ( + 7) a) b) c) d). Resuelve: +. a) b) c) Una familia tiene un presupuesto de 00 al mes. Gasta en vivienda, en alimentación y el resto en gastos 8 variados. Cuánto dinero destina a cada gasto? a) 00, 600 y 00 b) 00, 6, y 7, c) 60, 00 y 0. La fracción generatriz de 0, es: a) 990 b) 900 c) 990. La aproximación por redondeo a las centésimas de,78 es: a),7 b),8 c),7 6. El resultado de es: a) 6 b) c) 7. El resultado de 6 es: a) b) c) Cuál es el resultado de :? 6 a) b) 6 c) 9. Escribe en notación científica 0, a), 0 b), 0 0 c), 0 0. Calcula el valor de log : 0 a) b) c)

23 8 Unidad EN RESUMEN Conjuntos numéricos { : Reales : Racionales a b {{ : Enteros Decimales { { { } : Irracionales,, π, e,... : Naturales: {,,...} 0: Cero : Enteros negativos: {,,...} Exactos:, Periódicos: 0, , 6 Recta numérica 0 Potencias a n a a a... Se multiplica la base a tantas veces como el exponente n indica Raíces n m a a m n Igualdades notables Cuadrado de la suma (a + b) a + ab + b Cuadrado de la diferencia (a b) a ab + b Suma por diferencia (a + b) (a b) a b c Logaritmos log a b c a b

24 Conjuntos numéricos 9 DE PRUEBAS DE ACCESO PRUEBA. Simplifique al máximo la siguiente expresión, de manera que no tenga exponentes negativos ni paréntesis. ( ab )( 9ab) ( ab). Indica si las afirmaciones siguientes son ciertas o falsas. Explica el porqué. a) 0 + es un número irracional. b), es un número racional. c) + a a d) 7 7. Di si son ciertas o falsas las siguientes afirmaciones. a) 8 (números racionales) b),... (números racionales) c) + d). Desde la antigüedad aparece con frecuencia el número de oro, Φ, en proporciones de la naturaleza y en obras de arte: Φ +, 680 Escribe la aproximación por redondeo hasta las centésimas del número de oro y halla el error absoluto y relativo de esta aproximación.. Pon bajo un mismo radical la siguiente expresión: 6. Un ser humano tiene, aproximadamente, glóbulos rojos. a) Expresa esa cantidad en notación científica. b) Halla el número (expresado en notación científica) aproximado de glóbulos rojos que tendrán 0 millones de personas. 7. Aproxima el número, a las centésimas por redondeo y por truncamiento. Justifica tu respuesta. 8. La masa de un electrón es de 9, 0 8 g y la masa de la tierra es de, g. a) Si toda la materia estuviera hecha de electrones, cuántos necesitaríamos para obtener 000 t de materia? ( t 0 6 g). b) Si la Tierra estuviera hecha de electrones, cuántos habría? Extracto de Pruebas de Acceso a Ciclos Formativos de Grado Superior: Navarra 0 (), Cataluña 0 (), Cataluña 009 (), Islas Baleares 009 (), Canarias 00 ( y 6), Islas Baleares 00 (7), Castilla-La Mancha 008 (8).