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Natividad Castillo San Martín
hace 7 años
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1 TEMA 5. ÁLGEBRA El lenguaje algebraico es un lenguaje matemático que combina números y letras unidos mediante operaciones aritméticas (+, -,, :) para expresar la realidad de forma concisa, inequívoca y universal. La expresión algebraica más sencilla es el monomio. DEFINICIÓN: un monomio es un producto de un número, llamado coeficiente, por una o varias letras, llamadas incógnitas. parte literal. Por tanto, un monomio consta de dos partes: una parte numérica y una Ejercicio: Traduce estos enunciados al lenguaje algebraico e indica cuál es la parte numérica y la parte literal. Enunciado Monomio Parte numérica Parte literal Grado El doble de un número 2 x = 2x 2 x 1 El doble del cuadrado de un número El producto de dos números 2 x² = 2x² 2 x² 2 x y = xy 1 xy 2 El triple del producto de dos números 3 a b = 3ab 3 ab 2 Las dos terceras partes de un número x 1 La mitad de un número x 1 de otro La mitad del producto de un número por el cuadrado xy² 3 Título: mar 6-1:39 PM (Página 1 de 20)

2 DEFINICIÓN: Se dice que dos monomios son cuando tienen exactamente la misma parte literal. semejantes Ejemplo: 3x²y, -5xy, x²y, 159xy, 3x²y², 3x²yz, -2xyz Semejantes: 3x²y, x²y -5xy, 159xy DEFINICIÓN: Se llama grado de un monomio al número de incógnitas que tiene la parte literal. Ejemplo: 3x²y, -5xy, 4a²b², n²mp, 2a, 7 2. OPERACIONES CON MONOMIOS 2.1. SUMA Y RESTA DE MONOMIOS Para sumar o restar monomios, es obligatorio que sean semejantes. Si no lo son, la operación no se puede realizar y se dejará indicada. Si son semejantes, solo hay que sumar o restar los coeficientes y dejar la misma parte literal. Ejemplo: 3x + 4x - 2x = 5x 3a² + 5a² - a² = 7a² 2x³ + 3x - 4x³ - 2x² = -2x³ + 3x - 2x² Título: mar 6-2:07 PM (Página 2 de 20)

3 2.2. PRODUCTO DE MONOMIOS SIEMPRE se pueden multiplicar los monomios. La operación se realiza multiplicando, por un lado, los coeficientes y, por otro, las incógnitas (recordando las operaciones con potencias). Ejemplo: 3x² 4x³ = 12 x⁵ -2abc 9ab³ = -18 a²b⁴c 2.3. COCIENTE DE MONOMIOS SIEMPRE se pueden dividir los monomios. La operación se realiza dividiendo, por un lado, los coeficientes y, por otro, las incógnitas (recordando las operaciones con potencias). Ejemplo: 30x⁵ : 2x³ = 15x² 2a⁶b²c 9a³b = Título: mar 7-9:13 AM (Página 3 de 20)

4 Monomio Coeficiente Parte literal Grado x² 1 x² 2 x³y² 1 x³y² 5-0,01mn² -0,01 mn² 3 2 p³q² p³q² 5 f) 8. Calcula mentalmente las siguientes sumas y restas de monomios: a) 2x + 3x = 5x b) 3x² + 6x² = 9x² c) 5y³ - 4y³ = 1y³ = y³ d) 4m⁴ - 8m⁴ = -4m⁴ e) p + 3p - 2p = 2p Título: mar 7-9:17 AM (Página 4 de 20)

5 3x² 3x³ y z³ 3xy⁵z⁴ 2xy²z⁰ = 2xy² 1 = 2xy² 2.4. POTENCIA DE MONOMIOS Para elevar un monomio a una potencia se eleva, por un lado, el coeficiente y por otro, cada una de las incógnitas. Ejemplo: (3ab³)² = 3²a²(b³)² = 9a²b⁶ (-2x⁴)² = (-2)² (x⁴)² = 4 x⁸ (x²yz⁵)³ = (x²)³ y³ (z⁵)³ = x⁶ y³ z¹⁵ (3ab)³ = 3³ a³ b³ = 27 a³b³ Título: mar 7-9:21 AM (Página 5 de 20)

