CENTRO DE BACHILLERATO TECNOLOGICO INDUTRIAL Y DE SERVICIOS NO. 21. Profesor Enrique López Vásquez Algebra

Transcripción

1 CENTRO DE BACHILLERATO TECNOLOGICO INDUTRIAL Y DE SERVICIOS NO. 21 Profesor Enrique López Vásquez Algebra Mexicali B.C. FEBRERO NOV 2018

2 Concepto de algebra Álgebra es el nombre que identifica a una rama de la Matemática que emplea números, letras y signos para poder hacer referencia a múltiples operaciones aritméticas. El término tiene su origen en el latín algebra, el cual, a su vez, proviene de un vocablo árabe que se traduce al español como reducción o cotejo. Hoy entendemos como álgebra al área matemática que se centra en las relaciones, estructuras y cantidades. La disciplina que se conoce como álgebra elemental, en este marco, sirve para llevar a cabo operaciones aritméticas (suma, resta, multiplicación, división) pero que, a diferencia de la aritmética, se vale de símbolos (a, x, y) en lugar de utilizar números. Esto permite formular leyes generales y hacer referencia a números desconocidos (incógnitas), lo que posibilita el desarrollo de ecuaciones y el análisis correspondiente a su resolución. Números enteros concepto: Los números son signos o conjuntos de signos que permiten expresar una cantidad con relación a su unidad. El concepto proviene del latín numĕrus y posibilita diversas clasificaciones que dan a lugar a conjuntos como los números naturales (1, 2, 3, 4 ), los números racionales y otros. Los números enteros abarcan a los números naturales (los que se utilizan para contar los elementos de un conjunto), incluyendo al cero y a los números negativos (que son el resultado de restar a un número natural otro mayor). Por lo tanto, los números enteros son aquellos que no tienen parte decimal (es decir que 3,28, por ejemplo, no es un número entero). Ejemplos números enteros del mismo signo (+5) + (+4) = +9 es lo mismo que: = 9 (- 5) + (- 4) = - 9 es lo mismo que: = - 9 Ejemplos números enteros de distinto signo (+20) + (-10) = = =10, el más grande es +20, se pone +10 (- 8) + (+3) = = - 5

3 8-3 = 5, el más grande es el - 8, se pone -5 (+11) + (- 2) = 11-2 = = 9, el más grande es el 11, se pone +9 Números racionales Concepto: Número racional es todo número que puede representarse como el cociente de dos números enteros o, más precisamente, un entero y un natural positivo; es decir, una fracción común a/b con numerador a y denominador b distinto de cero. El término «racional» alude a una fracción o parte de un todo. El conjunto de los números racionales se denota por Q que deriva de «cociente» (Quotient en varios idiomas europeos). Este conjunto de números incluye a los números entero y es un subconjunto de los números reales. Jerarquización de operaciones Concepto: Jerarquización de operaciones es un método para resolver operaciones con múltiples operadores dentro de una estructura con prioridades de acuerdo al operador utilizado. Se basa en 4 pasos para su elaboración y son los siguientes 1. Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves 2. Calcular las potencias y raíces 3. Efectuar los productos y cocientes 4. Realizar las sumas y restas

4 = = = = 15 10: : 4 = = = : 5 5 x 2 = = = x 5 = = 23 Propiedades asociativas Concepto: La propiedad asociativa aparece en el contexto del álgebra y se aplica a dos tipos de operaciones: la suma y la multiplicación. Esta propiedad indica que, cuando existen tres o más cifras en estas operaciones, el resultado no depende de la manera en la que se agrupan los términos. (8 + 5) + 4 = 8 + (5 + 4) 3 + (2 + 4) = (3 + 2) = = = 17 9 = 9 (A x B) x C = A x (B x C) 3 x (2 + 5) = (3 x 2) x (3 x 5) (8 x 5) x 4 = 8 x (5 x 4) 3 x 7 = 6 x x 4 = 8 x = = 160 (2 x 3) x 5 = 2 x (3 x 5) 6 x 5 = 2 x = 30

