TEMA 1: NÚMEROS REALES

Transcripción

1 . Numeros racionales Ejemplo: TEMA : NÚMEROS REALES Entonces puedo expresar el "" de infinitas formas, siendo su fracción generatriz la que es irreducible. En nuestro caso. Además, esto nos dice que cualquier número entero se puede expresar en forma de fracción. Otro ejemplo de número racional es Siendo en este caso la fracción generatriz. Este es un caso de número racional no entero. 8 Volvemos al Es un número decimal exacto pues la división es exacta, es decir el resto es cero. Volvemos al Es un número decimal exacto pues la división es exacta, es decir, el resto es cero. Tomemos Es un número decimal periodico puro pues después de la coma tiene un bloque de cifras que se repite indefinidamente a continuacion de si mismo. Tomemos Es un número decimal periodico mixto pues hay cifras entre la coma y el bloque de cifras que se repite indefinidamente a continuacion de si mismo. De igual forma hemos de ser capaces de transformar un número decimal en una fracción. Vamos a hacerlo para un número decimal exacto: es la fracción generatriz Vamos a hacerlo para un número decimal periódico puro Llamamos N Como tenemos dos cifras de periodo, multiplico la expresión anterior por 00: 00N Tenemos ahora mismo dos números con el mismo periodo. Por lo tanto, si los restamos el periodo desaparecerá: 00N N N Restando en columna. Despejando N nos queda: N es la fracción generatriz de Vamos a hacerlo para un número decimal periódico mixto Llamamos N Queremos transformarlo en un número decimal periódico puro. Como tenemos dos cifras de anteperiodo multiplicamos por cien para obtener un número decimal periódico puro. 00N Ahora multiplicando por cien (tenemos dos cifras de periodo), obtendremos otro número decimal períodico puro con el mismo periodo. 0000N Los restamos en columna:

2 0000N N N 4 Despejando N nos queda: N 4 es la fracción generatriz Tareas : ejercicios,, de la página 0.. Números irracionales. Números reales. Ejemplos de números irracionales es un número irracional es un número irracional Toda raíz no exacta es un número irracional El número de áureo Ejemplo de valores absolutos Calcula el valor absoluto de los siguientes números reales: Veamos que es cierto: para ello operamos por separado en la izquierda y la derecha de la igualdad Como los dos son iguales, la igualdad es cierta. Veamos que es cierto; para ello operamos por separado en la izquierda y la derecha de la desigualdad Se cumple la igualdad. Veamos que es cierto; para ello operamos por separado en la izquierda y la derecha de la desigualdad Se cumple la desigualda estricta. Tareas : página ejercicios 4 y 5. Página Ejercicio Calcula los valores de x que cumplen la siguiente condición: x 4 x 5 El mundo sería maravilloso si no estuviese el valor absoluto: tendría una ecuación de primer grado con incógnita x. x x if x 0 x if x 0 Aplicamos esta definición a nuestro caso: x x if x 0 x if x 0 x if x x if x Ahora hemos de distinguir dos casos: Si x tenemos

3 x 4x 5 x 4x 5 x 5 x 4 Si x tenemos x 4x 5 x 4x 5 x 5 4 x Representación de números reales Leer..4 Aproximaciones de un número real. Errores Ejemplo de aproximaciones y redondeos. Dado el número irracional Se pide: Una aproximación por defecto.. Se trata de un número decimal que está bastante cerca de y es más pequeño que el. También me valdría.. Lo mismo que. Una aproximación por exceso a las milésimas. También me valdría. Lo mismo. 9 Un redondeo a las milésimas. Un redondeo a las diezmilésimas. Un redondeo a las cienmilésimas. 05 Ejemplos de error absoluto y error relativo Dado el número fraccionario Se pide: Calcula un redondeo a las centésimas y luego halla los errores absoluto y relativo. El redondeo a las centésimas 0. 9 El error absoluto sería El error relativo asociado a este redondeo sería % 00 Tareas -09-0: todos los ejercicios de la página.. Potencias de números reales Acitividades de la página 5 Realiza las siguientes operaciones: a) Simplifica el valor de la siguiente expresión

4 Tareas -09-0: todos los ejercicios que faltan de la página 5.. Radicales Página Ejercicios propuestos 9 Efectúa las siguientes operaciones: a) 8 8 Otra forma de hacerlo 8 d) Opera y simplifica f) Extrae de la raíz todos los factores que sea posible. d) Introduce los factores dentro de la raíz y simplifica. d) ab a a b a a 5 b a 5 b a 5 b c c b c c 4 b c c b c Tareas : todos los ejercicios que faltan del 9,0,,. Realiza las siguientes sumas y diferencias de radicales: c) 5a 80a 0a Vamos a operar primero sobre cada uno de los elementos: 5a 5 a a 5 80a 5 a 4 5 a 4a 5 0a 4 5 a 5 a a 5 a 5 4a 5 a 5 a 5 Tareas : todos los ejercicios que faltan del Tareas : 4.8 Intervalos y entornos Ejemplos de intervalos Determina los números que están en estos intervalos y haz su representación gráfica sobre la recta real: 4, No se un intervalo ya que el extremo inferior no es menor que el extremo superior., son todos los números de la recta real que son mayores o iguales que y menores que x R/ x Se trata de un intervalo cerrado por la izquierda y abierto por la derecha. Su representación gráfica es:, se trata de todos los números reales que son mayores que x R/ x Se trata de una semi-recta que empieza en (sin incluir) y se pierde por la derecha. Su representación gráfica es: 4