6 términos semejantes: 6. Simplifica mentalmente las siguientes expresiones operando con sus a) 4a + 3b - 2a + 5b = 2a + 8b b) 5 + 3x x = 3 + 5x c) 2a + 3b a + 5b - 3 = 7a + 8b - 5 d) 5x² - 3x + 3x² + 6x - 7 = 8x² + 3x Realiza estas sumas y restas de monomios: a) 7m³ - 2m³ + 6m³ = 11m³ b) 0,1mn² + 0,9mn² = 1 mn² = mn² c) x⁵ + 7x⁵ - 4x⁵ - 5x⁵ = -1x⁵ = -x⁵ d) 9y² - (4y² - 2y²) = 9y² - 2y² = 7y² 11. Calcula los siguientes productos y potencias de monomios: a) 2x³ 3x² = 6x⁵ b) y² 0,1y = 0,1y³ c) p² p p⁴ = p⁷ d) 5xy² 2xy² = 10x²y⁴ e) (2x³)⁵ = 2⁵ (x³)⁵ = 32x¹⁵ f) 2³ (y²)³ = 8 y⁶ Título: mar 10-8:50 AM (Página 6 de 20)

7 Título: mar 10-8:43 AM (Página 7 de 20)

8 3. POLINOMIOS Un polinomio es la suma o resta de varios monomios. Cada uno de los monomios que lo componen se llama término. DEFINICIÓN: Se llama grado de un polinomio al mayor de los grados de los monomios que lo componen. Para indicar el grado de un polinomio, éste ha de estar reducido, es decir, que ya se hayan sumado todos los términos semejantes. Ejemplo: x⁴ - 3x + 2x² + 5 grado 4 ab² + 3ab⁴ - 5a³ + 7b - 3ab⁴ = ab² - 5a³ + 7b y⁵ - 4y³ + 3y⁵ - 2y + 3y - y³ = 4y⁵ - 5y³ + y Título: mar 10-9:22 AM (Página 8 de 20)

9 4. OPERACIONES CON POLINOMIOS 4.1. SUMA DE POLINOMIOS Para sumar dos polinomios, hay que sumar los términos que sean semejantes entre sí. Para ello, colocaremos los polinomios uno encima del otro con los términos colocados por columnas según su grado y realizaremos la operación. Ejemplo: realizar P+Q Sean los polinomios P = x⁴ - 2x² + 3x - 4 y Q = 3x³ + 2x² - 5, calcula P+Q Sean P = 3a⁴ + 2a³ - 7a + 4 y Q = -4a³ + 5a² - 2a - 9, Título: mar 12-9:20 AM (Página 9 de 20)

10 Ejemplo: realizar P+Q Sean los polinomios P = x⁴ - 2x² + 3x - 4 y Q = 3x³ + 2x² - 5,... Grado 4 Grado 3 Grado 2 Grado 1 Grado 0 x⁴ -2x² +3x -4 3x³ +2x² -5 x⁴ +3x³ 0x² +3x -9 P + Q = x⁴ + 3x³ + 3x - 9 Título: mar 13-10:57 AM (Página 10 de 20)

11 calcula M + N Dados los polinomios M = 7x³ - 6x² + 2 y N = 5x² - 3x - 5,... Grado 4 Grado 3 Grado 2 Grado 1 Grado 0 7x³ -6x² +2 5x² -3x -5 7x³ -x² -3x -3 Título: mar 13-11:05 AM (Página 11 de 20)

12 12. a) (x⁵ + 4x³ - 5x²) + (4x² + 3x - 5) x⁵ +4x³ -5x² +4x² + 3x - 5 x⁵ +4x³- x² +3x a) P= 4x² - 3x + 1, Q= 3x - 2, R= 2x² + x a) P= 4x³ + 2x - 2, Q = 3x + 5, R = 5x⁴ - 3x³ + 2x² - 9 Título: mar 13-1:47 PM (Página 12 de 20)

13 4.2. RESTA DE POLINOMIOS Para restar dos polinomios, hay que restar los términos que sean semejantes entre sí. Para ello, colocaremos los polinomios uno encima del otro con los términos colocados por columnas según su grado. ANTES de realizar la operación es MUY IMPORTANTE cambiar TODOS los signos del sustraendo (el de abajo). Y por último, se SUMAN los términos semejantes. Ejemplo: realizar P-Q Sean los polinomios P = x⁴ - 2x² + 3x - 4 y Q = 3x³ + 2x² - 5, x⁴ - 2x² + 3x - 4 3x³ + 2x² - 5 Título: mar 13-11:10 AM (Página 13 de 20)