5 Propiedades distributivas Concepto: El concepto de propiedad distributiva se emplea en el campo del álgebra. Se trata de una de las propiedades de la multiplicación que se aplica respecto a una suma o a una resta. Dicha propiedad indica que dos o más términos presentes en una suma o en un resta multiplicada por otra cantidad, resulta igual a la suma o la resta de la multiplicación de cada uno de los términos de la suma o la resta por el número. 4 x (2 + 8) = 4 x x 8 4 x (2 8) = 4 x 2 4 x 8 4 x 10 = x 6 = = = x (5 + 4) = 3 x x 4 5 x (7 x 2) = (5 x 7) + (5 x 2) 3 x 9 = x 9 = = = 45 4 x (6 + 8) = 4 x x 3 4 x 9 = = 36 Valor absoluto Concepto: En matemática, el valor absoluto o módulo1 de un número real es su valor numérico sin tener en cuenta su signo, sea este positivo (+) o negativo (-). Así, por ejemplo, 3 es el valor absoluto de +3 y de -3. El valor absoluto está relacionado con las nociones de magnitud, distancia y norma en diferentes contextos matemáticos y físicos. El concepto de valor absoluto de un número real puede generalizarse a muchos otros objetos matemáticos, como son los cuaterniones, anillos ordenados, cuerpos o espacios vectoriales. a) (3) = 3, porque 3 > O

6 b) (-3 )= - (-3) = 3, porque -3 < O tomamos su inverso c) Si ( x ) = 3 entonces x = 3 óx= -3 e) (x-1)=5 por lo tanto x-1=5 ó x-1= -5 x-1 =5 por lo tanto x=6 x-1=-5 por lo tanto x=-4 Reducción de problemas con paréntesis 2 {[3+2 (4-3)-2 (6-8)-5]} = 2 {[ (-2)-5]} = 2 {[ ]} = 2 {4} = 8 3{4(2-7)-11-2[3(-5-1)]} = 3{4 (-5)-11-2[3 (-6)]}= 3{ [-18]} =3{-31+36} = 3{5} = 15 5[(-3x2):(-3)+1]=5[(-6):(-3)+1]=-5[2+1]=-5[3]=-15 -[4-(-16)]=-[4+16]=-[20]=-20 5+(-12)-[-3-12]=5-12-[-15]= =+8 Problemas con potenciación = : 5 3 = 5 4 (5 2 3) 4 = (3 4 ) 4 = : 2 6 = = 2 10 (2 2 ) 4 = 2 8 (25)4 = 220

7 Problemas con radicación Notación algebraica Concepto: Los símbolos que se emplean en álgebra para representar cantidades pueden se de dos tipos: números y letras. Donde, los números se emplean para representar cantidades conocidas y perfectamente determinadas. Qué es una variable? En matemáticas y en lógica, una variable es un símbolo constituyente de un predicado, fórmula, algoritmo o de una proposición. El término «variable» se utiliza aun fuera del ámbito matemático para designar una cantidad susceptible de tomar distintos valores numéricos dentro de un conjunto de números especificados. Qué es coeficiente? En matemáticas, un coeficiente es un factor multiplicativo vinculado a un monomio. Dado un divisor del monomio, el coeficiente es el cociente del monomio por el divisor. Así el monomio es el producto del coeficiente y el divisor. Los diferentes coeficientes dependerán de la factorización del monomio. Qué es un término algebraico?

8 Se llama término a toda expresión algebraica cuyas partes no están separadas por los signos + o -. Así, por ejemplo xy2 es un término algebraico. Qué es una expresión algebraica? Recibe el nombre de expresión algebraica, a aquella enunciación, expuesta en lenguaje matemático, formada por números y por símbolos representados por letras (indicadores de incógnitas, pues indican cantidades que se deben averiguar) que se encuentran vinculados entre sí por medio de signos, que señalan las operaciones que se necesitan efectuar, ya sean sumas, restas, multiplicaciones, divisiones o potenciaciones. Binomios (a + b) 2 =a 2 +2ab+b 2 Polinomio Grado absoluto Qué es el grado de un término?

9 El grado de un término es la suma de todos los exponentes de todos los factores literales. Para mencionar el grado que pertenece una expresión algebraica se sumaran los exponentes de cada uno de los términos y el mayor será el grado al que pertenezca la expresión algebraica. Calculo del valor numérico de una expresión algebraica Se trata de una simple sustitución de números por letras para después hacer los cálculos indicados por la expresión y obtener así un resultado. Términos semejantes 2x - 5x + 9x= 6x 2x + 7x + x 8x= 2x 5xy 3x + 4xy= 9xy - 3x 6x 8y 4y= 6x 12y 3y + 5y 7y + x= y + x 8z + 3xy 12z= -4z + 3xy 5m 9n + 2n= 5m 7n 10x + 4y y= 10x + 3y Reducción de términos con signo diferente 3a + 5a= 8a 4b 2b= 2b a + 2a + 5a= 8a -4n +5n= n -8a + 3a= 5a 6b 2b= 4b

10 Multiplicación algebraica Multiplicación de un polinomio por un monomio Se coloca el polinomio como multiplicando y el monomio como multiplicador y seguidamente multiplicamos el monomio por cada término del polinomio. Debes tener en cuenta:

