1.1. Los conjuntos numéricos

Transcripción

1 Capítulo NÚMEROS.. Los conjuntos numéricos Usted conoce los números desde su más tierna infancia cuando aprendió a contar. Recuerde que los campos numéricos son los siguientes: Los números naturales N = {0,, 2, 3,... }. Los números enteros Z. Se trata de todos los naturales añadiendo sus opuestos, es decir, Observe que N Z (N está incluido en Z). Z = {..., 3, 2,, 0,, 2, 3,... } Los números racionales Q. Son todos los números que que se pueden expresar en forma de fracción con numerador y denominador enteros: p con p, q Z ( significa pertenecen ), es decir: q Q = {..., } 2, 3 4,... Observe que cualquier entero es racional, por ejemplo 7 = 28, por tanto N Z Q 4 Recuerde: (a) Los números racionales no se expresan de forma única, por ejemplo, 2 es el mismo número que 3, a la primera fracción se le llama irreducible. 6 (b) Los números racionales se pueden expresar en forma decimal, así 2 = 0 5. Recordará que las fracciones sólo son o bien decimales exactos, o bien periódicos puros, o bien periódicos mixtos y que a cada fracción le corresponde un único decimal de este tipo y recíprocamente. Además de estos números hay otros que llamamos irracionales (digamos que son los números decimales que faltaban, los que tienen infinitas cifras decimales no periódicas. Entre otros el famoso número pi π = que aparece, por ejemplo, cuando a usted se le ocurre calcular la longitud de una circunferencia a partir de su radio; o 2 = 4... (por cierto, los griegos clásicos,

2 2 CAPÍTULO. NÚMEROS con anterioridad al año 300 antes de Cristo, ya sabían demostrar que 2 no se podía poner en forma de fracción; no le pica la curiosidad? Le sugiero que abandone el whatsapp un instante y busque en la red alguna demostración e intente comprenderla, los griegos de hace 2300 años no pueden ser más que usted! o sí?). Hay otro número destacado que aparece con frecuencia, el número e = 2, Es un número curioso e importante, que aparece en la naturaleza, por ejemplo al estudiar las tasas de crecimiento de poblaciones de bacterias o de animales. Volveremos con él más adelante. Por último tenemos el conjunto de los números reales R, formado por la unión de los racionales Q y los irracionales.en definitiva: { Racionales Q Enteros Z Naturales N R Números reales Irracionales.2. La recta real El conjunto de los números reales R lo representamos mediante una recta. Elegimos un punto de dicha recta que sea el cero y a cada número le corresponde un único punto de la recta..2.. Los números reales se pueden ordenar Si tenemos dos números, todos sabemos distinguir cuál es mayor. No obstante, conviene establecer un recurso matemático que permita trabajar con ese orden; ese recurso consiste en las desigualdades : Si a, b son dos números reales diremos que a es menor que b, a < b, si b a es un número positivo. Ejemplo.- 3 < 2 porque 2 ( 3) = 5 que es positivo. Observe que esta relación tiene las siguientes propiedades: Si a < b y b < c entonces a < c. Ejemplo.- Si 2 < 3 y 3 < 5, entonces 2 < 5 Si a < b entonces a + c < b + c. Ejemplo.- Si 2 < 3 y sumamos -7 a los dos números, queda 9 < 4. Si a < b y c > 0 entonces ac < bc. Ejemplo.- Si 2 < 3 y multiplicamos los dos números por 3, queda 6 < 9.

