5 Polinomios. 1. Expresión algebraica. Valor numérico Monomios y polinomios Operaciones con monomios y polinomios 30

Transcripción

1 5 Polinomios 1. Expresión algebraica. Valor numérico Monomios y polinomios Operaciones con monomios y polinomios Identidades notables Evaluación 32

2 5 1. Expresión algebraica. Valor numérico Una expresión algebraica es un conjunto de números y letras relacionados mediante operaciones matemáticas. Por ejemplo: Expresión escrita Expresión algebraica El doble de un número más tres 2x 3 La suma de dos números x y El cubo de un número más seis x 3 6 El valor numérico de una expresión algebraica es el número que resulta al sustituir las letras por números y realizar las operaciones indicadas. El valor numérico de la expresión algebraica 3x 1 para x 2, se halla así: Sustituimos x por 2 en la expresión algebraica y realizamos las operaciones: Relaciona cada enunciado con su expresión algebraica: Un número disminuido en cuatro unidades El cuadrado de un número x y x 3 La diferencia de dos números x 4 La tercera parte de un número x 2 Escribe estos enunciados como expresión algebraica: a) El triple de un número b. b) La edad x que tendrás dentro de cinco años. c) El producto de los números x, y, z. d) Un número, a, aumentado en tres unidades. Calcula el valor numérico de estas expresiones algebraicas para los valores que se indican: x 1, y 0 x 1, y 1 x 2, y 1 x 2, y 2 2x y x 2 y 3x 2y 28 Matemáticas 3.º ESO

3 5 2. Monomios y polinomios Un monomio es una expresión algebraica formada por productos de números y letras. A los números se les denomina coeficientes, y a las letras con sus exponentes, parte literal. Por ejemplo: Monomio Coeficiente Parte literal Grado 2x 2 x 1, que es el exponente de x 4x 3 y 2 4 x 3 y 2 5, que es la suma de los exponentes de x 3 e y 2 Dos monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal. Por ejemplo: 3x y 4x son semejantes porque tienen la misma parte literal (x) 6b 2 y 2b 2 son semejantes porque tienen la misma parte literal (b 2 ) Un polinomio es la suma o resta de varios monomios. Cada uno de los sumandos se llama término de un polinomio. A los términos sin parte literal, se les llama términos independientes. El grado del polinomio es el del monomio de mayor grado. Monomio Términos Parte literal Grado 3x 2 4x 5 3x 2, 4x, 5 5 2, que es el grado de 3x 2 8x 3 8x, 3 3 1, que es el grado de 8x Completa la siguiente tabla: Monomios 5xy x 2 2 x 3 y 5 6xyz Coeficiente Parte literal Grado del polinomio Escribe dos monomios semejantes a cada uno de los dados: Monomio 4x 5xy 3b 2 7ab Monomios semejantes Completa la siguiente tabla: Polinomios 4x 3 5x 2 7 4x 5 8a 2 b 9ab Términos Término independiente Grado del polinomio Matemáticas 3.º ESO 29

4 5 3. Operaciones con monomios y polinomios Suma y resta de polinomios: Para sumar o restar polinomios se suman o se restan los monomios semejantes: A(x) x 3 5x 2 8x 6 B(x) x 3 4x 2 3x 2 B(x) x 3 9x 2 5x 8 Producto de polinomios: Para calcular el producto de polinomios se multiplica cada monomio del primer polinomio por cada monomio del segundo. A continuación se suman los término semejantes: A(x) 2x 2 3x 5 B(x) 1x 2 4x 2 A(x) 4x 2 6x 10 8x 3 12x 2 20x 8x 3 16x 2 26x 10 A(x) B(x) (2x 2 3x 5) (4x 2) 8x 3 12x 2 20x 4x 2 6x 10 8x 3 16x 2 26x 10 Sacar factor común: Es una operación que consiste en extraer como factor común el monomio que se repite en todos los términos. Por ejemplo: 16x 3 4x 2 4x 4x (x 1) 4x es el monomio que se repite en todos los términos, es decir, el factor común. Dados los polinomios P(x) 6x 2 10x 2 y Q(x) 9x 3 3x 2 5x 1, calcula: a) P(x) Q(x) b) P(x) Q(x) c) Q(x) P(x) Dados los polinomios A(x) = 5x 2 6x 2 y B(x) 3x 4, calcula: a) 3 A(x) b) x B(x) c) A(x) B(x) Extrae factor común en las siguientes expresiones: a) 2b 2 5b c) 12x 2 3x 9x 3 b) 10xy 2 5xy 15x 2 y d) 16x 3 4x 2 30 Matemáticas 3.º ESO

5 5 4. Identidades notables Cuadrado de una suma de monomios: es igual al cuadrado del primer monomio más el doble del producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo. (a b) 2 a 2 2ab b 2 Cuadrado de una diferencia de monomios: es igual al cuadrado del primer monomio menos el doble del producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo. (a b) 2 a 2 2ab b 2 Suma por diferencia de monomios: la suma de dos monomios por su diferencia es igual a la diferencia de los cuadrados de dichos monomios. (a b) (a b) a 2 b 2 Calcula: a) (x 3) 2 c) (xy 2) 2 b) (ab 5) 2 d) (4b a) 2 Calcula: a) (x 2) 2 c) (3b 2a) 2 b) (a 7b) 2 c) (4y 6) 2 Calcula: a) (x 5) (x 5) c) (2b 1) (2b 1)= b) (3x y) (3x y) d) (x 7) (x 7) = Matemáticas 3.º ESO 31

6 5 5. Evaluación Expresa con lenguaje algebraico los siguientes enunciados: a) El doble de la suma de tres números: b) La mitad de un número menos cinco unidades: c) El posterior a un número: d) El cuadrado de la suma de dos números: Halla el valor numérico de la expresión algebraica 3x 2 2 para: x 0 x 1 x 1 x 2 Operación Valor numérico Indica el grado de los siguientes polinomios: a) x 3x 2. Grado c) 2x 4 7x 8x 3. Grado b) a 2 b 5x. Grado d) 5 8x 2 10x 3. Grado Dados los polinomios P(x) x 3 2x 5, Q(x) x 2 6x 4 realiza las siguientes operaciones: a) P(x) Q(x) c) 2x Q(x) b) P(x) Q(x) d) x P(x) Simplifica las siguientes fracciones, utilizando las igualdades notables: a) x 2 16 x 2 8x 16 b) x2 6x 9 x Matemáticas 3.º ESO