5 Ejemplos de entornos Determina los números que están en estos entornos y haz su representación gráfica sobre la recta real: E5, no se trata de un entorno pues el radio no puede ser negativo. E4, no se trata de un entorno pues el radio no puede ser infinito. E, entorno cerrado de centro y radio,, 5 Su representación gráfica es: Tareas : todos los ejercicios de la página 8.9 Aplicaciones de los números reales Ejemplo de notación científica. Determina si las siguientes expresiones están en notación científica, y caso de ser así, determina su orden de magnitud si, con orden de magnitud si, con orden de magnitud no está en notación científica, dado que no hay un cifra entera no nula delante de la coma. Será si, con orden de magnitud - Realiza la siguiente operación: Ejemplo de cifras significativas Dados los siguientes números decimales, determina cuántas cifras significativas tiene cada uno tiene cuatro cifras significativas tiene tres cifras significativas tiene seis cifras significativas Tareas -09-0: todos los ejercicios de la página 9 EJERCICIOS FINALES DEL TEMA Di si los siguientes números son naturales, enteros, racionales o reales: a) es un número natural, por lo tanto es entero, es racional y por último es real. b) es un número entero, es racional y por último es real. c) es un número decimal exacto por lo tanto es una fracción, es decir, es un número racional y por último es real. d) es un número decimal exacto por lo tanto es una fracción, es 5 decir, es un número racional y por último es real. e) 9 es un número natural, por lo tanto es entero, es racional y por último es real. f) es un número irracional pues la no es una raiz exacta. Por lo tanto sólo es real Tareas -09-0:, 5

6 4 Halla un número fraccionario comprendido entre y º forma Calculamos la expresión decimal de cada uno de ellos: Una posible solución es º forma Por ejemplo, podemos calcular el número que está en el medio de los dos dados Tareas -09-0: 5,, 8 Calcula de forma exacta el resultado de: Para ello hay que convertir todos los números decimales en fracciones: Otra forma de hacerlo sería: Llamamos N 0. Como tenemos dos cifras de período, multiplicamos por N. Restamos las dos expresiones con N: 00N. N 0. 99N Otra forma de hacerlos sería: Despejando N N 99 Llamamos N Como tenemos un cifra de anteperíodo, se multiplica por 0. 0N 0. 0 Como tenemos dos cifras de período, multiplicamos por 00 la expresión anterior. 000N 0. 0 Restamos las dos expresiones con N: 000N N 0. 0 Despejando N N N Calcula el valor absoluto de las siguientes expresiones en los puntos que se indican.

7 c) x x x x x 4 Sustituyendo nos queda: en x Tareas : todos los ejercicios que faltan del 9 40 Desarrolla el valor de las siguientes expresiones omitiendo los valores absolutos a) x 4 x Recordamos la definición de valor absoluto: x Aplicamos esto a nuestro valor absoluto: x 4 x if x 0 x if x 0 x 4 if x 4 0 x 4 if x 4 0 x 4 if x 4 x 4 if x 4 x 4 if x 4 x 4 if x 4 x 4 x x 4 x if x x 4 x if x x 4 if x x 4 if x Tareas : todos los ejercicios que faltan del 40 Tareas : Escribe aproximaciones por exceso y por defecto con tres cifras decimales de los siguientes números. b) Calculamos: 4 aproximación por exceso. 8 aproximación por defecto. 80 Tareas 0-0-0: todos los ejercicios que faltan del Indica el números de cifras significativas en cada caso: c). 00 cuatro cifras significativas Tareas 0-0-0: todos los ejercicios que faltan del 4. 4 Redondea con las cifras significativas que se indican. d) con tres cifras significativas Tareas 0-0-0: todos los ejercicios que faltan del 4, Calcula y da el resultado de acuerdo con las cifras significativas de las cantidades que intervienen. d) Vamos a ir operando por separado: a b c Tareas 0-0-0: todos los ejercicios que faltan del Calcula los errores absoluto y relativo que se cometen al tomar. 9 como valor de

8 El error absoluto viene dado por El error relativo viene dado por Tareas 0-0-0: 5,5,5 54 Calcula el valor de las siguientes expresiones. d) 8 f) Tareas 0-0-0: todos los ejercicios que faltan del Calcula con tres cifras decimales mediante aproximaciones sucesivas aproximaciones de aproximaciones de Mirando la última fila, vemos que la aproximación tiene que ser. ; pues entre. 9 y. sólo tenemos el. 0 trabajando sólo con cuatro cifras decimales. 5 Halla las siguientes multiplicaciones y divisiones con radicales. d x x x x x x x x 4 x 9 4 x 5 x 5 Tareas 0-0-0: todos los ejercicios que faltan del 5 5 Halla las siguientes sumar y restas de radicales. d x x x x x x 4 x Tareas 0-0-0: todos los ejercicios que faltan del 5 58 Simplifica el valor de las siguientes expresiones. d Hemos de racionalizar en los dos sumandos para que desaparezcan las raíces del denominador. h 5 8

9 Tareas 0-0-0: todos los ejercicios que faltan del Simplifica las siguientes expresiones. b Tareas 0-0-0: todos los ejercicios que faltan del 59 0 Racionaliza los denominadores de las siguientes expresiones. c f Tareas 0-0-0: todos los ejercicios que faltan del 0 Dados los intervalos A, 4 y B,, calcula: a. A B, b. A B, 4 Tareas 0-0-0: 4 Expresa en forma de intervalo y de entorno los siguientes conjuntos de números reales. d x x Se trata del entorno abierto de centro - y radio E,,, Tareas 0-0-0: todos los ejercicios que faltan del 4 5 Escribe en notación científica los siguientes números: e f Tareas 0-0-0: todos los ejercicios que faltan del 5 8, 4 9