3 .2. LA RECTA REAL 3 Si a < b y c < 0 entonces ac > bc. Ejemplo.- Si 2 < 3 y multiplicamos los dos números por -3, queda 6 > 9. Debe prestar especial atención a esta propiedad. Cuando usted resuelve una inecuación (volveremos con ellas más adelante), y llega a una situación como esta 3x < 5, para obtener los valores de x tiene que pasar dividiendo 3 a la derecha y entonces le queda x > 5/ 3 porque ha multiplicado ambos miembros por / 3. En definitiva, esta propiedad significa que si cambia de signo los dos miembros de una desigualdad, ésta cambia de sentido, es decir si es menor pasa a ser mayor y viceversa Valor absoluto. Todos saben calcular el valor absoluto de un número real, así 7 = 7 = 7. pero debemos conocer una definición que nos permitirá trabajar mejor: { a si a 0 a = a si a < 0 Ejemplo.- Compruebe que la definición funciona con el ejemplo del 7 y el 7 anterior. Hay algunas propiedades del valor absoluto que debe conocer: x 0. x r si, y sólo si r x r (idem si en lugar de es <). Ejemplo.- Observe que la expresión x < 2 representa el conjunto de los números cuyo valor absoluto es menor que 2; que son muchos: 2,, 5, 0, etc. Es decir, como afirma la propiedad todos los números comprendidos entre 2 y 2: 2 < x < 2. x r si, y sólo si r x o x r (idem si en lugar de es <). Ejemplo.- Intente, como ejercicio, buscar los números tales que x 2. El valor absoluto nos permite calcular la distancia que hay entre dos números reales, observe que la distancia entre 2 y 3 es 5, precisamente 3 ( 2) = 5: La distancia entre dos números a y b es b a Intervalos Entre la infinidad de conjuntos de números reales que se pueden elegir, hay unos destacados que llamamos intervalos y que no son otra cosa que trocitos continuos de la recta real: Si a y b son dos números reales:

4 4 CAPÍTULO. NÚMEROS Un intervalo abierto es el conjunto (a, b) = {x : a < x < b}; formado por todos los números reales comprendidos entre a y b sin incluir los extremos a y b. Ejemplo.- ( 2, 3) = {x : 2 < x < 3} está formado por todos los números mayores estrictamente que -2 y, a la vez, menores estrictamente que 3 y se representa en la recta como De la misma forma tenemos: Intervalo cerrado [a, b] = {x : a x b}; donde el corchete indica que el extremo está incluido semiabierto o semicerrado [a, b) = {x : a x < b}, (a, b] = {x : a < x b}. También hay intervalos no acotados que llamamos semirrectas) (, b) = {x : x < b} (, b] = {x : x b} (a, + ) = {x : x > a} [a, + ) = {x : x a} Tenga en cuenta que es sólo un símbolo que indica que están todos los números Aproximación y errores Aproximación Observe que, aunque un número irracional como 2 no se puede escribir de forma exacta como un número decimal ya que posee infinitas cifras decimales no periódicas, la forma 2 es, matemáticamente, la manera de escribirlo de forma exacta. No obstante, en ciertos casos, sobre todo en casos prácticos, es necesario dar una aproximación para poder hacer cálculos. En este caso daremos una aproximación mediante un número decimal con una cantidad de cifras significativas (es decir, la cantidad de cifras decimales que necesitamos) de acuerdo con el contexto del problema. Recuerde que lo que hacemos habitualmente es redondear, de manera que si la primera cifra que queremos eliminar el igual o inferior a 4 la última cifra significativa permanece igual, pero si la primera cifra que queremos eliminar es igual o superior a 5, a la última cifra significativa le sumamos. Ejemplo.- Si queremos expresar /3 con tres cifras significativas, como /3 = pondremos y si es 2/3 el número que queremos expresar, ahora con cuatro cifras significativas, 2/3 = , pondremos Ejemplo.- En el caso de un problema, imagine que un carpintero necesita çhapar el canto de una mesa en forma de triángulo rectángulo en la que los dos catetos miden un metro. Necesita conocer la medida de la diagonal para cortar la chapa necesaria.