14 b) Q + P Sean los polinomios P = 4x³ + 2x - 2 y Q = 3x + 5, calcula: 3x + 5 4x³ +2x - 2 4x³ + 5x + 3 c) P - Q 4x³ +2x - 2 3x + 5 d) Q - P 3x + 5 4x³ +2x - 2 Título: mar 13-2:04 PM (Página 14 de 20)

15 4.3. PRODUCTO DE POLINOMIOS La operación es similar al producto de números enteros. Se coloca un polinomio encima del otro y se realizan las multiplicaciones individuales de cada término del polinomio inferior por TODOS los términos del superior. Hay que recordar que después de realizar todos los productos habrá que sumar, por lo tanto, deberemos colocar cada término en la columna correspondiente a su grado. calcula A B. Ej.: sean los polinomios A = 5x³ + 3x² - x - 2 y B = 2x - 7, 5x³ + 3x² - x - 2 2x x³ - 21x² +7x x⁴ + 6x³ - 2x² - 4x 10x⁴ -29x³- 23x² +3x + 14 Título: mar 13-1:47 PM (Página 15 de 20)

16 2x a) 3 (2x + 5) 3 x² - x b) 5 (x² - x) 5 c) 7 (x³ - 1) d) (-2) (5x - 3) e) x (x + 1) f) 2x (3x - 5) = 6x² - 10x g) x² (5x - 2) = 5x - 2 x² 5x³-2x² h) 3x² (x + 2) = 3x³ + 6x² i) 3x (x² - 2) = 3x³ - 6x j) 5x (x² + x + 1) x² + x + 1 5x 5x³ +5x² +5x Título: mar 14-9:09 AM (Página 16 de 20)

17 (x - 3)² = (x - 3) (x - 3) x⁷ = x x x x x x x (3a)²⁰ = 3a 3a 3a 3a 3a 3a 3a 3a 3a 3a 3a 3a 3a 3a 3a 3a 3a 3a 3a x - 3 x - 3 Título: mar 19-9:11 AM (Página 17 de 20)

18 5. PRODUCTOS NOTABLES Hay productos de polinomios que aparecen muy amenudo en el álgebra. Por ello, en lugar de realizar cada vez la operación, aplicaremos las siguientes fórmulas: El cuadrado de una suma: es igual al cuadrado del primero MÁS el cuadrado del segundo MÁS el doble del primero por el segundo. (a + b)² = a² + b² + 2 a b El cuadrado de una resta: es igual al cuadrado del primero MÁS el cuadrado del segundo MENOS el doble del primero por el segundo. (a - b)² = a² + b² - 2 a b Suma por diferencia : es la diferencia de los cuadrados. (a + b) (a - b) = a² - b² Ej. (x + 3)² = x² + 3² + 2 x 3 = x² x (x - 3)² = x² + 3² - 2 x 3 = x² + 9-6x (x + 3) (x - 3)= x² - 3² = x² - 9 Título: mar 19-9:14 AM (Página 18 de 20)

19 29. a) (x + 1) (x - 2) b) (2x - 1) (x - 1) x + 1 x - 2 2x - 1 x - 1 Título: mar 17-9:22 AM (Página 19 de 20)

20 A = 3x³ - 6x² + 4x - 2 B = x³ - 3x + 1 C = 2x² + 4x - 5 a) A+B 3x³ - 6x² + 4x - 2 x³ - 3x + 1 4x³ -6x² + x -1 c) A - B b) A + B + C 3x³ - 6x² + 4x - 2 x³ - 3x + 1 2x² +4x - 5 4x³ - 4x² + 5x - 6 e) A + B - C 3x³ - 6x² + 4x - 2 x³ - 3x + 1 2x² +4x - 5 3x³ - 6x² + 4x - 2 x³ - 3x + 1 d) B - C x³ - 3x + 1 2x² +4x - 5 f) A - B - C 3x³ - 6x² + 4x - 2 x³ - 3x + 1 2x² +4x - 5 Título: mar 14-9:20 AM (Página 20 de 20)

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