11 Multiplicación de un binomio por un polinomio Usando las propiedades o propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la adición, se obtiene una adicción de multiplicaciones de monomios. Por ultimo se reducen los términos semejantes. (x) (2x+3x-x3)= 2x3+3x2-x4= 5x4-x4 Multiplicación de polinomios

12 Usando la propiedad distributiva de la multiplicación, con respecto a la adición, de manera reiterada, se obtiene una adición de multiplicación de monomios por polinomios por ultimo se reducen los términos semejantes. Ejemplo: (X+2) (X+5)= X2+5x+2x+10= X2+7x+10 División algebraica

13 X 9( X 3 ) ( X 3 ) X + 3 = ( X + 3 ) = X 3 ( X + 1 ) 3 = X 2 + 3X 2 + 3X + 1 ( X + 1 ) 2 = X 2 + 2X + 1 ( X + 2) 3 = X (12X + 8) ( X + 5) ½ + ( X + 5) 1/2 = 2 X + 5 X 3 + 3x 2 + 1= ( x + 1) 3 X 2 + 2x + 1= ( x + 1) 2 x x + 1 = 2 x + 5 ( a + b) 3 = a 3 + 3a 3 b + 3ab 2 + b 2 ( a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 ( ) = (4 + 1)(4 + 1)

14 x3 + x 2 + 2x + 1a = (x 1a3 ) 3 +(x 10x) 2 +2 (x+10x)+y x 3 +x 3 +2x1 = 3x 2 +2x+2 2 x 3 +x 2 +2x x 3 + 3DX + XDX 2 + 3DX 3 + X 2 + 2X 2 + DX 2 + 2X + 2X + DX 2 + 2XDX + 1 AB + AB X 2 X 2 X DX(A + B) AX(3X 2 + 3X)X + DX 2 + 2X + 2 AX(A + B) ax Mn + m + n + 1= (m + 1) (n + 1) Mv + 5v + 2m + 10= (m + 5) (v + 2) Ab + 3a + b + 3= (a + 1) (b + 3) X 2 + x xy y= (x y) (x + 1) Rs + 6s r 6= (r + 6) (s 1) 2x 2 + 6xy 5x 15y= (2x y) ( x + 3) Mc + cn + dm dn= (m + n) (c d) Ab + 3a + b 3= (a + 1) (b + 3) X 2 + x xy y= (x y) (x + 1) C 2 + 3cd + c 3d= ( c + 1) ( c + 3d) 2h 2 + 6h 5hk-15k= (2h 5k) (h + 3) Ab b 2 +ac cb= ( b + c) (a b) 6xy 15y 2 + 2xz 5yz= (3y +z) (2x -5y) 6a 2 3ab 36ac + 18cb= (3ª + 18c) (2a b) 4m 2-5mn +8mp -10np= (m -2p) (4m 5n) 21r 2 9rs +35rs -15rs= (3r +5z)(7r -3s) 6x x 7=(2x 7)(3x + 1) 6x 2-11x + 5= (6x + 5)(x 1)

15 9m 2 +10m +1= (9m -1)(m + 1) 5x 2 28x + 15= (5x+ 3) (x 5) 3y 2 + y 2= (3y + 2)(y 1) 5p 2 + 2p -3= (5p 3)(p + 1) 9a 2-12a 5= (3a 5)(3a + 1) 5b 2 +7b +2= (5b + 2) (b + 1) Fracciones con prueba 2a 1 + 8a 2a -1 2a a 1 7b 2 +4h 3= (7h 3) (h + 1) 6y 2 + 3y -3= (3x 1)(2y + 3) 5x xy +15y 2 = (5x 2 + 5) (x + 15) (x + 2) (x + 3)= x 2 + 3x +2x +6= x 2 + 5x +6 (3y + 1) (y + 2)= 3y 2 + 6y + y +2= 3y 2 + 7y + 2 (3x 1) (x + 2)= 3x 2 + 6x -x -2= 3x 2 + 5x -2 (4b + 1) (b +2)= 4b 2 + 8b + b + 2= 4b 2 + 9b + 2 (8m 5)(2m + 4)= 16m m -10m 20= 16m 2 +22m -20 (6c 3d) (2c 7d)= 12c 2 +42cd -6cd +21d 2 = 12c 2 +36cd +21d 2 (a + b)(a b)= a 2 + b 2

16 12v 2 16uv + 5v 2 = (-6u + 5v) (-2u + 1v) 6h + 29hk 5k 2 = (6h k)(h + 5k) 5a ab -5b 2 = (5ª 2b)(a + 3b) 8p 2 20pq + 8q 2 = (4p + 2a) (2p + 4a) 18a ab + 12b 2 = (9a 4b) (2a 3b) 12a 2 13a a 2 = (3a 2 + 7a) (4a 2 5a)