5 .2. LA RECTA REAL 5 Utilizando el teorema de Pitágoras podemos calcular la longitud de la diagonal de forma exacta y es d = 2m; pero el metro del carpintero no tiene una marca donde ponga 2 de manera que deberá aproximar con qué precisión? El contexto del problema (el lado mide metro) nos puede inducir a pensar que con miĺımetros será suficiente de modo que como 2 = , tomaremos 44m. Errores Es evidente que cuando hacemos una aproximación cometemos un error. A veces es necesario çontrolar. es e error. El error absoluto cometido es el valor absoluto de la diferencia entre el valor real y el aproximado. Ejemplo.- Si el número lo hemos aproximado con tres cifras significativa a 2 436, el error absoluto es = = que está en el orden de las diez milésimas. En el caso del carpintero, como 2 no tiene una cantidad exacta de cifras decimales, no podemos conocer con exactitud el error absoluto cometido, pero si el orden en el que está tomado una aproximación. así el error del carpintero es = = por tanto es ligeramente superior a 2 diezmilésimas. Esto se llama cota del error El error relativo es el cociente entre el error absoluto y el valor exacto. Intente calcularlos para los dos ejemplos anteriores.. De las siguientes ecuaciones señale las que tienen soluciones en Z y las que tienen soluciones en Q. (a) 2x + = 0; (b) 3x 5 =, (c) x 3 3 = Indique si los números siguientes pertenecen o no al intervalo (2, 5]: 2, 2 5, , 5/2. 3. Ordene de menor a mayor los siguientes números indicando razonadamente qué tipo de números (naturales, enteros, racionales, irracionales o reales) son. π; 2 2; 2 3 ; ; 3 5; 0 ˆ6; Escriba en forma de intervalo, mediante desigualdades y represente gráficamente: a) Los números reales comprendidos entre - y 4, excluido el 4.

6 6 CAPÍTULO. NÚMEROS b) Los números reales mayores o iguales que cero. c) Los números reales comunes a los dos intervalos. 5. Escriba en forma de desigualdad y represente gráficamente e indique de qué tipo son los intervalos siguientes: (a) [2, 5); (b) ( 2, ), (c) ( 3, + ), (d) (, 3]. Calcule la longitud de los intervalos (distancia entre sus extremos) en los casos en que sea posible. 6. El simbolo significa ünión, es decir A B es el conjunto reunión de los elementos de A y los de B; el símbolo significa ïntersección, es decir A B es el conjunto de los elementos que están en A y B a la vez. Encuentre y represente los siguientes conjuntos: (a) (, 6] [2, 5) (b) [, 3) (0, 3] (c) (, 6] [2, 7) (d) [, 3) (0, 4) (e) [ 3, 2] [0, 5] (f)[2, + ) (0, 0) 7. Razone si estas frases son verdaderas o falsas: a) Todo número entero es racional. b) Hay números irracionales que son enteros. c) Todo número irracional es real. d) Todos los números decimales son racionales. e) Entre dos números racionales hay infinitos números irracionales. f ) Los números racionales llenan la recta 8. Redondee con dos cifras significativas los siguientes números , π, e, 3, 3. Calcule los 5 errores que comete y cotas de tales errores. 9. El diámetro del circulo de la figura mide 3 m. y el lado mayor del rectángulo es el doble del lado menor.calcule el perímetro del rectángulo y el área de la parte del círculo no ocupada por el rectángulo. Dé los resultados exactos. Si tiene que rellenar el rectángulo con cuadrados de dm de lado, estime la aproximación que debe tomar en las medidas y cuántos cuadrados deberá utilizar. 0. Calcule el área de la corona circular comprendida entre las circunferencias inscrita y circunscrita a un cuadrado de área 6m 2 como muestra el dibujo. Expréselo en función de radicales o π si fuera necesario, no utilice expresiones con decimales.

7 .2. LA RECTA REAL Recuerde la potencias Conviene que dedique unos minutos a recordar las propiedades de las potencias. Si a y b son números reales y m y n son números naturales, usted ya conoce desde hace tiempo que: a 0 = a m b m = (a b) m a m ( a b m = b a m a n = a m+n a m a n = am n a n = a n (a m ) n = a m n ) m Sería interesante que practicara un poco. Seguramente le vendrá bien recordar:. Calcule, para a, b números reales: (a + b) 2 ; (a b) 2 y (a + b)(a b). 2. Simplifique las expresiones: a) (Sol: 5 7 ). ( ) 2 ( ) 3 ( ) b) (Sol: ) c) (ab)2 (a 3 b 3 ) 3 (ab 2 c 3 ) 3 (sol: b2 c 5 a 2 ) También conviene que recuerde algunas cosillas sobre radicales. Usted conoce desde hace tiempo que n a = x si x n = a y además que: n a = a n Y por tanto n a m = a m n n ab = n a n b. Observe cómo se puede llegar de una a la otra n ab = (ab) n = a n b n = n a n b Esta forma de trabajar con las raíces le puede ser muy útil. Hágalo así para la siguiente propiedad.

