El concepto de número

Transcripción

1 Los Números Reales

2 El concepto de número El concepto de número es una de las más importantes abstracciones de la mente humana. Los números han surgido a lo largo de la historia como herramienta para resolver problemas de conteo, medición, ordenación, etc. El conocimiento de sus diferentes representaciones y clasificaciones es el cimiento del estudio de las matemáticas. 2

3 Los números naturales El conjunto de los números naturales es uno de los primeros que necesitó el hombre para sobrevivir. Este conjunto contiene a los números de contar. No se incluye al cero entre los naturales. El cero fue producto de una evolución muy posterior. 3

4 Definición de números naturales El conjunto de números naturales es: N { 1, 2, 3, K } Los puntos suspensivos indican que se trata de un conjunto infinito y ordenado. 4

5 Ejemplos de números naturales 1 vaca 3 osos 4 coches 2 zapatos 5

6 Números enteros Los números enteros abarcan a los números naturales (los que se utilizan para contar), a los números negativos (que son el resultado de restar a un número natural otro mayor), e incluyen al cero. Los números enteros son aquellos que no tienen parte decimal. Definición de números enteros: Z { K, 3, 2, 1, 0,1, 2, 3, K } 6

7 Números enteros Nota: la letra Z que se utiliza para designar a este conjunto proviene de la palabra Zahl, que significa número en alemán. Durante los siglos XVIII y XIX los alemanes influyeron notablemente en el desarrollo de la teoría de los números, por esta razón se conserva a esta notación. 7

8 Números racionales Los números racionales son aquellos que epresan el cociente entre dos números enteros. La noción de racional proviene de ración (parte de un todo). 8

9 Números racionales Los números racionales están formados por: Los números enteros (que pueden epresarse como cociente, por ejemplo: , 38, Los números fraccionarios (los números racionales no enteros, por ejemplo: 2 5, 7 12,

10 Números racionales Es importante tener en cuenta que, mientras que en los números enteros cada número tiene un siguiente (-1, 0, 1, 2, 3, 4 ), eisten número infinitos entre cada número racional.... 5,..., 5 1 4,..., ,

11 Definición de números racionales Definición de números racionales: Donde: Q p ; p, q Z, q 0 q p q numerador denominador La notación Q nos llega del inglés quotient (cociente). 11

12 Cualidades de los números racionales La definición formal de este conjunto nos indica dos importantes cualidades: Los números racionales son números que tienen la forma de quebrado, fracción o razón, es decir, son números obtenidos mediante la división de dos números enteros. La división entre cero no es una operación permitida. Sin embargo, la división de cero entre cualquier número diferente de cero si es posible y el resultado invariablemente es cero. 12

13 Más cualidades de los números racionales Los números racionales permiten epresar medidas. Cuando se compara una cantidad con su unidad, se obtiene, por lo general, un resultado fraccionario. Por ejemplo: Si divido una pizza en dos partes, tengo dos mitades. 1 Cada porción será 2 de la pizza (una parte de dos). En caso de tomar ambas porciones, volveré a tener la pizza entera:

14 Números racionales: fracciones propias e impropias Los números racionales pueden formar fracciones propias o fracciones impropias. Fracciones Propias: el numerador es menor que el denominador. Ejemplos: Fracciones Impropias: el numerador es mayor que el denominador y pueden representarse con enteros. Ejemplos:

15 Números racionales: forma decimal Los números racionales siempre se pueden epresar en forma decimal: En su forma decimal, si se obtiene una cola decimal que es infinita, pero periódica, se denomina conmensurable: decimal repetitivo esta cadena se repite 15

16 Como convertir un número decimal a fracción Ejemplo 1 : Paso 1 : Se multiplica Paso 2 : Se resta la por 10 original Esto resulta en :

17 : : : 2 original la resta Se Paso repiten se que numeros dos tienen se porque por multiplica Se Paso Ejemplo : : 2 en resulta Esto original la resta Se Paso

18 Definición de números irracionales Definición de números irracionales: Q ' p ; p, q Z, q 0 q p q numerador denominador 18

19 Números irracionales Un número irracional se identifica porque en su forma decimal tiene una cola decimal infinita no periódica, por lo que se denominan inconmensurables. No pueden ser representados como una fracción p de enteros. q 19

20 Números irracionales Varios números son irracionales. Ejemplos: π K K K e K De hecho, si la raíz cuadrada de un número natural no es eacta entonces tenemos un número irracional. 20

21 Números reales Son representados con la letra R y es la unión de los números racionales (que incluyen a los enteros y, por tanto, a los naturales) y de los números irracionales: R Q U I Los racionales siempre tienen forma fraccionaria y los irracionales nunca. El poderoso conjunto de los números reales tiene las más amplias aplicaciones. 21

22 Mapa de los números reales Números reales (R) Números naturales (N) Números enteros (Z) Números Racionales (R) Números Irracionales (I) 22

23 La recta real Una manera muy útil e interesante de representar gráficamente a los números reales es mediante su localización en la recta real (R). Se acostumbra colocar una punta de flecha en el etremo derecho de esta recta, como indicación de que si un primer número está a la derecha de un segundo número, entonces el primero es mayor que el segundo: 3 π K π R 23

24 Densidad de la recta real En general, todos los números reales, racionales o irracionales, tienen un lugar y solamente uno en la recta real. Así, la recta real es completamente densa, es decir, todo punto de ella corresponde a un número real, y recíprocamente, todo número real tiene un punto que le corresponde en la recta real. Propiedad Arquimediana de R: entre dos números reales cualesquiera, siempre es posible encontrar a un racional y a un irracional. 24