Introducción a los Sistemas Digitales. Conceptos básicos de matemática aplicada a los sistemas digitales

Transcripción

1 Curso-0 1 Introducción a los Sistemas Digitales Conceptos básicos de matemática aplicada a los sistemas digitales

2 2 Contenidos Conjuntos numéricos Notación científica Redondeo Logaritmos Resumen

3 3 Conjuntos numéricos Números Naturales: la necesidad de contar desembocó directamente en la creación y el uso de los números naturales. Son los números más simples de los que hacemos uso, se denotan por N y están formados por los números 1,2,3,4,5... Se denominan también números enteros positivos.

4 4 Conjuntos numéricos Números Enteros: la insuficiencia de los números naturales para contar deudas o temperaturas por debajo de cero lleva directamente a los números enteros. Se denotan por Z y están formados por los números naturales, sus inversos aditivos y el cero. El conjunto de los números enteros incluye a los naturales, N Z.

5 5 Conjuntos numéricos Números Racionales: la insuficiencia de los números enteros para denominar partes de unidad lleva directamente a los números racionales. Se denotan por Q y son todos aquellos que se pueden expresar de la forma p/q donde p y q son enteros y q 0. Estos pueden ser enteros de la forma n/1 donde n es un entero, decimales finitos o decimales infinitos periódicos. El conjunto de los números racionales incluye a los enteros, N Z Q.

6 6 Conjuntos numéricos La insuficiencia de los racionales (Q) al intentar encontrar la medida exacta de la diagonal de un triángulo rectángulo con catetos de longitud 1 lleva a los números irracionales. Que son el conjunto de los números decimales infinitos no periódicos, es decir todos aquellos que no pueden expresarse de la forma p/q. Números Reales: son la unión entre el conjunto de los números racionales y los irracionales y se denotan por R. N Z Q R

7 7 Conjuntos numéricos Números Complejos: la insuficiencia de los números reales para denotar raíces de polinomios como x 2 +1 lleva a la concepción de los números complejos. Se denotan por C. Las raíces del polinomio anterior son (-1) y - (-1), de manera que definimos el número j (unidad imaginaria) para solucionar este problema, de manera que: j= (-1). Todos los números complejos tienen la forma: z=a+jb, donde a y b son números reales. Denominamos a a parte real del complejo y a b parte imaginaria. Cuando b=0, z es un número real, y cuando a=0, z es un número imaginario puro. N Z Q R C

8 8 Conjuntos numéricos Diagrama resumen:

9 9 Contenidos Conjuntos numéricos Notación científica Redondeo Logaritmos Resumen

10 10 Notación científica Representación de magnitudes mediante dígitos: B = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} 3 manzanas? manzanas

11 11 Notación científica Representación posicional de magnitudes: la posición del dígito afecta a la magnitud que representa. Ejemplos: 13 manzanas = = ,14 =

12 12 Notación científica La notación científica es un modo conciso de representar un número utilizando potencias de base diez. Los números se escriben como un producto: Mantisa M 10 E Exponente Base (Siendo 1 M < 10 y E Z.)

13 13 Notación científica Ejemplos y formas de escritura: c = = 3e = 1, = 1,6777e7 1/ = 2, = 2,1431e-8 Factores básicos del SIU: 1 M 1 K 1 m 1 µ e6 1e3 1e-3 1e-6

14 14 Notación científica Esta notación se utiliza para poder expresar fácilmente números muy grandes o muy pequeños. Utiliza un sistema llamado coma flotante (en contraposición al sistema de coma fija): Número Coma fija Coma flotante , ,4210e , ,3283e ,2950e ,8447e19

15 15 Contenidos Conjuntos numéricos Notación científica Redondeo Logaritmos Resumen

16 16 Redondeo En los sistemas digitales, el redondeo es muy importante ya que siempre disponemos de un espacio limitado para almacenar los números. El redondeo de un número consiste en eliminar parte de sus decimales con objeto de dejar una cantidad concreta de cifras. Ejemplo (redondeo a 2 cifras decimales): h = 1,7534 m h = 1,75 m

17 17 Redondeo Criterios de redondeo: Redondeo hacia arriba: h = 1,7534 m h = 1,76 m Redondeo hacia abajo (o truncamiento): h = 1,7534 m h = 1,75 m Redondeo al valor más próximo: h = 1,7534 m h = 1,75 m h = 1,7557 m h = 1,76 m

18 18 Contenidos Conjuntos numéricos Notación científica Redondeo Logaritmos Resumen

19 19 Logaritmos En matemática, el logaritmo es el exponente al que un número fijo, llamado base, se ha de elevar para obtener un número dado. Es la función inversa de la exponencial x = b n, que permite obtener n y se escribe como: n = log b x. Ejemplos: log = 2 log 3 81 = 4

20 20 Logaritmos Logaritmo binario: es un logaritmo en el que la base es 2: log 2 x log 2 x Se utiliza con frecuencia en los sistemas digitales ya que trabajan con números binarios.

21 21 Logaritmos Ejemplos de logaritmos binarios: Caso 1: log = 8 = 1 B Caso 2: log 2 1 K = log = 10 Caso 3: log 2 64 K = log = 16 Caso 4: log 2 1 M = log = 20 Caso 5: log 2 16 M = log = 24

22 22 Contenidos Conjuntos numéricos Notación científica Redondeo Logaritmos Resumen

23 Resumen de ideas 23 fundamentales El conjunto C cubre las necesidades de cálculo actuales y supone la existencia de la unidad imaginaria j como solución a (-1). La notación científica permite representar números muy grandes y muy pequeños utilizando una cantidad de cifras limitada. El redondeo establece los mecanismos adecuados para almacenar números mediante una cantidad menor de cifras significativas. El logaritmo permite calcular el exponente adecuado para una determinada función de exponenciación.