8 8 CAPÍTULO. NÚMEROS n a n b = n a b De nuevo sería interesante que practicara un poco. 3. Demuestre que (a)( n a) p = n a p ; (b) p n a = np a 4. Opere y simplifique: (a) 28x 5 y 8 z 3 (b) 3 375x 9 y 7 z 6 (c) x 3 x 2 : (d) (e) xy 3 48 (e) x 3 6 x 5.3. Logaritmos Uno de los problemas que tenían los matemáticos, los físicos y los ingenieros del s. XVI era muy simple hacer cuentas complicadas. Con mucha frecuencia tenían que hace cálculos muy engorrosos y difíciles. A principios del s. XVII, John Napier (que era un matemático inglés), tuvo la ocurrencia de inventar los logaritmos que se convirtieron en una herramienta muy útil para esos cálculos, entre otras cosas cambiaban productos por sumas o potencias por productos. Ahora no tenemos problemas de cálculo de esa índole gracias a calculadoras y ordenadores, pero con el paso del tiempo se les descubrieron a los logaritmos muchas, grandes y trascendentes utilidades. Ahora sólo vamos a conocer algunas propiedades y a manejarlos un poco. Si b es un número real positivo distinto de, diremos que el número x es el logaritmo en base b del número a y se escribe x = log b a, si b x = a. Ejemplo.- Observe: el logaritmo en base 2 de 8 es 3, es decir log 2 8 = 3 pues 2 3 = 8. También se cumple log b b = ya que b = b log b = 0 pues b 0 = Los logaritmos más usuales son los logaritmos decimales, es decir los que tienen base 0, que escribiremos simplemente con log, sin expresar la base. También son muy importantes los logaritmos en base el número e que, pese a que puedan parecer artificiales, se llaman naturales o neperianos (en honor a Napier) y escribiremos ln. Quizás le conviene practicar un poco para entender bien la definición antes de seguir. 5. Calcule (a) log 2 (b) log 3 (c) log (d) log 0 (e)log 00 (f) log 0000 (g) log 0 (h) log 0 00 (i) log (j) ln e (k) ln e 4 (l) ln 00 e 7

9 .3. LOGARITMOS 9 6. Utilice la definición de logaritmo para encontrar el valor de la incógnita en los siguientes casos: log 2 a = 7, log 3 x = 243, log x e =, log x 2 = 2, log x 49 = 2 Es muy importante que conozca y maneje las propiedades siguientes:. log b (ac) = log b a + log b c ( a ) 2. log b = log c b a log b c 3. log b (a c ) = c log b a Ejemplo.- Observe cómo se pueden aplicar las propiedades para calcular el logaritmo decimal de 25, sabiendo que log 2 = log 25 = log 5 3 aplicando la propiedad (3) log 25 = log 5 3 = 3 log 5 como 5 = 0 2 tenemos log 25 = log 53 = 3 log 5 = 3 log 0 5 aplicando la propiedad (2) log 25 = log 5 3 = 3 log 5 = 3 log 0 5 = 3(log 0 log 2) = 3( ) = Practique. 7. Sabiendo que log 2 = Calcule (a) log 8 ; (b) log 4; (c) log 5 (d) log Calcule los logaritmos decimales de X, Y Z sabiendo que log a = 0 23, log b = 2 2 y log c = : X = ab2 c 3, Y = a3 b ab c, Z = 3 5 c 4 9. Halle el valor de la incógnita en cada caso: (a) log b 2 + log b 3 = 2; (b) log a = + log Escriba las siguientes expresiones en función de un sólo logaritmo: (a) 3 2 ( log 5) + 2 log 2; (b) 3 ln 2 + ln 5 3 log 64 2